Yüzyıllar boyunca çözülemeyen bir problem ortaya atmak çok az matematikçiye nasip olur. Hele ki bu problem, sorunun ilk kez sorulduğu dönemde henüz var olmayan matematik alanları için sonradan merkezi bir önem kazanıyorsa, bu daha da sıra dışıdır. Pierre Fermat, bu seçkin isimler arasında belki de en tanınmış olanıdır.
Fermat aslında meslek olarak matematikçi değildi. Hukuk eğitimi aldı ve Toulouse Parlamentosu’nda danışmanlık yaptı. Buna rağmen ona yalnızca “amatör matematikçi” demek de pek doğru olmaz. Belki en uygun tanım, geçimini hukuktan sağlayan ama matematiği profesyonel düzeyde sürdüren biri olduğudur.
Fermat çok az şey yayımladı. Bunun bir nedeni, hukukla ilgili görevlerinin ona çalışmalarını ayrıntılı biçimde yazıya dökecek fazla zaman bırakmaması olabilir. Matematikte neler keşfettiğini büyük ölçüde başka matematikçilere ve düşünürlere yazdığı mektuplardan biliyoruz. Pierre de Carcavi, René Descartes, Marin Mersenne ve Blaise Pascal bunlar arasındaydı.
Fermat’nın en kalıcı mirası sayı teorisinde ortaya çıktı. Fermat’nın en önemli ve en zarif sonuçlarından biri ise hangi sayıların iki tam karenin toplamı biçiminde yazılabileceğini açıklıyordu.
Albert Girard, ölümünden sonra 1634’te yayımlanan çalışmasında bu sonucun ne olduğunu belirtmişti. Fermat ise bir kanıtı olduğunu ilk kez 1640’ta Marin Mersenne’e yazdığı bir mektupta duyurdu.
Fermat’ın İki Kare Toplamı Nedir?
Problemin temel noktası asal sayılara bakmaktır. Tek asal sayı olan 2’yi bir kenara bırakırsak, her tek asal sayı ya 4k + 1 ya da 4k + 3 biçimindedir.
Fermat, 2’nin ve 4k + 1 biçimindeki her asal sayının iki karenin toplamı olarak yazılabildiğini gösterdi. Buna karşılık 4k + 3 biçimindeki asal sayılar iki karenin toplamı değildir. Birkaç örnek deneyince bu örüntüyü fark etmek zor değildir.
Örneğin 13 = 2² + 3² ve aynı zamanda 13 = 4 × 3 + 1 olur. Buna karşılık 7 = 4 × 1 + 3 biçimindedir ve 7’yi iki tam karenin toplamı olarak yazamayız.
Ancak Fermat’nın iki kare teoremini kanıtlamak kolay değildir. 4k + 3 biçimindeki asalların iki karenin toplamı olamayacağını göstermek işin görece kolay kısmıdır. 4k + 1 biçimindeki her asalın iki karenin toplamı olduğunu göstermek ise çok daha zordur.
Fermat’nın kendi kanıtı günümüze ulaşmadı. Buna karşılık onun döneminde bilinen yöntemlerle yapılabilecek kanıtlar bugün elimizde bulunuyor. Bilinen ilk kanıtı Euler verdi. Sonucu 1747’de duyurdu, ardından 1752 ve 1755’te yayımladığı iki çalışmada ayrıntılandırdı.
1990 yılında Don Zagier bu teorem için son derece kısa ve zarif bir kanıt yayımladı. Kanıtın ünü yalnızca doğru olmasından değil, özünün gerçekten tek cümleye sığmasından gelir. Ancak o tek cümleyi anlamak için arkasındaki fikri biraz açmak gerekir.
İspat Nasıl Tamamlandı?
Zagier işe x² + 4yz = p denklemiyle başladı. Bunun nedeni basitti: Eğer bu denklemin çözümlerinden birinde y = z olduğunu gösterebilirse, denklem p = x² + (2y)² biçimine dönüşecek ve p’nin iki karenin toplamı olduğu hemen ortaya çıkacaktı.
Şimdi p’yi sabit tutup bu denklemi sağlayan bütün pozitif tam sayı üçlülerini düşünelim. Zagier bu çözümler üzerinde özel bir dönüşüm tanımladı. Bu dönüşümün en önemli özelliği, iki kez uygulandığında bizi başladığımız çözüme geri götürmesidir.
Matematikte böyle dönüşümlere involüsyon denir. Böyle bir dönüşümde çözümler ya ikili gruplar halinde eşleşir ya da değişmeden kalan özel bir çözüm vardır. Zagier’in dönüşümünde tam olarak bir çözüm değişmeden kalır. Bu yüzden toplam çözüm sayısı tek olmak zorundadır.
Ardından Zagier çok daha basit bir ikinci dönüşüm kullanır ve y ile z’nin yerini değiştirir. Eğer y ile z farklıysa, (x, y, z) çözümünün yanında mutlaka (x, z, y) çözümü de vardır. Böylece çözümler ikili gruplar halinde eşleşir.
Ancak ilk dönüşüm sayesinde toplam çözüm sayısının tek olduğunu biliyoruz. O halde y ile z’nin yerini değiştirdiğimiz ikinci eşleştirmede en az bir çözümün eşsiz kalması gerekir. Bunun gerçekleşmesi ancak y = z olduğunda mümkündür. Böylece p = x² + 4y² = x² + (2y)² elde ederiz. Yani p, iki tam karenin toplamı biçiminde yazılır.
İki Kare Toplamı Neden Önemlidir?
Bu teorem yalnızca asal sayılar için değil, bütün tam sayılar için güçlü bir sonuca götürür. Bir pozitif tam sayı, ancak ve ancak asal çarpanlarına ayrıldığında 4k + 3 biçimindeki her asal çarpanın çift kuvvetle yer alması durumunda iki karenin toplamı olarak yazılabilir.
Örneğin 245 = 5 × 7² olur. Burada 7, 4k + 3 biçimindedir ve çift kuvvetle bulunur. Bu nedenle 245 iki karenin toplamıdır. Buna karşılık 35 = 5 × 7 sayısında 7 yalnızca bir kez bulunur. Dolayısıyla 35’i iki tam karenin toplamı biçiminde yazamayız.
İlk bakışta bu sonuç yalnızca ilginç bir sayı özelliği gibi görünebilir. Oysa Fermat’nın iki kare teoremi, sayı teorisinde çok daha geniş bir araştırma alanının kapısını açtı. Gauss daha sonra bu tür soruları kuadratik formlar teorisi içinde sistematik biçimde ele aldı ve sayıların farklı cebirsel biçimlerde nasıl temsil edilebileceğini araştırdı.
Bu düşüncenin daha genel bir örneğini Lagrange’ın dört kare teoreminde görürüz. Lagrange, her pozitif tam sayının dört tam karenin toplamı olarak yazılabileceğini kanıtladı. Böylece Fermat’nın sorusu, zamanla sayı teorisinin çok daha geniş bir problem ailesine dönüştü.
Okuma Önerisi: Fermat’nın Çarpanlara Ayırma Yöntemi Günümüz Şifreleme Sistemlerini Nasıl Tehdit Ediyor?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- D. Zagier, A One-Sentence Proof That Every Prime p≡1( mod 4) Is a Sum of Two Squares. The American Mathematical Monthly, February 1990, 97 no. 2, 144–144.
- Wikipedia contributors. (2026, September 15). Fermat’s theorem on sums of two squares. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 04:33, September 29, 2026, from https://en.wikipedia.org/
Matematiksel
43 asal sayı 4 e bölünürse kalan bir değil 3 tür.