Bir tam sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu anlamak, sayı teorisinin en eski ve en temel problemlerinden biridir. Küçük sayılar için bu iş kolaydır. Bir sayının 2’ye, 3’e, 5’e ya da 7’ye bölünüp bölünmediğini çoğu zaman kısa yoldan anlayabiliriz. Ancak sayı büyüdükçe işler değişir ve çarpanları tek tek denemek zahmetli bir işe dönüşür.
Bu nedenle matematikçiler uzun süre boyunca çarpan tablolarından yararlandı. Bu tablolar, belirli bir sınıra kadar olan sayıların asal çarpanlarını ya da en küçük asal bölenlerini gösteriyordu. Böylece bir sayının çarpanlarına ayrılması, uzun bölme denemeleri yapmak yerine tabloya bakılarak bulunabiliyordu.
17. yüzyıldan itibaren bu tür tablolar giderek gelişti ve çarpan tabloları uzun süre çok işe yaradı. Fakat onların da doğal bir sınırı vardı. Bir sayı tablonun kapsadığı aralığın dışındaysa, başka yöntemler gerekiyordu. İşte Fermat’ın çarpanlara ayırma yöntemi bu noktada devreye girer.
Pierre de Fermat, Fransız bir hukukçu ve matematikçiydi. Fermat, uzmanları onlarca yıl meşgul eden gizemli “Son Teoremi” ile tanınsa da yaşamı boyunca bilim dünyasına birçok önemli katkı yaptı. Olasılık kuramının temellerini attı ve asal sayılar üzerine kapsamlı çalışmalar yürüttü.
Kendisi günümüzde, adıyla anılan birçok problem ve yöntemle hatırlanır. Bunlardan biri de çarpanlara ayırma yöntemidir. Fermat’ın yöntemi çok basit bir cebirsel özdeşliğe dayanır: n = x² − y²
Fermat’ın çarpanlara ayırma yöntemi nedir?
Bu ifade iki kare farkıdır. İki kare farkı ise x² − y² = (x − y)(x + y) biçimindedir. Dolayısıyla bir n sayısını iki karenin farkı olarak yazabilirsek, onu hemen çarpanlarına ayırabiliriz: n = (x − y)(x + y). Buradaki temel amaç, verilen n sayısı için uygun x ve y değerlerini bulmaktır.
Diyelim ki n tek bir bileşik sayı olsun ve n sayısının iki çarpanı olduğunu varsayalım: n = ab. Burada b ≥ a olsun. Bu durumda x − y = a ve x + y = b sonuçlarını elde ederiz. Bu sonuçlardan da x ve y değerleri x = (a + b) / 2 ve y = (b − a) / 2 biçiminde bulmak mümkündür.
Bunun için n sayısının karekökünden başlanır. Çünkü n = x² − y² olduğuna göre x², n’den büyük ya da n’ye eşit olmalıdır. Bu nedenle x değeri de √n’den büyük ya da ona eşit olmalıdır.
İlk adımda √n’den büyük en küçük tam sayıyı seçmeliyiz. Sonra da x² − n farkını hesaplarız. Eğer bu fark bir tam kareyse, yani bir y² sayısına eşitse, işlem tamamlanır. Çünkü artık elimizde şu ifade vardır: n = x² − y²ve buradan n = (x − y)(x + y) sonucuna ulaşırız. Eğer x² − n tam kare değilse, x bir artırılır ve aynı işlem tekrarlanır.
Yöntem Nasıl Çalışır?
Yöntemi bir örnekle görelim. Elimizde şu sayı olsun: n = 6499. Önce bu sayının kareköküne bakalım: √6499 ≈ 80,616. Bu nedenle x için başlayacağımız ilk tam sayı 81’dir.
İlk deneme: 81² − 6499 = 6561 − 6499 = 62 yapar. 62 bir tam kare değildir. Bu yüzden x değerini bir artırırız. İkinci deneme de 82² − 6499 = 6724 − 6499 = 225 sonucunu elde ederiz. 225 bir tam karedir çünkü 225 = 15² biçimindedir. Bu durumda x = 82 ve y = 15 olur.
Şimdi 6499 = 82² − 15² özdeşliğini kullanalım. Bu özdeşliği 6499 = (82 − 15)(82 + 15) ve 6499 = 67 · 97 biçiminde de yazabiliriz. Böylece 6499 sayısının asal olmadığını, 67 ve 97 çarpanlarından oluştuğunu bulmuş oluruz.
Fermat Çarpanlara Ayırma Yöntemi Ne Zaman Etkilidir?
Fermat’ın yöntemi her zaman aynı hızda çalışmaz. Yöntemin başarısı, sayının çarpanlarının birbirine ne kadar yakın olduğuna bağlıdır.
Eğer n = ab ise ve a ile b birbirine yakınsa, x = (a + b) / 2 değeri √n’ye yakın olur. Bu durumda yöntemde çok az deneme yapmak yeterlidir. 6499 örneğinde de durum böyledir. Çünkü 67 ve 97 birbirinden çok uzak değildir. Bu yüzden uygun x değerini bulmak kolaydır.
Ancak çarpanlar birbirinden çok uzaksa, yöntem yavaşlar. Örneğin sayının çarpanlarından biri çok küçük, diğeri çok büyükse, x² − n farkının tam kare olması için çok daha fazla deneme gerekebilir. Bu nedenle Fermat yöntemi, özellikle birbirine yakın iki çarpanın çarpımı olan büyük sayılarda güçlüdür.
Peki bu sonuç ne işe yarar?
Dijital dünyada şifreleme sistemlerine çoğu zaman görünmez bir güven duyarız. Bilgisayardan yazıcıya gönderdiğimiz bir belgenin, ağ üzerinde başkaları tarafından okunamayacağını varsayarız. Ancak son yıllarda bu güvenin her zaman haklı olmadığı anlaşıldı.
2022’nin başlarında bilgi teknolojileri güvenliği araştırmacısı Hanno Böck, bazı dizüstü bilgisayarlar ile yazıcılar arasındaki şifreli iletişimde ciddi bir zayıflık fark etti. Sorun doğrudan şifreleme fikrinde değil, bu şifrelemeyi mümkün kılan sayıların üretilme biçimindeydi.
Şifreleme sistemleri, çok büyük sayıların çarpanlarına ayrılmasının pratikte zor olmasına güvenir. Bu büyük sayılar genellikle iki büyük asal sayının çarpımıyla elde edilir. Ancak bu iki asal sayı birbirine beklenenden fazla yakınsa, sistem düşündüğümüz kadar güvenli olmaz. Çünkü Fermat’nın çarpanlara ayırma yöntemi tam da böyle durumlarda etkili çalışır.
Böck’ün gösterdiği sorun da buydu. Bazı yazıcılarda kullanılan şifreleme anahtarları yeterince güçlü üretilmemişti. Bu nedenle ağ üzerinden gönderilen belgeleri koruması gereken sistem, basit bir fikir karşısında zayıf kalıyordu.
Sonuç Olarak
Fermat, keşfinden yüzyıllar sonra kendi adının hâlâ büyük sayıların çarpanlarına ayrılmasıyla birlikte anılacağını herhalde tahmin edemezdi. Üstelik bugün bu eski problem, yalnızca kâğıt kalemle ya da klasik bilgisayarlarla değil, kuantum mekaniğinin ilkeleriyle çalışan yeni bilgisayarlarla da yeniden gündeme geliyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
This More Than 380-Year-Old Trick Can Crack Some Modern Encryption. Kaynak site: Scientific American. Yayınlanma tarihi: 9 Nisan 2025. Bağlantı: This More Than 380-Year-Old Trick Can Crack Some Modern Encryption
Matematiksel
