Temel Matematik

Fermat’ın Küçük Teoremi ve Asalmış Gibi Davranan Carmichael Sayıları

Pierre de Fermat profesyonel bir matematikçi değildi. Günlük işi hukuk danışmanlığıydı. Ama tutkusu matematik özellikle de günümüzde sayılar kuramı adını verdiğimiz tamsayıların özellikleri ile uğraşmaktı. İşte bu nedenle kendisi günümüzde “Amatörlerin Prensi” olarak tanınır. Ancak çok büyük bir ihtimal ile bir çok kişi onu Fermat’ın Son Teoremi ile hatırlayacaktır.

Oysa ki kendisinin sayılar teorisine katkısı sadece bu teorem işe sınırlı değildir. Bu makalemizde Fermat’ın sayılar teorisinde oldukça fazla kullanılan küçük teoremini ele alalım. Bu arada bu teoreme küçük denmesinin nedeni basit ve küçük bir teorem olduğu için değil, daha çok Fermat’ın son teoremi ile karıştırmamak içindir.

Pierre de Fermat bu teoremi elbette küçük olarak adlandırmamıştır. Teorem ile ilgili ilk olarak 1679 yılında bir çalışma yayınladı. Ancak yine bir Fermat klasiği oldu. Aynı Fermat’ın son teoreminde olduğu gibi ortada bir ispat yoktu.

Bu teoremin ilk kanıtı elli yıldan fazla bir süre sonra 1736’da Leonhard Euler tarafından yayınlandı. 1801’de Johann Carl Friedrich Gauss işe el attı. O da başka bir ispat yayınladı. Ancak Euler’in ispatı biraz
daha kısa ve basit olduğu için daha çok kullanılmaya başlandı. ( Yazının sonunda kaynaklar arasında ispat ile ilgili çeşitli referanslara ulaşabilirsiniz.)

Fermat’ın Küçük Teoremi Nedir ve Ne İşimize Yarar?

Verilen bir sayının asal olup olmadığını sayılar büyüdüğü zaman anlamak kolay değildir. Böyle durumlarda bazı testlere başvurulur. Fermat’ın küçük teoremi de bunlardan bir tanesidir. Bu teorem, eğer bir p sayısı asal ise, o zaman diğer herhangi bir a tamsayısı için ap -a sayısının p’ye bölünebileceğini belirtir. Bu teorem aynı zamanda ap-1≡1 ( mod p) biçiminde de yazılabilmektedir.

Örneğin; p=2 ve a=5 için, 52 – 5 =20 sayısı 2’ye bölünecektir. Aynı biçimde p=7 ve a= 11 için 117 – 11=19487160 sayısı 7’ye bölünmektedir.. Denemek isterseniz her p ve a değeri için teoremin sağlandığını görebilirsiniz. Fermat’ın küçük teoremi bize Fermat’ın asallık testini mümkün kılar. Bu yüzden pratik anlamda en çok kullanılan formüllerden birisidir. Ancak bu teoremin de tıkandığı zamanlar vardır.

1885’te matematikçi Vaclav Simerka, Fermat’nın küçük teoremine göre asal gibi davranan, aslında asal olmayan sayılar keşfetti. Bu sayılardan en küçüğü 561 idi. Gerçekten de 561 asal sayı değildir. Ancak yine de bu sayıyı Fermat’ın küçük teoreminde yerine yazarsanız, herhangi bir a tamsayısı için x561 – x ifadesi 561’e tam olarak bölünmektedir. Ayrıca 1105, 1729 (Hardy-Ramanujan sayısı), 2465, 2821, 6601 ve 8911 sayıları da asal olmadıkları halde, Fermat’ın asallık testine uyar.

Carmicheal Sayıları

Bu şekilde asal olmadıkları halde, Fermat’ın asallık testine göre asal gibi görünen doğal sayılara “sözde asal sayılar” denmiştir. Ayrıca bu sayıların ilki olan 561’i, 1910 yılında konuyu olarak araştıran Amerikalı Robert Carmicheal’ın anısına “Carmicheal sayıları” biçiminde de anılmaktadır. İlk 7 Carmicheal sayısına bakarak bu sayılardan fazla olmadığı hissine kapılabilirsiniz.

Robert Daniel Carmichael ilk olarak 1910’da bu tür sayıların varlığına dikkat çekti, 15 örnek hesapladı ve sonsuz sayıda olduğunu tahmin etti.

1956’da Erdős, büyük Carmichael sayıları oluşturmak için bir teknik ortaya koydu. Ancak 1994 yılına kadar bu sayıların karşımıza nadir biçimde karşımıza çıktığını düşünüyorduk. Ancak kısa zamanda yanıldığımızı anladık. Günümüzde sayılar büyüdükçe giderek daha seyrek biçimde karşımıza çıksalar da aslında sonsuz sayıda olduklarını biliyoruz. Carmichael sayıları, Fermat’nın asallık testine biraz zarar veriyor gibi gözükse de hala pek çok işe yarıyor.


Göz atmak isterseniz…


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Başa dön tuşu