Fermat’ın Küçük Teoremi ve Carmichael Sayıları Hakkında Bir Lise Öğrencisi Bize Ne Öğretti?

Pierre de Fermat profesyonel bir matematikçi değildi. Günlük işi hukuk danışmanlığıydı. Ama tutkusu matematik özellikle de günümüzde sayılar kuramı adını verdiğimiz tamsayıların özellikleri ile uğraşmaktı. İşte bu nedenle kendisi günümüzde “Amatörler Matematikçilerin Prensi” olarak tanınır. Ancak çok büyük bir ihtimal ile bir çok kişi onu Fermat’ın Son Teoremi ile hatırlayacaktır.

Oysa ki kendisinin sayılar teorisine katkısı sadece bu teorem işe sınırlı değildir. Bu makalemizde Fermat’ın sayılar teorisinde oldukça fazla kullanılan küçük teoremini ele alalım. Bu arada bu teoreme küçük denmesinin nedeni basit ve küçük bir teorem olduğu için değil, daha çok Fermat’ın son teoremi ile karıştırmamak içindir.

Bu teoremin ilk kanıtı elli yıldan fazla bir süre sonra 1736’da Leonhard Euler tarafından yayınlandı. 1801’de Johann Carl Friedrich Gauss işe el attı. O da başka bir ispat yayınladı. Ancak Euler’in ispatı biraz daha kısa ve basit olduğu için daha çok kullanılmaya başlandı. ( Yazının sonunda kaynaklar arasında ispat ile ilgili çeşitli referanslara ulaşabilirsiniz.) Günümüzün en yaygın kullanılan kripto sistemlerinden bazıları muazzam asal sayılarla aritmetik yapmayı içerdiğinden, sorun aynı zamanda modern kriptografi bağlamıylada alakalı hale geldi.

Pierre de Fermat bu teoremi elbette küçük olarak adlandırmamıştır. Teorem ile ilgili ilk olarak 1679 yılında bir çalışma yayınladı. Ancak yine bir Fermat klasiği oldu. Aynı Fermat’ın son teoreminde olduğu gibi ortada bir ispat yoktu.

Fermat’ın Küçük Teoremi Nedir ve Ne İşimize Yarar?

Verilen bir sayının asal olup olmadığını sayılar büyüdüğü zaman anlamak kolay değildir. Böyle durumlarda bazı testlere başvurulur. Fermat’ın küçük teoremi de bunlardan bir tanesidir. Bu teorem, eğer bir p sayısı asal ise, o zaman diğer herhangi bir a tamsayısı için ap -a sayısının p’ye bölünebileceğini belirtir. Bu teorem aynı zamanda ap-1≡1 ( mod p) biçiminde de yazılabilmektedir.

Örneğin; p=2 ve a=5 için, 52 – 5 =20 sayısı 2’ye bölünecektir. Aynı biçimde p=7 ve a= 11 için 117 – 11=19487160 sayısı 7’ye bölünmektedir. Denemek isterseniz her p ve a değeri için teoremin sağlandığını görebilirsiniz. Fermat’ın küçük teoremi bize Fermat’ın asallık testini mümkün kılar. Bu yüzden pratik anlamda en çok kullanılan formüllerden birisidir. Ancak bu teoremin de tıkandığı zamanlar vardır.

1885’te matematikçi Vaclav Simerka, Fermat’nın küçük teoremine göre asal gibi davranan, aslında asal olmayan sayılar keşfetti. Bu sayılardan en küçüğü 561 idi. Gerçekten de 561 asal sayı değildir. Ancak yine de bu sayıyı Fermat’ın küçük teoreminde yerine yazarsanız, herhangi bir a tamsayısı için x561 – x ifadesi 561’e tam olarak bölünmektedir. Ayrıca 1105, 1729 (Hardy-Ramanujan sayısı), 2465, 2821, 6601 ve 8911 sayıları da asal olmadıkları halde, Fermat’ın asallık testine uyar.

Carmichael Sayıları İle Tanışalım

Bu şekilde asal olmadıkları halde, Fermat’ın asallık testine göre asal gibi görünen doğal sayılara “sözde asal sayılar” denmiştir. Ayrıca bu sayıların ilki olan 561’i, 1910 yılında konuyu olarak araştıran Amerikalı Robert Carmichael’ın anısına “Carmichael sayıları” biçiminde de anılmaktadır. Matematikçiler kısa süre içinde sayı teorisindeki en temel nesneler olan asallara çok benzeyen bu sayıları daha iyi anlamak istediler. İlk 7 Carmichael sayısına bakarak bu sayılardan fazla olmadığı hissine kapılabilirsiniz.

Robert Daniel Carmichael ilk olarak 1910’da bu tür sayıların varlığına dikkat çekti, 15 örnek hesapladı ve sonsuz sayıda olduğunu tahmin etti.

Gerçekten de 1994 yılına kadar bu sayıların karşımıza nadir biçimde karşımıza çıktığını düşünüyorduk. Ancak kısa zamanda yanıldığımızı anladık. 1994’te Red Alford, Andrew Granville ve Carl Pomerance çığır açıcı bir makale yayınladılar ve sonunda bu sözde asalların gerçekten de sonsuz sayıda olduğunu kanıtladılar.

Ne yazık ki geliştirdikleri teknikler, Carmichael sayılarının neye benzediği hakkında pek bir şey söylemiyordu. Bu sayıların sayı doğrusu boyunca nasıl karşımıza çıktıklarını bilemiyorduk. Ancak yeterince büyük bir X sayısı verildiğinde , X ile 2 X arasında her zaman bir Carmichael sayısı olacağını biliyorduk.

Carmichael Sayıları İle İlgili Problem 17 Yaşındaki Bir Lise Öğrencisi Tarafından Çözülecekti

Larsen ispatını bitirdiğinde, sayı teorisindeki en iyi matematikçilerden bazılarına bir taslak gönderdi. Şaşırarak okudular ve cevapladılar

Bloomington, Indiana’da büyüyen Daniel Larsen, her zaman matematiğe ilgi duymuştu. Her iki ebeveyni de matematikçi olduğu için bu aslında çok da şaşırtıcı bir durum değildi. Ortaokul sırasında çapraz bulmaca tasarlamaya başlamıştı.13 yaşında The New York Times’da bulmaca yayınlayan en genç kişi rekorunu elde edecekti.

Devamında da izlediği bir belgesel sonucunda da İkiz Asallar ile ilgilenmeye başlayacaktı. Larsen konu ile ilgili çalışmaları anlamaya çalışsa da konuyu mevcut bilgisi ile anlayamayacağını kısa sürede anlayacaktı. Şubat 2021’de hem güzel hem de anlaşılır bulduğu bir makaleyle karşılaştı. Konusu Carmichael sayıları idi.

Alford, Granville ve Pomerance 1994 tarihli makalelerinde sonsuz sayıda Carmichael sayısının nasıl yaratılacağını göstermişlerdi. Ancak onları oluşturmak için kullandıkları asal sayıların boyutunu kontrol edememişlerdi. 

Larsen’in çalışması, bir Carmichael sayısının her zaman X ile 2X arasında olması gerektiğini ispatladı. Ayrıca bunun olması için gerekli sayı aralığını da daralttı. Matematikçiler bu yeni bulgunun Carmichael Sayıları hakkında daha fazla bilgi edinmemize izin vereceğini düşünüyorlar. Bu arada Larsen, Massachusetts Institute of Technology’de birinci yılına başladı. Bundan sonra hangi problem üzerinde çalışabileceğinden emin değil. Ancak yakın gelecekte onun adını daha sık duyacağız gibi gözüküyor.


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Göz Atınız

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu