Analitik Geometri: Bir Diyagram Bin Sözcüğe Bedeldir

Analitik geometri diğer adıyla koordinat geometrisi, geometri ile cebri birleştiren bir matematik dalıdır. Analitik geometrinin önemi, geometrik eğriler ve cebirsel denklemler arasında bir ilişki kurmasıdır. Bunun sayesinde geometrideki problemleri cebirdeki eşdeğer problemler olarak yeniden formüle edilir.

Çağdaşları tarafından “Büyük Geometrici” olarak bilinen Pergalı Apollonius (MÖ 262–190), Conics adlı kitabıyla analitik geometrinin gelişimini 1.800 yıldan fazla bir süre önce haber vermişti. Ancak koordinat sisteminin geliştirilmesi İslam ve Hint matematikçileri tarafından cebir olgunlaştıktan sonra olacaktı. 16. yüzyılın sonunda, Fransız matematikçi François Viète bilinen ve bilinmeyen sayısal miktarları temsil etmek için harfleri kullanan ilk sistematik cebirsel gösterimi tanıttı.

Cebirsel gösterim yaygınlaşmadan önce, matematikçiler denklemleri diyagramlarla birlikte metin olarak yazmak zorundaydılar.

Analitik Geometrinin Gelişimi Cebirsel Gösterimin Avantajlarının Anlaşılmasıyla Başladı

Cebirsel sembolizm ve kullanım, Viete’den önce aritmetiksel prosedürleri ifade etmenin ve uygulamanın yolu olarak görülmekteydi. Ancak bu dönmede önemli olan sayılardı. Viete’nın düşüncesine göre cebirsel bir ifade, aritmetik ifadelerin bütün sınıfını temsil etmekteydi. 1591 tarihli In Artem Analyticam Isagoge [Analitik Sanatına Giriş] adlı çalışmasında, belli sayılarla çalışma yönteminin aritmetik olduğunu, genel formlarla çalışma yönteminin cebir olduğunu açıkladı. Bu sayede de cebir, sembolik ifadelerin matematiği olarak sonunda bağımsızlığını ilan etti. Cebirsel gösterimin gücüyle, matematikçiler problemleri çözmek için geometrik şekillere ve sezgiye bağımlı olmaktan kurtuldular.

Bu esnada iki Fransız matematikçi René Descartes ve Pierre de Fermat daha cesur davrandı. Descartes ve Fermat, 1630’larda Viète’nin çalışmalarından yola çıkarak analitik geometriyi birbirinden bağımsız olarak kurdular. Fermat, x ve y koordinatları arasındaki herhangi bir ilişkinin bir eğri belirlediği fikrini ileri sürdü. Bu fikri kullanarak, Apollonius’un argümanlarını cebirsel terimlerle yeniden şekillendirdi.

descartes rene suphe — Descartes’ın koordinat sistemini nasıl geliştirdiğine dair iki söylem vardır. Biri, yatak odasının tavanında hareket eden bir sineği izlerken bu fikrin aklına geldiğini öne sürer. Başka bir anlatıma göre, bu fikir ona 1619’da güney Almanya’da paralı asker olarak hizmet ederken rüyasında gelmiştir.

Fermat ayrıca bağımsız olarak bir koordinat sistemi geliştirdi, ancak yayınlamadı. Descartes, Fermat’ın fikirlerinin farkındaydı, şüphesiz onları kendi fikirlerini geliştirmek için kullanıyordu. Sonunda Descartes kitabını yayınladı. Bu nedenle onun adı analitik geometri ile eşdeğer hale geldi. Onun en büyük katkısı, bir noktanın eksenlere göre konumunu belirlemek için kullanılan koordinat sisteminin icadıydı. Descartes düşüncelerini felsefi eseri Discours de’nin üç ekinden biri olan La Géométrie’de (Geometri, 1637) sundu. Ancak fikirlerinin yaygınlaşması diğer matematikçilerin çabalarıyla oldu.

La Géométrie, 1600’lerde yeniden ilgi konusu olan eğriler hakkında çok fazla tartışma içerir. Bunun nedeni kısmen eski Yunan matematikçilerin incelemelerinin yeni çevrilmiş olmasıdır. Ayrıca eğrilerin astronomi ve mekanik gibi bilimsel keşif alanlarında belirgin bir şekilde öne çıkması da etkendir. Kaynak: https://en.wikipedia.org

Özellikle Hollandalı matematikçi Frans van Schooten’ın, Descartes’ın yazılarını Fransızca’dan Latince’ye çevirmesi önemliydi. ( O dönemde bilim dili Latinceydi) İngiliz matematikçi John Wallis, konikleri tanımlamak ve özelliklerini türetmek için denklemleri kullanarak analitik geometriyi popüler hale getirdi.

Kartezyen koordinat sistemi

En basit Kartezyen koordinat sistemi tek boyutludur; düz bir çizgi boyunca konumları gösterir. Çizgideki kesin bir noktayı tanımlamak için yalnızca tek bir koordinat yeterlidir. Genellikle koordinatlar, uzunluk ve genişliğe sahip iki boyutlu yüzeylerde avantaj sağlar. Ancak derinliği de işin içine katan üç boyutlu bir uzay içindeki noktaları tanımlamak için de koordinatlar kullanılır. Bunun için, her biri aynı sıfır noktasından ( orijin) başlayan birden fazla sayı doğrusuna ihtiyaç vardır. İki boyutta, x ekseni bir yatay çizgi ve y ekseni ise bir dikey çizgi biçimindedir. x ekseni terimi apsis, y ekseni ise ordinattır ve (x,y) sıralı ikilisi biçiminde kullanılırlar. İki eksen, (0,0) merkezde olmak üzere koordinat düzlemi adı verilen bir nokta alanı oluşturur. Koordinatlar, eğrileri ve şekilleri görsel olarak gösterilebilen cebirsel denklemlere dönüştürmeyi mümkün kılar.

Analitik geometri, matematik üzerindeki en büyük etkisini kalkülüs yoluyla yaptı. Matematikçiler bu yeni araçları vasıtasıyla bir dizi eğriyi tanımlamak ve analiz etmek için cebirin gücünü kullanmaya başladılar. Newton ve Leibniz, 17. yüzyılın sonunda bağımsız olarak kalkülüsün gücünü kullanarak matematikte devrim yarattı. İkili bunu analitik geometri olmasaydı yapamazdı. Kaynak: https://en.wikipedia.org/

Üç ve daha fazla boyutun analitik geometrisi

Hem Descartes hem de Fermat, uzaydaki eğrileri ve yüzeyleri incelemek için üç koordinat kullanmayı önermelerine rağmen, üç boyutlu analitik geometri, Leonhard Euler, Jakob Hermann ve Alexis Clairaut’un silindirler, koniler için genel denklemler ürettikleri yaklaşık 1730 yılına doğru yavaş yavaş gelişti. Üç boyutlu bir uzay için, koordinatlar (x, y, z) biçiminde olur. z, x ve y eksenleri tarafından oluşturulan düzleme dik olan üçüncü bir ekseni ifade eder. Her eksen çifti kendi koordinat düzlemini yaratır. Bunlar birbirleriyle dik açılarda kesişir, böylece uzay sekiz bölgeye ayrılır.

21. yüzyılın başındayız ve matematikçiler bilgisayarda artık sadece sayısal hesap değil cebirsel ve analitik hesap yapmayı da mümkün kılan güçlü yazılımlara erişiyor. Bu araçlar yeni alanlar açıp uzun zamandır çözülmemiş problemlerin çözümüne yardımcı oldu. Kısaca “Her çözdüğüm matematik problemi, daha sonra başka bir problemi çözmeye yardım edecek bir kural koydu.” derken Descartes haklıydı.

Kaynaklar ve İleri okumalar: