Fizik bilimi bize uzay zamanın bükülmesinden fotonların hareketine kadar her şeyi tarif eden denklemler sunar. Buna karşılık denklemlerden biri o kadar zor ki Clay Mathematics Institute tarafından ortaya konan “Bin Yıllık Ödüllü Problemler” listesinde yerini almıştır. Bu sıvıların akışını tarif eden Navier-Stokes denklemleridir.
Peki, suyun bir borudan akışı gibi basit bir şeyi ifade eden bu denklemleri, örneğin Einstein’ın alan denklemleri gibi, karadelikleri barındıran denklemlerden daha zor kılan tam olarak nedir? Cevap, hepimizin bazen uçak yolculuğu yaparken bazen de küvette keyif çatarken deneyimlediği türbülans.
Türbülans Nedir?
Bu kadar aşina olmamıza rağmen türbülans hakkında en az bilinen fenomenlerden biri. Bunun nedeni doğası gereği türbülansı ölçümlemenin zorluğuyla alakalıdır. Türbülans bir sıvının ya da gazın hareket halindeki düzensizlik olarak tanımlanır.
Nehir girdaplarında veya yangından yükselen dumanda bulabileceğiniz bir hareket türüdür. Türbülans aynı zamanda borulardan akan sıvıların hareketinde de meydana gelir ve atmosferdeki sıcak ve soğuk havanın türbülanslı karışımı, bazen bir uçakta hissettiğimiz sarsıntılı hareketten sorumludur.
Türbülanssız akış dediğimiz zaman sakince akan bir dereyi düşünebilirsiniz. Sonuçta bu durumda su derenin her noktası aynı hızla aynı yöne hareket eder. Ancak derenin ortasına bir kaya parçası bırakılırsa, akışın farklı kısımlarında, akış hızı ve yönü farklılaşır. Bunun sonucunda da akış türbülanslı hâle gelir.
Türbülanslı bir akışta akan suyun hızını ve yönünü ölçerseniz birbirine çok yakın noktalarda çok farklı cevaplar alabilirsiniz. Bu karmaşıklığa rağmen, bilim insanları sıvı akışının Navier-Stokes denklemleri tarafından makul bir doğruluk düzeyinde tanımlandığını kabul eder.
Navier-Stokes Denklemleri Nedir?
Fizikçiler ise türbülansı tanımlarken girdap kavramına atıf yaparlar. Onlara göre türbülans düzgün bir akım içerisinde bulunan iç içe geçmiş girdaplar ile oluşur. Bu girdapların yarattığı etki ile sıvı birbirinden bağımsız ve farklı şekilde hareket eden parçalara ayrılır. Araştırmacılar tam olarak nasıl bu sürecin gerçekleştiğini ve türbülansa uğramış bir sıvının şeklini modellemeyi amaçlamaktadırlar.
Aslında Clay Enstitüsü’nün ödülü vermek için talep ettiği bilgi ise oldukça basit. Eşitliklerin çözümlerinin her durumda var olduğunun bir ispatına ihtiyaç var. Yani soru şu. Bu denklemler, her başlangıç koşulundaki her akışkanın, herhangi bir gelecek zamandaki durumunu tanımlar mı?
Navier-Stokes Denklemleri Nasıl Gösterilir?
Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes’un isimli fizikçilerin adını taşıyan Navier-Stokes denklemleri, birleştirilmiş kısmi diferansiyel denklemler kümesidir. Bu denklemler hızdaki değişiklikleri, basınçtaki değişiklikleri ve sıvının viskozitesini ilişkilendirir.
Navier-Stokes denklemleri hız ve basınç miktarında gerçekleşen değişimlerin hesaplanmasını içermektedir. Türbülanslı akışın zorluğu, denklemlerin arkasındaki matematiği de yansımaktadır.
Bir sıvının veya gazın hareketini tanımlamaya çalışırken, peşinde olduğunuz şey, v(x,y,z,t) hızı ve sıvının uzayda (x,y,z) noktasında ve t zamanındaki P(x,y,z,t) basıncıdır. Ancak V ve P fonksiyonlarını bulmak için aşağıdaki denklemleri çözmek gerekir.
Bu Denklemleri Neden Çözemiyoruz?
200 yıldır süregelen deneyler sonucu anladık ki bu denklemler kesinlikle işimize yarıyor. Navier-Stokes’un öngördüğü akışlar, deneylerde gözlemlenen akışlara uyuyor. Eğer laboratuvarda çalışan bir fizikçiyseniz, bu uyumluluk yeterli olabilir. Ama matematikçiler bundan fazlasını bilmek istiyor.
Ancak sizin de tahmin edebileceğiniz gibi bu denklemleri çözmek çok da kolay değil. Denklemlerin kesin çözümleri, yalnızca fiziksel önemi olmayan basitleştirilmiş problemler için mevcuttur. Ancak bu denklemlerin pratik olarak işimize yaraması için, muazzam hesaplama gücü gerektiren bilgisayar simülasyonları gerekiyor. Ancak bu şekilde yaklaşık çözümler bulunması mümkün olacaktır.
Denklemlerin en genel biçimi için kesin matematiksel çözümlerin var olup olmadığını henüz kimse bilmiyor. Ve eğer varlarsa, bir sıvının nasıl davranması gerektiğine dair sezgimizle uyuşmayan süreksizlikler veya sonsuzluklar gibi tuhaflıkları içerip içermediklerini de hala bilmiyoruz.
Sonucunda geleceğin matematikçilerinin bu bilmeceyi çözüp çözemeyeceğini bize zaman gösterecek. Diğer sorulara göz atmak isterseniz: Henüz Kimsenin Çözemediği Milenyum Soruları Nelerdir?
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- What Makes the Hardest Equations in Physics So Difficult?; Yayınlanma Tarihi: 16 Ocak 2018; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org
- Maths in a minute: The Navier-Stokes equations; Yayınlanma tarihi: 2 Eylül 2015; Bağlantı: https://plus.maths.org/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
