Fizik

Fiziğin En Zor Sorularından Biri: Navier-Stokes Denklemleri

Fizik bilimi bize uzay zamanın bükülmesinden fotonların hareketine kadar her şeyi tarif eden denklemler sunar. Buna karşılık denklemlerden biri o kadar zor ki Clay Mathematics Institute tarafından ortaya konan “Bin Yıllık Ödüllü Problemler” listesinde yerini almıştır. Bu sıvıların akışını tarif eden Navier-Stokes denklemleridir. Peki, suyun bir borudan akışı gibi basit bir şeyi ifade eden bu denklemleri, örneğin Einstein’ın alan denklemleri gibi, karadelikleri barındıran denklemlerden daha zor kılan tam olarak nedir?

Türbülans bir sıvının ya da gazın hareket halindeki düzensizlik olarak tanımlanır. Nehir girdaplarında veya yangından yükselen dumanda bulabileceğiniz bir hareket türüdür. Türbülans aynı zamanda borulardan akan sıvıların hareketinde de meydana gelir ve atmosferdeki sıcak ve soğuk havanın türbülanslı karışımı, bazen bir uçakta hissettiğimiz sarsıntılı hareketten sorumludur.

Cevap, hepimizin bazen uçak yolculuğu yaparken bazen de küvette keyif çatarken deneyimlediği türbülans. Bu kadar aşina olmamıza rağmen türbülans hakkında en az bilinen fenomenlerden biri. Bunun nedeni doğası gereği türbülansı ölçümlemenin zorluğuyla alakalıdır. Türbülanslı bir akışta akan suyun hızını ve yönünü ölçerseniz birbirine çok yakın noktalarda çok farklı cevaplar alabilirsiniz. Bu karmaşıklığa rağmen, bilim insanları sıvı akışının Navier-Stokes denklemleri tarafından makul bir doğruluk düzeyinde tanımlandığını kabul eder.

Navier-Stokes Denklemleri Nedir?

Navier-Stokes Denklemleri
Türbülanssız akışa en basit örneklerden biri akıntısız bir nehirdir. Bu durumda, nehri oluşturan her damla aynı yönde ve aynı hızda hareket eder. Ancak türbülansa uğramış bir nehirde ise farklı damlalar farklı yönlere ve farklı hızda hareket etmektedir.

Fizikçiler ise türbülansı tanımlarken girdap kavramına atıf yaparlar. Onlara göre türbülans düzgün bir akım içerisinde bulunan iç içe geçmiş girdaplar ile oluşur. Bu girdapların yarattığı etki ile sıvı birbirinden bağımsız ve farklı şekilde hareket eden parçalara ayrılır. Araştırmacılar tam olarak nasıl bu sürecin gerçekleştiğini ve türbülansa uğramış bir sıvının şeklini modellemeyi amaçlamaktadırlar. Aslında Clay Enstitüsü’nün ödülü vermek için talep ettiği bilgi ise oldukça basit. Eşitliklerin çözümlerinin her durumda var olduğunun ispatı. Yani soru şu. Bu denklemler, her başlangıç koşulundaki her akışkanın, herhangi bir gelecek zamandaki durumunu tanımlar mı?

Navier-Stokes Denklemlerini Neden Çözemiyoruz?

Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes’un isimli fizikçilerin adını taşıyan Navier-Stokes denklemleri, birleştirilmiş kısmi diferansiyel denklemler kümesidir. Bu denklemler hızdaki değişiklikleri, basınçtaki değişiklikleri ve sıvının viskozitesini ilişkilendirir. Bir sıvının veya gazın hareketini tanımlamaya çalışırken, peşinde olduğunuz şey, v(x,y,z,t) hızı ve sıvının uzayda (x,y,z) noktasında ve t zamanındaki P(x,y,z,t) basıncıdır. Ancak V ve P fonksiyonlarını bulmak için aşağıdaki denklemleri çözmek gerekir.

Uzayda bir (x,y,z) noktasında, v(x,y,z) hızının her koordinat için bir tane olmak üzere üç bileşeni (u,v,w) vardır. Sıvının basıncı P(x,y,z)’dir. Denklemlerdeki Re parametresine Reynolds sayısı denir ve sıvının viskozitesini ölçer. Navier-Stokes denklemleri hız ve basınç miktarında gerçekleşen değişimlerin hesaplanmasını içermektedir. Türbülanslı akışın zorluğu, denklemlerin arkasındaki matematiği de yansımaktadır.

200 yıldır süregelen deneyler sonucu anladık ki bu denklemler kesinlikle işimize yarıyor. Ancak sizin de tahmin edebileceğiniz gibi bu denklemleri çözmek çok da kolay değil. Ama bu kolay bir başarı değil. Denklemlerin kesin çözümleri, yalnızca fiziksel önemi olmayan basitleştirilmiş problemler için mevcuttur. Ancak bu denklemlerin pratik olarak işimize yaraması için, muazzam hesaplama gücü gerektiren bilgisayar simülasyonları gerekiyor. Ancak bu şeklide yaklaşık çözümler bulunur.

Denklemlerin en genel biçimi için kesin matematiksel çözümlerin var olup olmadığını kimse bilmiyor. Ve eğer varlarsa, bir sıvının nasıl davranması gerektiğine dair sezgimizle uyuşmayan süreksizlikler veya sonsuzluklar gibi tuhaflıkları içerip içermediklerini de hala bilmiyoruz. İşte, bu sorunun cevabı size Clay Matematik Enstitüsü’nden bir milyon dolar kazandırabilir.

Kaynaklar ve İleri Okumalar:

Matematiksel

Deniz Karagöz

Hukuk eğitimi almış olmama rağmen matematik her zaman ilgimi çeken bir bilim olmuştur. Matematiksel.org bana bu ilgimi üretkenliğe çevirme şansı veren kaliteli bir ortam. Bu yüzden gerek çevirilerim gerekse yazılarımla katkıda bulunabilmek benim için oldukça anlamlı. Aynı zamanda buradan beslenerek öğrenmeye de devam ediyorum. İyi okumalar

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu