Akışkanların hareketini tanımlayan Navier-Stokes denklemleri, matematik dünyasının hâlâ çözülememiş en büyük problemlerinden birini barındırır. Bu nedenle Clay Matematik Enstitüsü, bu problemi yedi “Milenyum Problemi”nden biri olarak ilan etmiş ve çözümü için 1 milyon dolarlık ödül koymuştur.
Peki, suyun hortumdan akması gibi gündelik bir olayı açıklayabilen Navier-Stokes denklemlerini matematiksel olarak anlamak neden bu kadar zordur? Üstelik bu denklemler, kara delikler gibi akıl almaz nesneleri tanımlayan Einstein’ın alan denklemlerinden bile neden daha karmaşık görünür? Yanıt, türbülansın doğasında saklıdır.
Türbülans Nedir?
Türbülansı günlük hayatta sık sık görürüz. Uçakta sarsıntılı bir hava akımından geçerken ya da küvet giderinde dönen suya bakarken türbülansla karşılaşırız. Ancak bir olayı sık görmek, onu gerçekten anladığımız anlamına gelmez.
Düzgün akan bir nehri düşünelim. Su, büyük ölçüde aynı yöne ve benzer hızlarla ilerler. Türbülans başladığında ise bu düzen bozulur: Akışın bazı bölümleri hızlanır, bazıları yavaşlar, bazıları da farklı yönlere savrulur.
Fizikçiler bu karmaşayı iç içe geçmiş girdaplarla açıklar. Akışta önce bir dönme hareketi ortaya çıkar ve bu hareket bir girdap oluşturur. Ardından bu girdabın içinde daha küçük girdaplar belirir; onların içinde de daha küçük girdaplar oluşur. Böylece akışkan artık düzenli ve tek parça hâlinde ilerlemez. Sayısız küçük hareket birbirini etkiler ve akış giderek daha karmaşık bir yapıya dönüşür.
Araştırmacılar, düzgün bir akışın hangi koşullarda bozulduğunu ve nasıl türbülansa dönüştüğünü anlamaya çalışır. Türbülans başladıktan sonra akışkanın nasıl davranacağını da öngörmek isterler. Ancak Milenyum Problemi, daha temel bir soruya odaklanır.
Navier-Stokes problemi şunu kanıtlamayı amaçlar: Bu denklemler her durumda geçerli bir çözüm üretir mi? Üstelik bu çözümler yalnızca kısa bir süre için değil, gelecekteki tüm zamanlar için geçerli olur mu? Clay Matematik Enstitüsü, bu soruyu çağımızın en önemli çözülememiş matematik problemlerinden biri olarak seçmiştir.
Navier-Stokes Denklemleri Nedir?
Claude-Louis Navier, Fransız bir mühendis ve fizikçiydi. George Gabriel Stokes ise İrlandalı bir matematikçi ve fizikçiydi. Bugün adlarını birlikte anmamızın nedeni, akışkanların hareketini tanımlayan en önemli matematiksel modellerden birinin gelişimine katkı sunmuş olmalarıdır.
Navier, 1822’de viskoz akışkanların hareketi için bir denklem sistemi ortaya koydu. Başka bir deyişle; su, yağ ya da hava gibi akarken iç sürtünmeye sahip maddelerin davranışını matematiksel olarak açıklamaya çalıştı. Stokes da yaklaşık yirmi yıl sonra aynı konu üzerine çalışmaya başladı. İkisinin çalışmaları zamanla Navier-Stokes denklemleri olarak anıldı.
Bir akışkanı anlamak için iki farklı yol izleyebiliriz. İlk yol, suyun içindeki küçük parçacıkları tek tek takip etmektir: Bir parçacık nereden başladı, hangi yoldan geçti, nereye gitti? Bu yaklaşım ilk bakışta doğal görünür. Ancak akışkanın içinde sayılamayacak kadar çok parçacık bulunduğundan, bu yöntem kısa sürede karmaşıklaşır.
İkinci yol daha kullanışlıdır. Bu kez tek tek parçacıkları izlemek yerine, akışkanın her noktasında o anda ne olduğunu sorarız: Örneğin nehrin bir noktasında su hangi yöne akıyor? Ne kadar hızlı akıyor? Bir saniye sonra bu hız nasıl değişiyor?
İşte bu bakış açısına “hız alanı” denir. Hız alanı, akışkanın her noktasına bir hız ve yön bilgisi yerleştirir. Bir hava durumu haritasındaki rüzgâr oklarını düşünelim. Haritadaki her ok, havanın o noktada hangi yöne ve ne kadar hızlı hareket ettiğini gösterir. Hız alanı da bunun matematiksel karşılığıdır.
Navier ve Stokes’un önemli fikri buydu: Akışkanı, tek tek parçacıkların izlediği yollar üzerinden değil, hız alanı üzerinden anlatmak problemi daha anlaşılır hâle getirir. Navier-Stokes denklemleri de tam olarak bunu yapar; akışkanın her noktada ve her anda hangi hızla, hangi yöne hareket ettiğini hesaplamaya çalışır.
Çözüme Yaklaştık mı?
İki boyutlu akışlar için cevap “evet”tir. Matematikçiler bu durumda çözümlerin var olduğunu biliyor. Ancak üç boyutlu akışlarda durum hâlâ belirsizdir. Gerçek dünyadaki akışlar üç boyutludur ve Navier-Stokes denklemlerinin bu durumda her zaman düzgün bir çözüm verip vermediği hâlâ bilinmiyor.
Navier-Stokes denklemleri, türbülansı anlamak için hâlâ son derece kullanışlıdır. Çünkü bu denklemler akışkanı sürekli bir madde gibi ele alır ve çoğu durumda bu yaklaşım yeterince doğru sonuç verir.
Asıl sorun, türbülansı bilgisayarda hesaplamaya çalıştığımızda ortaya çıkar. Bilgisayarlar akışkanı kesintisiz bir bütün olarak işleyemez. Bu nedenle uzayı küçük parçalara, zamanı da küçük aralıklara böler. Başka bir deyişle, akışı kareli bir kâğıt üzerinde inceliyormuş gibi düşünürüz. Her küçük bölgede hızın ve basıncın nasıl değiştiği adım adım hesaplanır.
Fakat türbülans tek bir ölçekte gerçekleşmez. Büyük girdaplar oluşur; onların içinde daha küçük girdaplar, onların içinde de daha küçük hareketler ortaya çıkar. Bu yapı milimetre ölçeğine kadar inebilir. Bilgisayarın bütün bu ayrıntıları yakalayabilmesi için son derece sık bir hesaplama ağı kurması gerekir. Böyle bir ağı kurmak ve her noktadaki değişimi hesaplamak ise pratikte çoğu zaman mümkün değildir.
Bu yüzden mühendisler türbülansı çoğu zaman doğrudan çözmeye çalışmaz. Bunun yerine, türbülansın ortalama davranışını veren istatistiksel modeller kullanır. Bu modeller her küçük girdabı tek tek göstermez; ancak akışın genel etkisini hesaplamaya yardımcı olur
Sonuç Olarak
Yaklaşık 200 yıllık deneyim bize şunu gösteriyor: Navier-Stokes denklemleri işe yarar. Bu denklemlerle yapılan hesaplar, laboratuvarda ve gerçek hayatta gözlenen akışlarla büyük ölçüde uyuşur. Bir fizikçi ya da mühendis için bu çoğu zaman yeterlidir: Uçaklar tasarlanır, otomobillerin hava direnci azaltılır, kan akışı modellenir.
Ancak matematikçiler daha temel bir sorunun peşindedir: Bu denklemler gerçekten her durumda çözüm üretir mi? Bir akışkanı herhangi bir başlangıç durumundan alıp geleceğe doğru kesintisiz biçimde izleyebilir miyiz? Akışın ne zaman düzenli kalacağını, ne zaman türbülansa dönüşeceğini kesin olarak bilebilir miyiz?
Navier-Stokes problemini bu kadar önemli yapan da budur. Denklemler günlük dünyayı şaşırtıcı bir başarıyla açıklar. Ancak matematiksel olarak her zaman güvenli bir yol çizip çizmediklerini hâlâ bilmiyoruz. Suyun akışı bize sıradan görünebilir; fakat bu sıradan hareketin içinde modern matematiğin en büyük bilmecelerinden biri saklıdır.
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- What Makes the Hardest Equations in Physics So Difficult?. Yayınlanma Tarihi: 16 Ocak 2018; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org
- Maths in a minute: The Navier-Stokes equations; Yayınlanma tarihi: 2 Eylül 2015; Bağlantı: https://plus.maths.org/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
