Matematik Ne İşe Yarar?

Black-Scholes Denklemi İle Piyasaların Matematiğini Öğrenelim

İş dünyasında şirketler, risklerini mümkün olduğunca ortadan kaldırmak isterler. Bunu yapmanın yollarından biri, türev adı verilen finansal ürünleri satın almaktır. Türev ürünler, değerleri hisse senetleri, tahviller, yabancı para, faiz gibi bazı temel varlıklara bağlı olan finansal ürünlerdir. Türev ürünlerin işlem gördüğü piyasalar türev piyasalar veya vadeli işlem piyasaları olarak adlandırılmaktadır.

Bu ürünler sigorta poliçesi olarak düşünmek gerekir. Bir şirket bu türev ürünlerden birini satın alırsa, gelecekte belirli risklere maruz kalmasını engelleyecektir. Bu türevler kendi başlarına da alınıp satılmaktadır. Ancak bu ticaret, büyük miktarlarda para kazanmanın yanı sıra kaybetme potansiyeline de sahiptir.

Bir yıl sonraki bir uçuş için bugünden bilet satan bir havayolu düşünün. Yakıt, bir havayolunun en büyük maliyetlerinden biridir. Bir yılın sonunda da yakıtın ne kadar değişeceğini tahmin etmek zordur. Gelecekte müşterilerin ödeyeceği fiyat yakıtın maliyetini bile karşılamayabilir. Bu riskten kaçınmanın iyi bir yolu, havayolunun bir yıl içinde yakıt için ödeyeceği fiyatı belirleyen bir tür türev ürünü olan forward sözleşmesi imzalaması olacaktır. Forward finans dünyasında yaygın bir biçimde kullanılan bir çeşit sözleşmedir. Herhangi bir ürünün satışı hakkında geleceğe dönük olarak hazırlanır.

Tabii ki, yakıt fiyatlarının düşme olasılığı da vardır. Bu durumda kararlaştırılan fiyat, o zaman satın alması durumunda ödeyeceği fiyattan çok daha yüksek de olabilir. Yani bu durumda şirket bir risk alır. Ancak çoğu şirket bunun fazla olası olmadığını bildiği için bu riski almayı kabullenecektir. Elbette bir banka bir türev ürün satıyorsa, bunu kaça satması gerektiğini de bilmelidir. İşte bu noktada da matematikçiler devreye girer. 

Black Scholes Denklemi Nedir?

Black Scholes denklemi modern finans teorisindeki en önemli kavramlardan biridir. Bu matematiksel denklem, zamanın ve diğer risk faktörlerinin etkisini dikkate alarak diğer yatırım araçlarına dayalı türev ürünlerin teorik değerini tahmin eder.

Avrupa tipi opsiyonların fiyatlarını hesaplamak üzere 1973 yılında Fisher Black ve Myran Scholes tarafından geliştirilmiştir. Robert C. Merton’un yeni bir çözüm önerisi ile model literatürde Black Scholes Merton olarak isimlendirilmeye başlamıştır. 1997 yılında bu çalışmaları sayesinde, Merton ve Scholes, Ekonomi alanında Nobel Ödülü almışlardır. ( (Black 1995’te ölmüştür)

1973 yılında geliştirilmiş olmasına rağmen, hala bir opsiyon sözleşmesini fiyatlandırmanın en iyi yollarından biri olarak kabul edilmektedir. ( Opsiyon, satın alan tarafa herhangi bir ürünün fiyatını bugünden sabitlemek koşulu ile bu ürünü ileride bir vadede satın alma ya da satma hakkını veren bir
anlaşmadır.)

Bu denklemin farklı gösterim biçimleri vardır. Bunlardan bir tanesini aşağıda görebilirsiniz. Denklemin arka planındaki matematik oldukça karmaşıktır. Bu nedenle sadece ne işe yaradığı konusuna odaklanacağız. Ancak detayları merak ederseniz kaynaklar kısmına göz atmanızı öneririz.

Black Scholes denklemi forward sözleşmelerini fiyatlandırmak için yaygın olarak kullanılan bir diferansiyel denklemdir.

Denkleme dahil olan farklı değişkenler vardır. Denklemdeki “σ” bir malın fiyatlarındaki dalgalanmayı, “S” malın fiyatını, “V” zamana ve mal fiyatına bağlı bir fonksiyonu, “r” yıllık risksiz faiz miktarını belirtir. Denklemde karmaşık bir türev hesabı yapılarak fiyatlar belirlenmeye çalışılmaktadır.

Black Scholes Modeli Nasıl Ortaya Çıktı?

Orijinal Black Scholes modeli, hisse senedi fiyatının rastgele bir Brown hareketinin bir fonksiyonu olduğunu varsayıyordu. Borsa da yaygın olarak kullanılmakta olan Brown hareketi temelde rastlantısal bir hareket olup, küçük taneciklerin sıvı veya gaz molekülleri içindeki hareketi ile ilgilidir. İlk olarak 1827’de İskoç botanikçi Robert Brown tarafından fark edildiği için onun adını taşımaktadır.

Brown hareketinin örnek bir yolu

Brown hareketinin keşfi ve evrenselliği, matematiğin karmaşık olayları olasılıkları kullanarak tanımlama gücünü gösterir. Bu hareket biçiminde herhangi bir zamanda, hisse senedi fiyatı (veya parçacık) eşit olasılıkla yukarı veya aşağı (veya bir parçacıkla, mevcut yönlerden herhangi birinde) hareket eder. Bu modeli hisse senedi fiyatı davranışı için kullanan Black ve Scholes, bir opsiyonu fiyatlandırma probleminin ısı denklemini fizikten çözme problemine eşdeğer olduğunu bulmuştu.

Ancak bu modelin bazı sorunları vardır. En önemli sorunlardan birisi geliştirilmesi esnasında sadece Avrupa opsiyonlarını temel almasıydı. Bu nedenle ilerleyen yıllarda denklemde bazı iyileştirmeler yapılmıştır. Diğer bir sorun ise opsiyon sözleşmesinin teorik değerini hesaplarken sadece dayanak varlığın fiyatını dikkate alması ve diğer önemli faktörleri göz ardı etmesidir. Sonuçta gerçek pazarlarda bu modelin öngördüğünden çok daha fazla büyük değişiklikler olmaktadır. Her ne kadar sınırlandırmaları olsa da Black Scholes denklemi ekonomi ile uğraşanların elindeki en önemli matematiksel araçlardan birisidir.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Başa dön tuşu