Antik uygarlıklardan Babilliler dönemlerinde karmaşık hesapları yapmayı sağlayan önemli buluşlar yaptı. Dört işleme ek olarak, sayıların karesi, küpü veya karekökü gibi hesapları yapma yöntemleri geliştirdiler. 1900’lü yılların başında Irak’ın güneyinde keşfedilen Plimpton 322 adıyla bilinen Babillere ait 3700 yıllık kil tabletin bilinen en eski trigonometrik tabloyu içermesi de onların zamanının çok ötesinde olduğunu gösteriyordu. Bu yazıda Babil matematiğine kısaca bir göz atalım. Elde edeceğimiz bazı bilgileri belki de günlük yaşantımıza da uygulayabiliriz.
Babil Matematiğinin Temelleri
Babil matematiği bugün kullandığımız 10’luk tabanlı sayılar yerine 60’lık sayı tabanını kullanıyordu. (Aslında saatleri ve açıları ölçerken 60 sayısını kullanmamızın nedeni de budur). 10’luk sistemde 10 ve 10 sayısının katları bizim için basamaktır. Ancak Babilliler gibi 60’lık sistem kullanırsanız basamaklarınız birler, 60’lar, 3600’ler şeklinde olur.
Plimpton 322 tabletinde karşımıza çıkan (1.0, 1.20, 1.40) sayılarını onluk sisteme çevirdiğimizde karşımıza çıkan saydı (60, 80, 100) olur. Bu sayı en meşhur 3,4,5 Pisagor Üçlüsüdür. Bu bize bir dik üçgende hipotenüsün karesinin a ve b kenarlarının karelerinin toplamına eşit olduğunu yani Pisagor teoreminin o dönemde de bilindiğini gösterir.
Babilliler çarpma işlemini nasıl gerçekleştirdiler?
Babilliler matematik alanında çok ilerleyince, M.Ö. 1800-1600 döneminde matematikle ilgili 400 kil tablet yazdılar. Tabletlerden birinde, çarpma işlemlerini kolayca yapma yöntemi anlatılmaktadır. Ancak bu çarpma işlemi bizim günümüzde kullandığımızdan çok farklıdır. Ayrıca bu çarpma işlemini yaparken elinizde bir kil tablet olması gerekmektedir.
Şimdi Babilli bir öğrenci olduğunuzu düşünelim. Öğretmeniniz de sizden 23 × 57 işleminin sonucunu hesaplamanızı istesin. Bu durumda ilk olarak 23 sayısının katlarını içeren bir tablete göz atmanız gerekiyordu. Bu tablet aşağıdaki gibi bir şey olmalıydı. ( Tablodaki ondalık sayıların nedeni bu tabletin 60’lık sayma sistemine göre düzenlenmiş olmasıdır. )
Şimdi, 23 × 57’yi çarpmak için, 57 sayısını 50 + 7 biçiminde yazıyoruz ve çarpmanın toplama üzerindeki dağılma özelliğini kullanıyoruz. 23 × 57 = 23 × (50 + 7) = 23 × 50 + 23 × 7. Sonrada katlar tablosunu kullanarak 23 × 50 = (19,10)60 ve 23 × 7 = (2,41)60. Bu iki sayıyı toplayınca da (21,51) 60 sonucunu elde ediyoruz.
Sonuçta çarpma işleminin toplama haline getirerek cevabı buluyoruz. Kısacası Babilliler çarpma işlemini bu yöntemde toplama yardımı ile yapıyorlardı. Ancak bunun için de çok sayıda tablete ihtiyaçları vardı. Belki de bu nedenle ikinci bir yöntem daha geliştirdiler.
Babilliler sayıların karelerini içeren bir tableti nasıl kullanıyorlardı?
Aşağıdaki tablo 60 tabanında 1’den 50’ye kadar sayıların karelerini göstermektedir.
Bu ikinci çarpma yönteminde sayıların karelerinden faydalanmamız gerekiyor. Bunun için de iki özdeşliği bilmeliyiz. Özdeşlikler günümüzde kullandıklarımızın aslında aynısı. Sadece yerleri değiştirilerek düzenlenmiş halleri. (Bunlar benim ne işime yarayacak öğrencilere bu örneği vererek kalplerini fethedebilirsiniz) Şimdi 26 × 14 işleminin sonucunu iki biçim de bulmaya çalışalım.
| x×y = [(x + y)2 − x2 − y2] ÷ 2 | x×y = [(x + y)2 − (x − y)2] ÷ 4 |
| 26×14 = [(26 + 14)2 – 262 – 142] ÷ 2 | 26 × 14 = [(26 + 14) 2 – (26 – 14) 2] ÷ 4 |
| = [402 – 262 – 142] ÷ 2 | = [402 – 122] ÷ 4 |
| = [(26,40)60 – (11,16)60 – (3,16)60] ÷ 2 | = [(26,40) 60 – (2,24) 60] ÷ 4 |
| = (12,8)60 ÷ 2 = (6,4)60 . | = (24,16) 60 ÷ 4 = (6,4) 60. |
Buraya kadar aktardıklarımızın tarihsel değerleri olsa da pratik anlamda işimizi çok kolaylaştırmayacakları aşikar. Ancak iş Babillilerin kullandığı karekök bulma algoritmasına gelince bazı pratik ipuçları edinebilirsiniz.
Babil karekök algoritması
Hero’s method adı ile de bilinen bu karekök alma yönteminde size herhangi bir pozitif S sayısı verilir. S’nin karekökünü bulmak için aşağıdaki adımları uygulamak gerekmektedir.
- Bir ilk tahminde bulunun. Sonuç için herhangi bir pozitif x0 sayısı tahmin edin. Bu ilk tahmini gerçekçi yapmanız önemlidir. Aksi takdirde sonraki basamakları çok defa tekrarlamanız gerekir. Bu nedenle ilk tahmini yaparken özellikle küçük sayılarda tam kare sayılardan faydalanabilirsiniz.
- Tahmini geliştirin. x1 = (x0 + S / x0) / 2 formülünü uygulayın. Sonuçta, x1 sayısı S sayısının kareköküne daha iyi bir yaklaşımdır.
- İşlemi tekrarlayın: xn+1 = (xn + S / xn) / 2 formülünü uygulayın. xn+1 ve xn sayılarının ondalık basamakları birbirine yakınsama sağladığı zaman durun.
Şimdi hemen bir deneme yapalım. 20 sayısının karekökünü virgülden sonra iki basamak olacak biçimde hesaplamaya çalışalım. İlk olarak bir tahminde bulunalım. Diyelim ki ilk tahminde 10 sayısı dediniz. Şimdi hemen bu tahmini geliştirmeye başlayalım ve formülde ilgili yere yazalım.
Bu durumda x1 = (10 + 20/10)/2 = 6 olacaktır. Şimdi işlemi devam ettirelim. x2 = (6 + 20/6)/2 = 4.66667 olacaktır. Şu an ilk iki sonucumuz arasında bir benzerlik yok. Bu nedenle devam etmeliyiz. x3 = 4.47619 ve x4 = 4.47214 sonuçlarını elde ederiz. Gördüğünüz gibi son iki sonucumuzun virgülden sonraki iki basamağı birbirinin aynısı. Bu sayede de 20 sayısının karekökünün yaklaşık olarak 4,47 olduğunu söyleyebiliriz.
Çok büyük sayılar için etkisiz olsa da küçük sayılar ile pratik yapmak için hem ilginç hem de eğlenceli bir yöntem olduğunu düşünüyoruz. Babil matematiği gerçekten incelenmeye değer. Yazının devamında göz atmanızı öneririz. Bu Babil Tabletleri Trigometriye Farklı Bir Açıdan Bakmamızı Sağlıyor
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
- Donald E. Knuth; Ancient Babylonian Algorithms; Bağlantı: https://teaching.csse.uwa.edu.au/
- The Babylonian method for finding square roots by hand; Bağlantı: https://blogs.sas.com/
Matematiksel
