ARİTMETİK

Babillilerin Kullandığı Kolay Hesaplama Yöntemleri

Antik uygarlıklardan Babilliler dönemlerinde karmaşık hesapları yapmayı sağlayan önemli buluşlar yaptı. Zamanla dört işleme ek olarak, sayıların karesi, küpü veya karekökü gibi hesapları yapma yöntemleri de geliştirildi.

1900’lü yılların başında Irak’ın güneyinde keşfedilen Plimpton 322 adıyla bilinen Babillere ait 3700 yıllık kil tabletin bilinen en eski trigonometrik tabloyu içermesi de onların zamanının çok ötesinde olduğunu gösteriyordu.

Plimpton

Babil Matematiği

Babil matematiği bugün kullandığımız 10’luk tabanlı sayılar yerine 60’lık sayı tabanını kullanmıştı. (Saatleri ve açıları ölçerken 60 sayısını kullanmamızın nedeni Babillilerdir.)

10’luk sistemde 10 ve üsleri bizim için basamaktır. Ancak Babilliler gibi
60’lık sistem kullanırsanız basamaklarınız birler, 60’lar, 3600’ler
şeklinde olur. Plimpton 322 tabletinde karşımıza çıkan (1.0, 1.20, 1.40)
sayılarını onluk sisteme çevirdiğimizde karşımıza çıkan saydı (60,
80, 100)olur. Bu sayı en meşhur 3,4,5 Pisagor Üçlüsüdür.

Bu bize Babilliler’in, bir dik üçgende hipotenüsün karesinin a ve b kenarlarının karelerinin toplamına eşit olduğunu yani Pisagor teoremini bildiğini gösterir.

Babilliler matematik alanında çok ilerleyince, M.Ö. 1800-1600 döneminde matematikle ilgili 400 kil tablet yazdılar. Tabletlerden birinde, çarpma işlemlerini kolayca yapma yöntemi anlatılır.

Babilliler çarpma işlemini nasıl gerçekleştirdiler?

23 × 57’yi çarpmak istediğimizi varsayalım. Babilli bir öğrenci bunun için 23’ün katlarını içeren bir tablet kullanırdı.

60’lık tabanda 23’ün katları tablosu

Şimdi, 23 × 57’yi çarpmak için, 57 sayısını 50 + 7 biçiminde yazıyoruz ve çarpmanın toplama üzerindeki dağılma özelliğini kullanıyoruz.

23 × 57 = 23 × (50 + 7) = 23 × 50 + 23 × 7

Sonrada katlar tablosunu kullanarak 23 × 50 = (19,10)60 ve 23 × 7 = (2,41)60. Bu iki sayıyı toplayınca da (21,51) 60 sonucunu elde ediyoruz. Sonuçta çarpma işleminin toplama haline getirerek cevabı buluyoruz.

Babilliler sayıların karelerini içeren bir tableti nasıl kullanıyorlardı?

Aşağıdaki tablo 60 tabanında yazılmış 1’den 50’ye kadar sayıların karelerini göstermektedir.

Kareleri kullanarak iki sayının çarpımını bulmak için kullanılabilecek iki formül vardır. Bunlar aşağıdaki gibidir.

  • x×y = [(x + y)2 − x2 − y2] ÷ 2
  • x×y = [(x + y)2 − (x − y)2] ÷ 4

60 tabanlı bir sayıdaki tüm basamakları 2 veya 4’e bölünebiliyorsa, o zaman sayının kendisi de bölünebilir. İlk formülü kullanarak bir örneğe bakalım.

Örnek: 26 × 14 işleminin sonucunu x×y = [(x + y)2 − x2 − y2] ÷ 2 formülünü kullanarak bulalım.

26 × 14 = [(26 + 14)2 – 262 – 142] ÷ 2

= [402 – 262 – 142] ÷ 2

= [(26,40)60 – (11,16)60 – (3,16)60] ÷ 2

= (12,8)60 ÷ 2 = (6,4)60

Şimdi de ikinci formülü kullanarak bir örneğe bakalım.

Örnek: 26 × 14 işleminin sonucunu x×y = [(x + y)2 − (x − y)2] ÷ 4 formülünü kullanarak bulalım.

26 × 14 = [(26 + 14) 2 – (26 – 14) 2] ÷ 4

= [402 – 122] ÷ 4

= [(26,40) 60 – (2,24) 60] ÷ 4

= (24,16) 60 ÷ 4 = (6,4) 60.

İkinci formülü kullanırken, negatif sayılardan kaçınmak için x’i daha büyük sayı yapmak önemlidir. Çarpmanın değişme özelliği olduğu için x her zaman daha büyük sayı olabilir.

Babilliler elbette tüm bu çalışmaları ihtiyaçlarını karşılayabilmek adına yapmışlardır. Ancak onların tarih önceki dönemden günümüze gelen bu buluşları gerçekten etkileyici…

Kaynak: The Saga of Mathematics: A Brief History by M. Lewinter and W. Widulski; http://math.widulski.net/worksheets/BabylonianMultiplication.html

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu