Matematiksel Platonizmin Anlamına ve Felsefik Düşüncesine Bir Bakış

Matematiksel platonizm son birkaç on yılda matematik felsefesinde en çok tartışılan konulardan biri olmuştur. Varlığı bizden ve dilimizden, düşüncemizden ve uygulamalarımızdan bağımsız olan soyut matematiksel nesnelerin var olduğu şeklindeki metafiziksel görüşe matematikle ilgili platonizm ya da matematiksel platonizm adı verilmektedir.

Uzun matematik tarihi, genellikle saf ve uygulamalı matematik arasında bir ayrımdan yoksundur. Yine de, örneğin son iki yüzyıl boyunca, saf matematik felsefesine odaklanma olmuştur. Özellikle, matematiğin sözde temellerine vurgu yapılmıştır. Bu odaklanma süreci metamatematik diye isimlendirilir. Süreç, matematiksel yöntemler kullanılarak matematiğin kendisinin incelenmesidir. Süreç içinde dört akım öne çıkar.

  • David Hilbert gibi formalistler, matematiği küme teorisi ve mantığın bir kombinasyonu üzerine kurulu olarak görürler.
  • Mantıkçılar matematiği mantığın bir uzantısı olarak görürler. Büyük mantıkçılar Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead, bir artı birin ikiye eşit olduğunu (mantıksal olarak) kanıtlamak için yüzlerce sayfa harcamışlardır.
  • Sezgiciler, bir ifadeyi kesin olarak kanıtlamadığınız veya bir karşı örnek oluşturmadığınız sürece, bunun nesnel bir doğruluk değeri olmadığına inanırlar. Matematiğin tamamen insan zihninin bir ürünü olduğunu kabul ederler.
  • Platonistler ise sayıların ve matematiğin diğer nesnelerinin varlığına inanırlar. Bu düşünceye göre matematiksel nesneler sıradan fiziksel nesneler kadar “gerçektir.” Matematiksel gerçekler bu nedenle keşfedilir, icat edilmez. Örneğin bir platonist, pi sayısının uzay ve zamanın dışında var olduğunu iddia edebilir.

Bu dört alternatiften hangisinin matematiğin temelini oluşturduğu tartışmalıdır. Ayrıca temeller üzerindeki bu belirsizliğin matematiğin uygulama pratiğini de etkilediği ileri sürülmüştür.

Matematiksel Platonculuk İle İlgili Temeller

Matematiksel platonizm, aşağıdaki üç tezin birleşimi olarak tanımlanır. Bazı matematiksel nesneler vardır. Bu matematiksel nesneler soyuttur. Bu matematiksel nesneler akıllı aracılardan, onların dilinden, düşüncesinden ve uygulamalarından bağımsızdır.

  • Varlık ile soyutluk olarak verilen ilk iki iddia, mevcut amaçlar için kabul edilebilir ölçüde açıktır. Şöyle ki, Varoluş “∃*Mx” olarak biçimselleştirilebilir. Burada “Mx, ‘x matematiksel bir nesnedir’ yüklemini kısaltır. Bu ifade sayılar, kümeler ve işlevler gibi incelenen tüm nesneler için geçerlidir.
  • Soyutluk, her matematiksel nesnenin soyut olduğunu söyler. Örneğin, sayılar ve kümeler gibi saf matematiğin diğer nesnelerinin (varsa) soyut olduğu; oysa kayaların, ağaçların ve insanların somut olduğu genellikle kabul edilir.
  • Bağımsızlık diğer iki iddiadan daha az açıktır. En bariz açıklama muhtemelen, herhangi bir akıl yürütme aracı olmasaydı ya da onların dili, düşüncesi veya uygulamaları farklı olsaydı, matematiksel nesnelerin hala var olacağı şeklindeki karşı-olgusal koşuldur. Bu karşı-olgusal bağımsızlık, bizim adlandırabileceğimiz şekliyle çoğu analitik filozof tarafından kabul edilmektedir. “X, Y’den bağımsızdır” içeriğinin en yaygın açıklaması, Y olmasa bile X’in var olacağıdır.

Üç Dünya Şeması

Platonistler, fiziksel dünyanın matematiksel nesneler alanının kusurlu bir gölgesi olduğuna inanırlar. Fiziksel dünya, bir şekilde, bu platonik alemden ortaya çıkar, onun içinde köklenir ve bu nedenle dünyadaki nesneler ve nesneler arasındaki ilişkiler, platonik alemdekileri gölgelerdir. Yani dünyanın kökleri matematiksel bir alandadır. Ancak bu düşünce akıllara bazı soru işaretleri getirecektir. Fiziksel alan neden platonik alemden ortaya çıksın ve kök salsın? Zihinsel alan neden fiziksel alandan ortaya çıksın? Zihinsel alemin neden platonik ile doğrudan bir bağlantısı olsun ki?

Roger Penrose, bu gizemin bir kısmını üç dünya şemasıyla en açık şekilde örneklemiştir. Platonik, fiziksel ve zihinsel dünyaları aşağıdaki gibi çizer. Daha sonra bir koni, platonik dünyayı fiziksel dünya ile birleştirir. Bu, fiziksel dünyanın (en azından bir kısmının) platonik dünyanın en azından bir kısmına gömülü olduğunu göstermek içindir. Benzer bir koni, fiziksel dünyayı zihinsel dünyaya bağlar: (en azından bir kısmı) zihinsel dünya fiziksel dünyaya gömülüdür. Son olarak zihinsel dünyadan platonik dünyaya bir koni ile tamamlanır: (en azından bir kısmı) platonik dünya zihinsel dünyaya gömülüdür.

Bazı Filozoflara Göre Platonizm Tanımları

Kurt Gödel

Michael Dummett’a (Filozof, 1925-2011) göre platonizm, matematiksel teorilerin ve bizden bağımsız olarak var olan soyut nesnelerin sistemleriyle ilgilidir. Bu teorilerin ifadeleri, bilgimizden bağımsız, kesin olarak doğru veya yanlış olduğu doktrinidir. Kurt Gödel (Mantıkçı ve Matematikçi, 1906-1978) gibi bir platonist için matematik, insan zihni olmadan, muhtemelen fiziksel evren olmadan da var olur. Ancak insanların zihinsel dünyası ile matematiğin platonik dünyası arasında gizemli bir bağlantı vardır.

Platonizm tarihsel bağlamda, Antik Yunan Filozofu Platon’un görüşünden ayırt edilmelidir. Her ne kadar ‘platonculuk’ kavramı, Platon’un teorisinden esinlenerek oluşturulmuşsa da, platonizm farklı bir kavramdır. Tartışılan platonizm sadece Platon’un görüşü değildir. Platonizm, yukarıda karakterize edildiği şekliyle tamamen metafizik bir görüştür.

Nesne Gerçekçiliği

Matematiksel platonizmi daha iyi anlamak için nesne gerçekçiliği kavramına eğilmekte de fayda var. Matematiksel nesneler matematik yaptığımızda, hakkında konuştuğumuz ve yazdığımız şeylerdir. Sayılar, fonksiyonlar, üçgenler, gibi şeylerin tümü matematiksel nesnelerdir. Matematik nesneleri soyut nesnelerdir. Onlar fiziksel nesneler değiller; ama onlar hakkında düşünüyoruz ve onlar hakkında gerçekten varlarmış gibi konuşuyoruz.

Nesne gerçekçiliği, soyut matematiksel nesnelerin var olduğu görüşüdür. Çağdaş felsefede tipik olarak soyut nesnelerin olmadığı görüşü olarak tanımlanan nominalizme karşı durur. Bağımsızlık kavramını dışarıda bıraktığı için, bu görüş mantıksal olarak matematiksel platonizmden daha zayıftır.

Öte yandan matematik felsefesindeki bazı görüşler, platonist olmamakla birlikte nesne gerçekçidir. Bu konuda bir örnek, matematiksel nesnelerin varlığını doğrulayan geleneksel sezgici görüşlerdir. Bu görüşlere göre nesne gerçekçiliği, soyut matematiksel nesnelerin var olduğunu söyler.

Doğruluk Değeri (Gerçek-değer) Gerçekçiliği

Doğruluk değeri gerçekçiliği, iyi biçimlendirilmiş her matematiksel ifadenin, bizim tarafımızdan bilinip bilinemeyeceğinden ve mevcut matematik teorilerimizden mantıksal olarak çıkıp çıkmayacağından bağımsız olarak benzersiz ve nesnel bir doğruluk değerine sahip olduğu görüşüdür. Görüş ayrıca, doğru olduğu kabul edilen çoğu matematiksel ifadenin aslında doğru olduğunu savunur. Dolayısıyla doğruluk değeri gerçekçiliği açıkça metafizik bir görüştür.

Matematiksel platonizm, matematiksel ifadelerin doğruluk değerlerini nasıl elde ettiğinin bir hesabını sağlayarak doğruluk değeri gerçekçiliğini açıkça motive eder. Ancak ilk görüş, başka öncüller eklenmedikçe ikincisini içermez. Çünkü matematiksel nesneler olsa bile, göndergesel ve nicel belirsizlik, matematiksel ifadeleri benzersiz ve nesnel bir doğruluk değerinden yoksun bırakabilir.

Tersine doğruluk değeri gerçekçiliği, kendi başına varlık kavramını gerektirmez. Bu nedenle ne nesne gerçekçiliğini ne de platonizmi ima eder. Çünkü matematiksel ifadelerin, bir matematiksel nesneler alanı önermeyen, benzersiz ve nesnel doğruluk değerlerine nasıl sahip olabileceğine dair çeşitli açıklamalar vardır. Aslında birçok nominalist, en azından aritmetik gibi matematiğin daha temel dalları hakkında, doğruluk değeri gerçekçiliğini onaylar.

Örneğin, 10 ile 20 arasında asal sayılar vardır önermesi, doğrudur. Gerçekte matematiksel nesneler ve dolayısıyla özellikle sayılar fiziksel anlamda yoktur. Ama bu önermede bir çelişki de yoktur. Matematikçilerin iddialarını ileri sürdükleri dil ile nominalistlerin ve diğer filozofların iddia ettikleri dili birbirinden ayırmalıyız. Bu önermenin ifadesi matematikçilerin dilinde yapılır. Nominalistin bu önermenin doğru olduğunu; ancak soyut nesnelerin olmadığı iddiasını sürmesi kendi dilini kullanmasını gerektirir.

Sonuç yerine;

Matematiksel platonizmde özellikle ele alınan soru, matematiksel nesnelerin var olup olmadığıdır. Bu nesneler varsa, nerede ve nasıl var olurlar ve onlar hakkında nasıl bilgi sahibi oluruz? Dolayısıyla fiziksel gerçeklerin var olduğu dünyadan uzakta matematiksel nesnelerin var olduğu ayrı bir dünya var mıdır? Varsa bu dünyaya nasıl erişim sağlarız? gibi önemli sorular matematik felsefesinin önemli bir tartışma konusudur. Görüldüğü gibi matematiğin güzelliği, felsefesine de yansımış. Bunun sonucunda da bize okunacak, araştırılacak ve yazılacak çok şey sunmuştur.


Kaynaklar ve ileri okumalar

Matematiksel

Olgun Duran

Ömür boyu öğrencilik felsefesini benimsemiş amatör tiyatro oyuncusu ve TEGV gönüllüsü; kitaplarından, doğaya hayranlığından, yeni yerleri görmekten, gittiği yerlerin kültürünü keşfetmekten ve bunların uğruna çabalamaktan vazgeç(e)meyen kişi...  

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz