Geometri

Jeodezik Eğri Nedir? İki Nokta Arasındaki En Kısa Mesafe Nasıl Bulunur?

Hepimize erken yaşta iki nokta arasındaki en kısa mesafenin düz bir çizgi olduğu öğretildi. Ancak bu ifade sadece kısmen doğrudur. İki nokta arasındaki en kısa mesafe aslında söz konusu nesnenin geometrisine bağlıdır. Örneğin bir küre üzerindeki en kısa mesafe, merkezi kürenin merkezi olan ve bu iki noktadan geçen bir büyük çemberin yay parçası ile ifade edilir. Kesin kelimelerle konuşmak gerekirse bir yüzey üzerinde yer alan ve iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi belirten eğriye jeodezik eğri denir. Söz konusu yüzey bir düzlem ise iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi veren düz çizgiler bir düzlemin jeodezikleridir. Bir kürede ise jeodezik, büyük çemberlerin bölümleridir. Bir düzlemde, herhangi iki nokta arasında her zaman yalnızca bir jeodezik vardır. Bir küre üzerinde ise sonsuz sayıda jeodezik bulunur. Geometride jeodezik eğriler oldukça kapsamlı araştırma konularından biridir. Bu yazıda biz daha çok küresel geometriye odaklanacağız ve iki nokta arasındaki en kısa mesafenin bu eğriler ile bağlantısını anlamaya çalışacağız.

Uçuşlarda İki Nokta Arasındaki En Kısa Mesafe Nasıl Hesaplanır?

Havayolu ile seyahat eden veya yalnızca uçuş rotalarını kontrol eden kişiler, muhtemelen uçuşların doğrudan bir yol izlemediğini, bunun yerine varış yerlerine doğru çoğu zaman kavisli bir rota izlediklerini fark etmişlerdir. Bu kavisli rotaların amacı yolu uzatmak değil aksine kısaltmaktır. Çünkü bu rota aslında iki konum arasındaki en kısa mesafedir. Bu kavisli rotalar genellikle kafa karıştırıcıdır, çünkü rotalar düz bir çizginin en kısa mesafe gibi görünebileceği 2 boyutlu düz bir haritada belirtilmiştir. Ancak, Dünya’nın hiçbir 2 boyutlu haritası doğru bir harita değildir çünkü Dünyamız 3 boyutlu bir uzaydır ve en doğru bir şekilde küre ile temsil edilir. Bununla birlikte, küreyi dikdörtgen bir şekle dönüştürmeye çalıştığımızda, çoğu haritada gözlemlenen şekilde bozulmalar meydana gelir. Bunun nedenini aşağıdaki haritalar üzerinde anlamaya çalışalım.

Bir pilot olduğunuzu ve Londra’dan San Francisco’ya uçtuğunuzu hayal edin. Solda gördüğünüz haritadan bir rota seçmeniz gerekiyor. Mavi ile işaretlenmiş düz çizgiyi mi yoksa sarı ile işaretlenmiş uzun eğri çizgiyi mi seçerdiniz? Size mavi olan gibi gelse de aslında eğri çizgi en kısa olanıdır! Bunun nedenini anlamak için olaya harita üzerinde değil de dünyanın yüzeyinde bakalım. Bir dünya üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yol, Dünya’nın merkezi dairenin merkezinde olacak şekilde dünyanın dört bir yanından geçen büyük bir çemberin parçasıdır. Dünya resminde büyük daire rotasının (sarı renkli) düz haritada görünenden neden daha kısa olduğunu görebilirsiniz. (Sarı çizgiyi, Dünya’yı çevreleyen daha büyük bir çemberin parçası olarak hayal edebilirsiniz). Dünya’da tüm jeodezik eğriler büyük çemberlerin parçalarıdır. Konuyu daha iyi anlayabilmeniz için bu noktada büyük çemberi biraz daha açıklamaya çalışalım.

Büyük Çember Nedir?

Herhangi bir büyük çember küreyi eşit iki parçaya (yarıküreye) böler. Dünya tam bir küre olmamasına rağmen çeşitli pratik avantajları nedeniyle büyük çember hesapları küre olduğu varsayılarak yapılır. Örneğin ekvator bir büyük çember kabul edilir. Benzer şekilde her bir boylam yayı, tam karşısındaki boylam yayı ile birleştirildiğinde bir büyük çember oluşturur.

 

Aşağıdaki resimde, P ve Q noktaları çap üzerinde olmayan iki noktadır ve PQ arasındaki yay en kısa mesafeyi temsil eder. Öte yandan u ve v noktaları zıt kutuplu noktalar olarak bilinir ve büyük çemberi iki özdeş yaya böler.

PQ yayaı, iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi temsil eder.

Bir kürenin yüzeyindeki herhangi iki nokta arasındaki büyük çember mesafesini hesaplamak, küresel trigonometri kullanımını gerektirir. Konuyu bölmemek adına hesaplamalara bu yazıda yer vermeyeceğiz ancak merak edenler bu kaynaktan inceleyebilirler. Son olarak büyük çember ile yapılan mesafe ölçümleri bile verilen iki konum arasındaki gerçek en kısa mesafeyi temsil etmez. Çünkü hepimizin bildiği gibi dünya tam bir küre değildir. Dolayısıyla hesaplamalarda yaklaşık ±% 5 hata payı her zaman bulunmaktadır.

Kaynaklar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

İlgili Makaleler