Kare Nedir? Vereceğiniz Cevap Gauss Eğriliğine Göre Değişir?

Bir kare nedir? Bu soruya temel matematik eğitimi olan herhangi bir kişinin vereceği cevap elbette dört kenarı ve açıları birbirine eşit dörtgen olacaktır. Bu dört açının birbirine eşit olması ise karenin tüm açılarının 90 derece olma zorunluluğunu getirir. Sonucunda kenar uzunlukları birbirine eşit ve 90 derecelik açılara sahip olan bir üçgen, beşgen ya da altıgen çizmek imkansızdır. Daha doğrusu öyle olduğunu düşünürüz.

Bir kare eşit uzunlukta dört düz kenara ve dört 90 derecelik açıya sahiptir.

90 derecelik açıların ve aynı uzunluktaki düz kenarların bir kareyi tanımladığını düşünüyorsanız, tekrar düşünmenizi isteriz. Aslında isterseniz beş kenarlı ve açıları 90 derece olan bir şekil de çizebilirsiniz. Bunun nedeni geometride her şeyin eğrilik ile ilişkisi olmasıdır.

Okullarda öğrendiğimiz geometri kuralları Öklid geometrisi kapsamında yazılmıştır. Yukarıdaki varsayımımız da bu geometri için Öklid yüzeyinde geçerlidir. Bununla birlikte, eğrilik kavramı kullanılarak tanımlanabilecek farklı yüzey türleri de vardır. Bu noktada eğrilik nedir sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Ancak burada sözü geçen eğrilik Gauss Eğriliği olacaktır.

Gauss Eğriliği Nedir?

Aslına bakarsanız matematikçiler üç tip yüzeyden bahsederler. Bunlar her noktada sıfır Gauss eğriliği olanlar, her noktada pozitif Gauss eğriliği olanlar ve her noktada negatif Gauss eğriliği olanlar biçimindedir.

Gauss eğriliği kavramını kullanarak belirli bir noktada bir yüzeyin ne kadar büküldüğünü ölçebilirsiniz. Tahmin edeceğiniz gibi aşina olduğumuz Öklid düzleminin Gauss eğriliği sıfır olacaktır. Yani her noktada düzdür. Ancak bir kürenin her noktasında pozitif Gauss eğriliği vardır.

Bunun mantığını anlamak aslında basittir. Sonucunda bir kürenin herhangi bir noktasına oturursanız, kürenin ayaklarınızın altında, her yönden aşağı doğru kıvrıldığını görürsünüz Tam olarak ne demek istediğimizi aşağıdaki görselde, kırmızı ile gösterilen noktada oturduğunuzu kabul ederek anlayabilirsiniz.

Şekildeki iki siyah çizgi, kürenin temel eğriliklerini verir. Bu durumda her ikisi de pozitiftir.

Ancak bir atın eyeri üzerinde oturuyor olsaydınız tamamen farklı bir şey olurdu. Bu durumdayken bacaklarından aşağı bakarsanız, yüzeyin aşağı doğru kıvrıldığını görürdünüz. Ama tam önünüze veya tam arkanıza bakarsanız, yüzeyin yukarıya doğru kıvrıldığını fark edeceksiniz. Ortaya çıkan bu zıt eğrilik aslında negatif eğrilik olarak tanımladığımız şeyin karakteristik özelliğidir.

Şekildeki iki siyah çizgi, eyerin noktadaki ana eğriliklerini verir. Bu durumda bir eğrilik pozitif ve diğeri negatiftir.

Genel olarak Gauss eğriliği, bir yüzeyin farklı noktalarında farklı değerler alabilir. Gerçekten de, yukarıdaki eyer için durum böyle. Küreyi özel yapan şey, Gauss eğriliğinin değerinin her noktada aynı olmasıdır: Sabit pozitif eğriliğe sahiptir. Sabit Gauss eğriliğine sahip başka bir yüzey örneği, aşağıda gösterilen Südoküre, yani yalancı küredir. Bu durumda eğrilik negatiftir. ( Eğriliği sabit ama pozitif olan yüzeye küre denildiği için bu eğriliği sabit ama negatif olan yüzeye görünüm olarak hiç küreye benzememesine rağmen “ters küre” anlamında südoküre denir. )

Pozitif Eğriliğe Sahip Bir Şekil Üzerinde 90 Derece Nasıl Görünür?

Pozitif eğriliği sahip küremize geri dönelim. Bunun Dünya olduğunu varsayalım. Şimdi Ekvatordaki bir noktadan başlayın ve kuzey kutbuna kadar bir boylam çizgisini takip edin. Bu çizgi her zaman ekvator ile 90 derecelik bir açı oluşturur. Sonrasında az önce yürüdüğünüz boylamla 90 derecelik bir açı yapan başka bir boylam çizgisi bulun. Bu yeni boylam çizgisi boyunca tekrar ekvatora ulaşana kadar yürüyün. Şimdi de başlangıç ​​noktanıza ulaşana kadar ekvator boyunca yürüyün.

Pozitif gauss eğriliği

Üzerinde yürüdüğünüz çizgiler, küre üzerinde büyük dairelerin, yani kürenin kendisiyle aynı çapa sahip dairelerin parçalarını oluşturur. Her çizgi büyük bir dairenin çeyreğine denk gelir. Bu nedenle hepsinin uzunluğu aynıdır. Bir küre üzerindeki büyük daireler, düzlemdeki düz çizgilerin benzerleridir. Bunun nedeni, bir düzlemdeki iki nokta arasındaki en kısa mesafenin düz bir çizgi üzerinde olması gibi, bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa mesafenin de büyük bir daire boyunca olmasıdır. Bir yüzeydeki en kısa mesafe çizgisine jeodezik denir.

Az önce tüm kenarları aynı uzunlukta olan ve 90 derecelik açılarda buluşan bir üçgen elde ettiniz. Gördüğünüz gibi pozitif eğriliği olan bir şekil üzerine çizilen bir üçgenin açılarının toplamının 180 dereceden fazladır.

İsterseniz küre üzerine, kenarları aynı uzunlukta ve 90 derecelik açılarda buluşan iki kenarlı bir şekil bile çizebiliriz. Bir kenar büyük bir çemberin yarısından ve diğer büyük çemberin orijinaline dik açı yapan bir yarısından oluşur. Aşağıda bir örneğini gördüğünüz böyle bir şekle digon denir.

Negatif Gauss Eğriliğine Sahip Bir Şekilde 90 Derece Nasıl Görülür?

Bu sorunun cevabını anlamak için bir südoküre üzerinde çalışalım. Aşağıda böyle bir yüzey üzerine çizilen beşgenin nasıl görüneceği çizilmiş durumda. Buradaki açıların 90 dereceden küçük görünmesi negatif eğriliğin neden olduğu bir yanılsamadır.

Beş kenarlı şeklin kenarları bize kavisli görünse de, bunlar jeodezik segmentler oldukları için düzdür ve aynı kürede olduğu gibi eşit uzunluktadır. Yani, 90 derecelik açıların ve aynı uzunluktaki düz kenarların bir kareyi tanımladığını düşünüyorsanız, tekrar düşünün. Her şey aslında Gauss eğriliğine bağlıdır!



Kaynaklar ve ileri okumalar

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz