Şans Yasalarını Ortaya Koymak: Olasılık Kuramı

Yarın kar yağması olasılığı nedir? Otobüsü yakalama? Ya da bir sonraki piyangoyu kazanma…Bu gibi soruların yanıtlarını ararken ihtimal, şans gibi sözcükler kullanırız günlük hayatımızda. Matematikte ise bu tip sorularla uğraşmak olasılık kuramının işidir.

Olasılık kuramı önemlidir. Belirsizlik üzerine düşünmemizi ve risk değerlen­dirmesi yapmamızı sağlar. Peki ama belirsizlik üzerine bir kuramı nasıl sayılara dökebiliriz? Matematik kesinliklerin bilimi değil midir?

Belirsizlik, risk ve rastgele olaylarla dolu bir dünyada yaşayıp bunları yöneten yasalara, esasen olasılık kuramına dair hiçbir fikrimizin olmaması çok garip. Ayrıca, insanların bin yıllardır şans oyunları oynadığı göz önüne alınırsa, bu yasaları bulup çıkarmanın matematikçilerin onca zamanını almış olması da şaşırtıcıdır.”-Robert Matthews

Olabilecek en basit örnekten başlayalım: yazı-tura. Tura gelme olasılığı nedir! Bunun cevabının 1/2 (veya 0,5 veya %50) olduğunu iyi biliriz, paranın hilesiz olduğunu varsayarsak elbette. Buna karar verirken paranın iki yüzü olduğundan yola çıkarız ancak bir de frekanslar yaklaşımı vardır. Bu yöntemde deneyi çok kez tekrar edip kaç kez yazı, kaç kez tura geldiğine bakarız. Ve bu yaklaşım biçimde görebiliriz ki beklenen yarı yarıya oranının olması geçerli değildir.

Peki yarın kar yağma olasılığını nasıl bilebiliriz! Ya yağacak ya da yağmayacak ancak burada 1/2 dememiz pek de doğru değil. Çünkü işin içine birçok faktör karışıyor. Böyle bir olasılığın değerini tam olarak bulamayız ancak düşük, yüksek gibi inanma belirtileri oluşturabiliriz.

Milattan önce dördüncü yüzyıl filozofu Aristo’nun geliştirdiği klasik mantık, doğru ya da yanlış sonuçlar doğuran siyah beyaz meselelere odaklanır. Gerçek hayattaysa, kafa patlattığımız şeylerin çoğu grinin tonlarını taşır. Sorunlar ve sorular karşısında aranılan cevapların sıfır (olasılık dışı) ile bir (kesinlik) arasında olması, dünyamız hakkındaki çok daha gerçekçi bir bakış açısı ve çevremizdeki hayatı anlamanın çok daha güçlü bir yolunu verir bize.olasılık

2010’da Britanya bahis sektörü 6 milyar poundluk değerdeydi. Bu büyük tutar, şans ile belirsizliği yöneten yasalara hakim olmanın ne kadar kârlı olabileceğini de gözler önüne seriyor. Olasılık yasalarının sistematik olarak incelenmeye başlamasının ardında yatan asıl motivasyon para gibi görünüyor.

On yedinci yüzyıl Fransız yazarı Antoine Gombaud, kitapları için oluşturduğu karakterlerin ruh haline bürünmekten hoşlanıyordu. Böylece şövalye olmamasına rağmen, Chevalier de Méré adını aldı. Bu lakap üzerine yapışınca, arkadaşları da onu öyle çağırmaya başladılar. Kendisi, bir yandan da sayılarla oynamaktan hoşlanan ve bahse giren amatör bir matematikçiydi. Kumar oynadığı bir sırada, anlaşılması zor bir problemle karşılaşması olasılık kuramının geliştirilmesinde dönüm noktası oldu.

Olasılığın matematiksel kuramı 17. yüzyılda Blaise Pascal, Pierre de Fermat ve Antoine Gombaud  arasındaki kumar problemleri üzerine tartışmalarından çıkmıştır.

Kafalarını basit bir oyunla ilgili bir soru meşgul ediyordu. Chevalier de Mere’nin yönelttiği soru şu şekildeydi: hangisi daha yüksek olasılıktır, tek bir zarı dürt kere attığı­mızda en az bir tane “altı” gelmesi mi, yoksa bir çift zarı 24 kere attığımızda bir tane “altı-altı” gelmesi mi! Siz olsanız paranızı hangisine koyardınız?

O günlerde genel kabul gören anlayış parayı “altı-altı” olasılığına yatırmaktı. Ne de olsa çok daha fazla atış yapılıyordu. Bu problemi çözmek için Chevalier de Méré, pek çok bilim dalında faaliyet gösteren Fransız Blaise Pascal ile temasa geçti. Pascal probleme ilgi duydu ve Fransız hukukçu Pierre de Fermat ile birlikte olasılık kuramını geliştirdiler.

Olasılıklar incelendiğindeyse bu anlayış yerle bir oldu. Bunu biz de hesaplamaya çalışalım.

Tek zar atımı: Bir zarın altı gelmemesi olasılığı 5/6 dir. 4 kez üstüste zarın altı gelmeme olasılığıysa

5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 = (5/6)4 olur.

Zar atışları birbirini etkilemediğinden bu olaylar bağımsızdır, bu nedenle çarpabiliriz. Dolayısıyla en az bir kere 6 gelme olasılığı ise 1 – (5/6)4 = 0,517746… kadardır.

İki zar atımı: Bir kez attığımızda 6-6 gelmeme olasılığı 35/36 dır. 24 atışta ise bu olasılık (35/36)24olur. Dolayısıyla en az bir kere 6-6 gelmeme olasılığı

1- (35/36)24= 0,491404… olur.

Dolayısıyla, günümüzde kumar sadece bir şans oyunu değildir. Olasılık hesaplayabilmeniz size para kazandırabilir veya en azından şansınızı artırır.

frank ramseyŞans oyunlarıyla ilgilenmeyenler için olasılık kuramı sayısız başka uygulama alanına sahiptir, kanıta ne ölçüde inanılacağını saptama gibi.

1920’lerde İngiliz Frank Ramsey olasılıkların sadece şans olaylarına yardım etmediğini, ayrıca “inancın gücü” diye bilinen anahtar kavramı da içerdiğini gösterdi. Sözgelimi, bir şey hakkında çok eminseniz, inanç düzeyinizin 1’e (kesinlik) yakın olduğunu söyleyebilirsiniz veya emin değilseniz, inancınız 0,5’e yakın olur.

Ramsey olasılık kuramında “Bayes Kuralı” diye bilinen, özgül bir teoremin bir şey hakkındaki inancınızı kanıt ışığında güncellemekte kullanılabileceğini gösterdi. Basitçe ifade edecek olursak, söz konusu kurala göre, baştaki inanç düzeyinizi alın ve onu henüz karşılaştığınız kanıtın ağırlığını veya gücünü yansıtan faktörle –”olasılık oranı”– çarpın. Sonuç size güncellenmiş inanç düzeyini verecektir.

Olasılık hesapları sadece yararlı işlerde kullanılmaz. Bazen de ortaya tuhaf görüşler ve şaşırtıcı ölçüde ezber bozan sonuçlar çıkarır. Örneğin, yüzde 50 ihtimalle en azından iki kişinin aynı burçtan olması veya aynı ayda doğması için bir odada sadece beş kişinin olması yeterlidir. Ya da yüzde 50’den fazla bir ihtimalle en az iki kişinin aynı günde doğmuş olması için yalnızca 23 kişinin bir odada olması yeterlidir.

Olasılık kuramı uygulandığında ortaya çıkan sonuçlar bazen tartışmalı olabilse de  en azından matematik­sel temelleri güvence altındadır. 1933’te Andrey Nikolaevich Kolmogorov,  olasılığı aksiyomatik  bir temele oturtmakta büyük rol oynadı.

Olasılık şu aksiyomlara göre uygulandığında ortaya tanımlanmıştır:

1. Herhangi bir olayın olasılığı O’a eşit veya büyüktür.
2. Tüm olayların olasılıkları toplamı l ‘dir.
3. Olaylar ayrık ise olasılıkları toplanabilir.

Olasılık kavramının uygulama alanları çok geniştir. Modern hayat onsuz düşünülemez. Risk analizi, spor, sosyoloji, psikoloji, mühendislik tasarımları, finans vs. diye liste uzar gider.

17. yüzyıldaki bahis problemlerinin tüm bu fikirleri doğuracağı kimin aklına gelirdi?

Kaynaklar: 

Tony Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri

Jheni Osman – Dünyayı Değiştiren 100 Fikir

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Beatles’ın Gizemini Matematikle Çözmek

Beatles’ın tek bir notasının sırrının açıklanması 45 yıldan fazla sürmüştür. Müziğin yarattığı tınıyı matematik çözmüştür. …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');