Uygulamalı Matematik

Şans ve Rastlantının Matematiği: Olasılık

Sayılar ve şans birbiriyle yakından ilişkilidir. Şans basit anlamıyla iyi bir şey olacağı anlamına gelir, peki şanslı olup olmayacağımızı nasıl anlarız? Matematikte ise bu tip sorularla uğraşmak olasılık kuramının işidir. Olasılık kuramı önemlidir. Belirsizlik üzerine düşünmemizi ve risk değerlen­dirmesi yapmamızı sağlar.

Milattan önce dördüncü yüzyıl filozofu Aristo’nun geliştirdiği klasik mantık, doğru ya da yanlış sonuçlar doğuran siyah beyaz meselelere odaklanır. Oysa ki gerçek hayattaysa, kafa patlattığımız şeylerin çoğu grinin tonlarını taşır. Sorunlar ve sorular karşısında aranılan cevapların sıfır (olasılık dışı) ile bir (kesinlik) arasında olması, bizlere dünyamız hakkında çok daha gerçekçi bir bakış açısı verir.

Olasılık Kuramının Doğuşu

Olasılık Kuramı

Bir dönemin matematikçilerin birbirlerine yazmış olduğu mektuplar günümüzün matematiksel makaleleri gibidir.
Bu yazışmaların en ilginç ve sonuçları bakımından önemli olanlarından biri de 1654’te Blaise Pascal ve Pierre de Fermat arasında gidip gelen mektuplardır.

Fermat o sırada 53 yaşında olağanüstü matematiksel keşiflere imza atmış amatör bir matematikçidir. Pascal, 31 yaşındadır ve Avrupa’nın en parlak zihinlerinden biridir. Pascal’a kumar sever bir arkadaşı çeşitli olasılık problemleri sormaktadır. Pascal, bu problemlerin birinin çözümünde belli bir aşamaya gelir, ama yardıma ihtiyaç duyar. Bir meslektaşının tavsiyesi üzerine Fermat’ya danışır.

Böylece matematik tarihinin kilometre taşlarından biri sayılabilecek mektuplaşma başlamış olur. Yoğun tartışmaların sonunda farklı yollardan aynı sonuca ulaşarak problemi çözerler. Ama daha da önemlisi bu ortak çalışma olasılık kuramının doğumunu müjdeler.

Sorulan soru 15 ve 16. yüzyılda matematikçilerin uğraşıp fakat genel çözüme ulaşamadıkları, yarım kalan bir oyunda ortadaki paranın oyuncular arasında nasıl paylaşılacağıyla ilgilidir.

Fermat, mektubunda 8 atışlık bir zar oyunundan söz eder. Oyuncu sekiz atışta ilk kez 6 attığında ortadaki parayı alıyor, aksi halde kaybediyor. Başlangıçta oyunun kuralı böyleyken bir kural değişikliğine gidildiğini varsayalım. Şöyle ki: Oyuncu sekiz atışın sadece beş, altı, yedi ve sekizinci atışlarında 6 atarsa ortadaki parayı kazanmış olsun. Yani ilk dört atışta 6 atarsa veya sekiz atışın hiçbirinde 6 atamazsa kaybediyor. Bu durumda Fermat tarafından şu soru sorulur. Kural değişikliği yüzünden ortaya çıkan oyuncunun kaybını gidermek için ortadaki paranın ne kadarı oyuncuya “tazminat” olarak verilmelidir? Fermat sorusunu şöyle cevaplar. Oyuncunun ilk dört atışta kazanma olasılığını gösteren sayıyı ortadaki paranın miktarını ifade eden sayıyla çarparak söz konusu “tazminat” bulunur.

Şans oyunlarıyla ilgilenmeyenler için olasılık kuramı sayısız başka uygulama alanına sahiptir, kanıta ne ölçüde inanılacağını saptama gibi.

1920’lerde İngiliz Frank Ramsey olasılıkların sadece şans olaylarına yardım etmediğini, ayrıca “inancın gücü” diye bilinen anahtar kavramı da içerdiğini gösterdi.

Sözgelimi, bir şey hakkında çok eminseniz, inanç düzeyinizin 1’e (kesinlik) yakın olduğunu söyleyebilirsiniz veya emin değilseniz, inancınız 0,5’e yakın olur.

Ramsey olasılık kuramında “Bayes Kuralı” diye bilinen, özgül bir teoremin bir şey hakkındaki inancınızı kanıt ışığında güncellemekte kullanılabileceğini gösterdi.

Basitçe ifade edecek olursak, söz konusu kurala göre, baştaki inanç düzeyinizi alın ve onu henüz karşılaştığınız kanıtın ağırlığını veya gücünü yansıtan faktörle –”olasılık oranı”– çarpın. Sonuç size güncellenmiş inanç düzeyini verecektir.

Olasılık hesapları sadece yararlı işlerde kullanılmaz. Bazen de ortaya tuhaf görüşler ve şaşırtıcı ölçüde ezber bozan sonuçlar çıkarır.

Örneğin, yüzde 50 ihtimalle en azından iki kişinin aynı burçtan olması veya aynı ayda doğması için bir odada sadece beş kişinin olması yeterlidir. Ya da yüzde 50’den fazla bir ihtimalle en az iki kişinin aynı günde doğmuş olması için yalnızca 23 kişinin bir odada olması yeterlidir.

Olasılık kuramı uygulandığında ortaya çıkan sonuçlar bazen tartışmalı olabilse de  en azından matematik­sel temelleri güvence altındadır. 1933’te Andrey Nikolaevich Kolmogorov,  olasılığı aksiyomatik  bir temele oturtmakta büyük rol oynadı.

Olasılık şu aksiyomlara göre uygulandığında ortaya tanımlanmıştır:

1. Herhangi bir olayın olasılığı O’a eşit veya büyüktür.
2. Tüm olayların olasılıkları toplamı l ‘dir.
3. Olaylar ayrık ise olasılıkları toplanabilir.

Olasılık kavramının uygulama alanları çok geniştir. Modern hayat onsuz düşünülemez. Risk analizi, spor, sosyoloji, psikoloji, mühendislik tasarımları, finans vs. diye liste uzar gider.

17. yüzyıldaki bahis problemlerinin tüm bu fikirleri doğuracağı kimin aklına gelirdi?

Kaynaklar: 

Tony Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri

Jheni Osman – Dünyayı Değiştiren 100 Fikir

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

İlgili Makaleler

Başa dön tuşu