Şans ve Rastlantının Hesaplanması: Olasılık Kuramının Doğuşu

Sayılar ve şans birbiriyle yakından ilişkilidir. Şans basit anlamıyla iyi bir şey olacağı anlamına gelir. Peki şanslı olup olmayacağımızı nasıl anlarız? Matematikte ise bu tip sorularla uğraşmak olasılık kuramının işidir. Olasılık kuramı önemlidir. Belirsizlik üzerine düşünmemizi ve risk değerlen­dirmesi yapmamızı sağlar.

Milattan önce dördüncü yüzyıl filozofu Aristo’nun geliştirdiği klasik mantık, doğru ya da yanlış sonuçlar doğuran siyah beyaz meselelere odaklanır. Oysa ki gerçek hayattaysa, kafa patlattığımız şeylerin çoğu grinin tonlarını taşır. Sorunlar ve sorular karşısında aranılan cevapların sıfır (olasılık dışı) ile bir (kesinlik) arasında olması, bizlere dünyamız hakkında çok daha gerçekçi bir bakış açısı verir.

Olasılık Kuramının Doğuşu

Olasılık Kuramı
Şans oyunlarının sonuçlarını tahmin etmek, olasılık teorisinin ortaya çıkışını tetikleyici bir güçtü.

1500’lerden önce, gelecekteki bir olayın sonucunu herhangi bir doğruluk derecesi ile tahmin etmenin imkansız olduğu düşünülürdü. Ancak Rönesans İtalya’sında bilgin Gerolamo Cardano buna katılmıyordu. Okullarda olasılık kuramı anlatılırken genellikle zar örnekleri verilir. Biraz da kumara düşkün olduğu için Cardano’da zarlarla çeşitli analizler yaptı. Sonrasında çalışmaları Fransız matematikçiler Blaise Pascal ve Pierre de Fermat’ın dikkatini çekti. Pascal üçgeni ve Fermat’ın son teoremi gibi konulardan kendilerini tanıdığımız bu iki adam, olasılık teorisinin temellerini attı.

Olasılık dendiği anda aklımıza direk okullarda öğretilen olasılık gelir. Yani söz konusu olan bir zar atmak ise zarın 6 yüzü olduğu için toplam seçenek sayımız 6 olur. Bu durumda herhangi bir sayının gelme olasılığı 1/6, gelmeme olasılığı ise 5/6 kadardır. Ancak aslında bu teorik olasılıktır. İstenen sonuçların sayısının olası sonuçların toplam sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Aslında bir de işin pratik kısmı vardır. Örneğin bir sayının 6 gelme olasılığını pratik olarak bulmak isterseniz, öncelikle bir çok defa zar atmanız gerekli. Yeterince attıktan sonra, gelen altı sayısını toplam atış sayısına bölerek de bir tahmin yapılabilirsiniz. Göreceli frekans adı verilen sonuç da bize altı atma olasılığını verir.

Olasılıkları Tahmin Etmek

17. yüzyıl Fransa’sında iki kişi ile oynanan popüler bir şans oyunu vardır. Oyuncular sırayla dört zar atıyorlar ve en az bir altı gelmesini umuyorlardı. Oyun öncesinde oyuncular eşit miktarda parayı ortaya koyuyorlar ve önceden bir kişinin ortadaki parayı alması için kaç defa kazanması gerektiği konusunda anlaşıyorlardı.

Kendisini Chevalier de Méré olarak adlandıran yazar ve amatör matematikçi Antoine Gombaud işin arka planındaki matematiği sezmişti. Bir zar atışında 6 gelme olasılığının 1/6 kadar olduğunu anladıktan sonra, iki zar atışında bunun nasıl olacağı üzerine çalışmaya başladı.

Sonrasında bir zarda (6,6) gelme olasılığının 1/36 olduğunu ortaya attı. ( Doğru buldu!). Ancak yanıldığı bir yer vardı. Bir çift zarı 6 kez atmanın bunun için yeterli olduğunu sanıyordu. Bu nedenle De Méré sürekli olarak bahsi kaybetti.

Sonunda 1654’te de Méré, arkadaşı Pascal’a bu soru ve ortadaki paranın nasıl bölüştürülmesi gerektiği ile ilgili bir başka soru hakkında akıl danışmaya karar verdi. Aslında özellikle ikinci soru 1500’lerden beri biliniyordu ve şuna benziyordu.

  • Birinci oyun. Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor. En az bir kez 6 gelirse oyuncu kumarhaneye karşı oyunu kazanıyor.
  • İkinci oyun. Hilesiz iki zar 24 kez atılıyor. En az bir kez 6-6 gelirse oyuncu kumarhaneye karşı kazanıyor.

Gombaud, uzun süre oynadığında birinci oyunu kazandığını, ikinci oyunu ise kaybettiğini deneyimlerinden dolayı anlamıştı. Oysa ki, iki oyunu kazanma olasılığı eşit olarak hesaplanıyordu. ( Birinci oyunu kazanma olasılığı: 4×1/6=2/3; İkinci oyunu kazanma olasılığı: 24×1/36=2/3. Ancak bu çözümler yanlış! Gerçek cevap; Birinci oyunu kazanma olasılığı: 1-(5/6) 4≅0,5177. İkinci oyunu kazanma olasılığı: 1-(35/36)24≅0,4914 )

Fermat o sırada 53 yaşında olağanüstü matematiksel keşiflere imza atmış amatör bir matematikçi, Pascal ise 31 yaşında ve Avrupa’nın en parlak zihinlerinden biriydi.

Pascal-Fermat Mektuplaşması ve Olasılık Kuramının Doğuşu

Pascal, problemin çözümünde belli bir aşamaya gelmişti. Ama yaptığı çalışmalara katkıda bulunabilecek birinin yardımına ihtiyaç duyuyordu. Sonunda, Méré’nin sorunları üzerine kafa yoran Pascal, Fermat’a yazmayı, bu ve ilgili konulardaki düşüncelerini aktarmayı ve Fermat’ın kendi görüşlerini sormayı seçti. Bu, matematiksel olasılık teorisinin geliştirildiği Pascal ve Fermat arasındaki ilk mektuptu.

Sonrasında birbirlerine attıkları mektuplarla ikili yukarıda aktardığımız soru hakkında çeşitli teoriler geliştirdiler. Gerolamo Cardano, matematiği olasılık çalışmasına ilk uygulayan kişiydi. Ancak Pascal ve Fermat’ın bu mektuplaşması teoriye çok katkıda bulundu. Devamında Hollandalı fizikçi ve matematikçi Christiaan Huygens, olasılık kuramı üzerine ilk kitap olan “Şans oyunlarında akıl yürütme üzerine” olarak tercüme edebileceğimiz ilk incelemeyi yazdı.

Aynı eylemi (bir zar atmak gibi) birkaç kez gerçekleştirmenin sonuçlarını inceleyen bir teorem olan büyük sayılar yasasının erken bir versiyonu, İsviçreli matematikçi 1713 yılında Jacob Bernoulli tarafından The Art of Conjecturing isimli kitapta incelendi.

1700’lerin sonlarında, Pierre-Simon Laplace olasılık kuramı çerçevesini genişletti ve doğal fenomenler de dahil olmak üzere birçok olayın olasılığını tahmin etmek için nasıl kullanılması gerektiğini tanıttı. Tüm bunların neticesinde teori giderek günümüz modern versiyonuna benzemeye başladı. Bir kumar probleminin çözümü, şans oyunları, sigortacılık, iş planlaması, tıp gibi alanların çok ötesine geçti. Gelecekle ilgili tüm dallara damgasını vurdu.



Kaynaklar ve İleri Okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz