Matematikte mutlu ve mutsuz sayıları belirlemek oldukça kolaydır. Örneğin 1, mutlu sayılardan biridir; 4 ise mutsuz bir sayıdır. Üstelik her ikisi de narsistik sayılar arasında yer alır. Peki, tüm bunlar ne anlama geliyor?
Sayılar hayatımızda pek çok farklı biçimde karşımıza çıkar. Okul yıllarından hatırlayacağınız gibi; doğal sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılar, hatta sanal sayılar gibi farklı kümeler vardır. Ancak bu yazıda bunlar yerine daha eğlenceli bir kavrama odaklanacağız: mutlu sayılar.
Evet, mutlu sayılar matematikte gerçekten vardır. Her ne kadar günlük hayatta doğrudan bir kullanım alanı olmasa da, ilginç ve şaşırtıcı özellikler taşırlar. Bu nedenle amatör matematikçiler arasında oldukça popülerdir.
Aslında tüm doğal sayılar, “mutlu” veya “mutsuz” olmak üzere iki kategoriye ayrılır. Bu fikir daha da genelleştirildiğinde, sayının kendi basamaklarına odaklandığı “narsistik sayılar” gibi özel kümelere de ulaşılır.
Mutlu Sayılar Ve Mutsuz Sayılar Nedir?
Mutlu sayıları belirlemek oldukça basittir: Bir doğal sayının rakamlarının karelerini alır ve bu kareleri toplarsınız. Bu işlemi tekrarladığınızda sonuç 1’e ulaşıyorsa, o sayı mutlu sayıdır. Örneğin 13 sayısını ele alalım:
- Rakamlarının karelerini alalım: 1² = 1, 3² = 9
- Toplayalım: 1 + 9 = 10
- İşlemi tekrarlayalım: 1² + 0² = 1.
- Sonuç 1 olduğu için 13 mutlu bir sayıdır.
Bu durumda, diğer tüm sayıları “mutsuz” olarak adlandırmak gerekir. İlginç olan ise mutsuz sayıların da mutlu sayı hesabı uygulandığında belirli bir döngü izlemesidir. Örneğin 4 ile başlayalım: 4² = 16, 16 ise 1² + 6² = 37 sonucunu verir.
İşleme devam ettiğimizde şu dizi ortaya çıkar: 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4. Dolayısıyla bir sayıya bu işlem tekrar tekrar uygulandığında sonuçlar 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 veya 20 değerlerinden birine ulaşıyorsa, bu sayı mutlaka mutsuzdur.
Bu durumda da akla şu soru gelir. Tüm doğal sayıları, sonucu 1’e ulaşan “mutlu” sayılar ve 4 ile başlayan döngüye giren “mutsuz” sayılar olarak ikiye ayırmak mümkün müdür? Yoksa bu işlemin başka son noktaları da var mıdır?
Bunu anlamanın aslında basit bir yolu vardır. Bir sayının rakamlarının karelerini topladığınızda, bu toplamın ne kadar büyüyebileceğine bakmanız yeterlidir.
Örneğin tek basamaklı bir sayı alalım: 9. Karesi 81’dir ve bu sayı kendisinden büyüktür. Aynı durum 99 gibi iki basamaklı sayılar için de geçerlidir: 9² + 9² = 162.
Ancak üç basamaklı sayılarda durum değişir. Örneğin 999 için hesap yapalım: 9² + 9² + 9² = 243. Bu sonuç, 999’dan küçüktür. Yani sayı büyüdükçe, işlem sonucu artık sayının kendisinden daha küçük olmaya başlar.
Bu da şu anlama gelir: Üç basamaklı bir sayı ile başlarsanız, işlemi tekrar ettikçe sonuçlar belirli bir aralıkta kalır. Dört basamaklı bir sayı ile başlarsanız bile, ilk adımda sonuç zaten üç basamaklı bir sayıya düşer.
Mutlu Ve Mutsuz Sayılar İçin Bir Genelleme Yapmak Mümkün müdür?
Her doğal sayının ya mutlu ya da mutsuz olduğunu göstermek için, üç basamaklı sayıları incelemek yeterlidir. Bu işlem biraz uzun sürer, ancak mantığı oldukça basittir. Bunu yapmak için şu adımları izleyebilirsiniz:
- i, j ve k için 0 ile 9 arasında değerler seçin.
- z = i² + j² + k² hesaplayın.
- Eğer z = 1 ise, ijk sayısı mutludur.
- Eğer z şu değerlerden birine eşitse: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 veya 20, sayı mutsuzdur.
- Eğer sonuç bunlardan biri değilse, z değerini yeni bir üç basamaklı sayı gibi düşünerek işlemi tekrarlayın.
Bu işlemi tüm üç basamaklı sayılar için uyguladığınızda, her birinin ya mutlu ya da mutsuz olduğunu görürsünüz. Aynı durum daha büyük sayılar için de geçerlidir. Çünkü dört basamaklı bir sayı ile başlasanız bile, ilk adımda sonuç zaten üç basamaklı bir sayıya düşer. Bu nedenle tüm doğal sayılar sonunda ya 1’e ulaşır ya da aynı döngüye girer.
Ancak matematikçiler bununla yetinmez. Şu soruyu da sorarlar: Mutlu sayılar ne kadar yaygındır? Sayılar büyüdükçe azalır mı, yoksa benzer sıklıkta mı kalır?
Öncelikle, mutlu sayıların sayısı sonsuzdur. Örneğin 10’un tüm kuvvetleri (10, 100, 1000 gibi) mutlu sayılardır. Peki bu sayıların yoğunluğu nedir? Yani tüm sayılar içinde ne kadar yer kaplarlar?
- İlk 10 doğal sayı içinde 3 mutlu sayı vardır (ρ = 0,3).
- İlk 100 sayı içinde 20 mutlu sayı vardır (ρ = 0,2).
- İlk 1000 sayı içinde 143 mutlu sayı vardır (ρ = 0,143).
İlk bakışta, mutlu sayıların yoğunluğunun yaklaşık %14 civarında sabitlendiği düşünülebilir. Ancak matematikçi Justin Gilmer, 2011 yılında yayımladığı bir çalışmada bunun doğru olmadığını gösterdi. Mutlu sayıların sabit bir yoğunluğu yoktur. Yoğunluk, seçilen sayı aralığına bağlı olarak değişir ve belirli bir değere yakınsama göstermez.
Ardışık Mutlu Sayılar Kaç Tanedir?
Matematikçilerin ilgisini çeken bir başka soru ise şudur: Art arda kaç tane mutlu sayı olabilir? İlk iki örnek 31 ve 32’dir. Üç ardışık mutlu sayı bulmak için ise dört basamaklı sayılara gitmek gerekir: 1880, 1881 ve 1882.
Matematikçi Hao Pan, 2006 yılında bu konuda önemli bir sonuç ortaya koydu. Buna göre, istenildiği kadar uzun ardışık mutlu sayı dizileri vardır. Ancak bu dizileri bulmak giderek zorlaşır. Örneğin dört ardışık mutlu sayı 7839 ile başlar. Beşli bir dizi 44.488’den başlar. Altı ardışık mutlu sayı bulmak için ise son derece büyük sayılara gitmek gerekir.
Bir başka ilginç soru da şudur: Bir mutlu sayının 1’e ulaşması için kaç adım gerekir? Bu sayı, bir anlamda o sayının “mutluluk derecesini” belirler. Daha az adımda 1’e ulaşan sayılar daha “mutlu” kabul edilir. Örneğin 1, 10 ve 100 gibi sayılar çok hızlı şekilde 1’e ulaştığı için oldukça mutludur. Buna karşılık 13 gibi sayılar biraz daha fazla adım gerektirir.
Peki en az mutlu olan sayı hangisidir? İki basamaklı sayılar arasında 7’dir. 7’den 1’e gitmek için beş yineleme gerekir. Sırada 356 vardır ve bunun için altı hesaplama yapmanız lazım.
Daha “az mutlu” bir sayı ararsanız, 977 basamaklı devasa bir sayıya ulaşırsınız: 378899999…999. Dokuz adımda 1’e ulaşan bir mutlu sayı ise tam 10.977 basamaklıdır. Görünüşe göre bu sürecin bir sınırı yoktur. Herhangi bir n sayısı için, ancak n adım sonunda 1’e ulaşan bir mutlu sayı bulunabilir. Yani “mutsuzluk derecesi” için üst bir sınır yoktur.
Narsistik Sayılar Nedir?
Yukarıda, mutlu ve mutsuz sayılarla ilgili bazı çalışmalara değindik. Ancak başta da belirttiğimiz gibi, narsistik sayılar da bu konunun önemli bir parçasıdır. Aslında bu sayılar, mutlu sayılar üzerine yapılan araştırmalar sırasında ortaya çıkan bir genellemenin sonucudur.
Bir sayı n basamaklıysa, her bir basamağın n’inci kuvvetini alıp toplarsınız. Örneğin 243 için hesap şöyle yapılır: 2³ + 4³ + 3³ = 8 + 64 + 27 = 99.
Bazı sayılarda bu işlem tekrar sayının kendisini verir. Örneğin 153 sayısı için: 1³ + 5³ + 3³ = 153. Bu tür sayılara narsistik sayılar denir. Tüm tek basamaklı sayılar narsistiktir. Aslında toplamda yalnızca 89 tane narsistik sayı vardır. En büyüğü ise oldukça uzun bir sayıdır
Narsistik sayılar sonlu olduğu için, mutlu sayılara kıyasla daha az açık problem içerir. Ancak her iki sayı türü de matematikte keşif yapmak için oldukça eğlenceli bir alan sunar.
Kaynak ve ileri okumalar
All Natural Numbers Are Either Happy or Sad. Some Are Narcissistic, Too. Yayınlanma tarihi: 24 Ekim 2023. Kaynak: Scientificamerican. Bağlantı: All Natural Numbers Are Either Happy or Sad. Some Are Narcissistic, Too
Matematiksel
