Doğa ilk bakışta karmaşık görünür. Ancak yakından baktığınızda, sarmal gökadalardan salyangoz kabuklarına kadar pek çok yerde desenler, diziler ve simetriler fark edersiniz. Bu düzenlerin en bilinenlerinden biri Fibonacci dizisi ve onunla ilişkilendirilen Fibonacci spiralidir.
Bitkilerdeki düzeni fark etme çabası yeni değildir. Yaklaşık 2300 yıl önce, Aristoteles’in öğrencisi olan Antik Yunan düşünürü Theophrastus, yaprakların ve dalların bitkiler üzerinde belirli bir düzenle yerleştiğini yazmıştı. Bu yüzden Theophrastus, çoğu zaman botaniğin kurucularından biri kabul edilir.
Bitkilerdeki desenleri anlamaya çalışırken karşımıza çıkan en bilinen yapılardan biri Fibonacci dizisidir. Bu dizi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… biçiminde ilerler. Her sayı, kendisinden önce gelen iki sayının toplamıdır. Fibonacci dizisi Avrupa’da 1202 yılında Leonardo Pisalı’nın Liber Abaci adlı kitabıyla tanındı. Ancak dizinin bitkilerle ilişkilendirilmesi ise daha sonra gelişti.
Bugün bu konu “filotaksi” adıyla bilinir. Filotaksi, yaprakların, dalların ya da tohumların bitki üzerindeki dizilişini inceler. İlginç olan, bu düzenlerin bazılarında belirli sayıların ve açısal yerleşimlerin tekrar tekrar karşımıza çıkmasıdır. Fibonacci dizisinin doğayla ilişkilendirilmesi de büyük ölçüde buradan doğar.
Fibonacci spirali nedir?
Fibonacci dizisi hakkında internette biraz araştırma yaptıysanız, büyük olasılıkla Fibonacci spirali ya da altın spiral görselleriyle karşılaşmışsınızdır. Bu spiraller bazen Parthenon’dan Mona Lisa’ya kadar pek çok şeyin üzerine yerleştirilerek gösterilir. Ancak bu tür örneklerin hepsine temkinli yaklaşmak gerekir; çünkü her spiral ya da her estetik oran, doğrudan Fibonacci dizisiyle ilişkili değildir.
Altın spiral genellikle altın dikdörtgen üzerinden çizilir. Bir altın dikdörtgen, altın oran noktasından bölündüğünde geriye bir kare ve daha küçük bir altın dikdörtgen kalır. Aynı işlem bu küçük dikdörtgen için tekrarlandığında, iç içe karelerden oluşan bir yapı elde edilir. Bu karelerin köşeleri yumuşak bir eğriyle birleştirildiğinde ise altın spirale benzeyen tanıdık şekil ortaya çıkar.
Buna çok yakın bir başka şekil de Fibonacci spiralidir. Bu kez altın dikdörtgenlerden değil, kenar uzunlukları Fibonacci dizisindeki sayılara karşılık gelen karelerden yararlanırız. Karelerin kenarları 1, 1, 2, 3, 5, 8… biçiminde büyür. Her karenin içine bir çeyrek çember yayı çizildiğinde, ortaya Fibonacci spirali olarak bildiğimiz şekil çıkar.
Fibonacci spirali ile altın spiral çoğu zaman aynı şeymiş gibi kullanılır. Oysa aralarında küçük ama önemli bir fark vardır. Fibonacci spirali, kenar uzunlukları Fibonacci dizisindeki sayılara göre büyüyen karelerin içine çizilen çeyrek çember yaylarından oluşur. Bu yaylar birleştiğinde spiral gibi görünen tanıdık şekil ortaya çıkar.
Altın spiral ise farklıdır. O, ayrı yayların birleşmesiyle değil, merkezden dışarı doğru aynı oranda genişleyen tek ve kesintisiz bir eğriyle tanımlanır. Bu yüzden matematiksel olarak logaritmik spiral kabul edilir.
Fibonacci spirallerine pek çok bitkide rastlanır. Çam kozalakları, ananaslar, ayçiçeği tohumları ve daha birçok bitki bu düzenin bilinen örnekleri arasındadır. Benzer spiral dizilimler, bir çiçeğin merkezinin etrafındaki taç yapraklarında ya da yaprak ve sapların dal üzerindeki yerleşiminde de görülebilir.
Bitkinin Büyüme Biçimi Fibonacci Spirali İle Neden Bağlantılıdır?
Bitkilerdeki bu spiral düzeni, daha 1. yüzyılda Romalı doğa bilgini Plinius fark etmişti. Ancak bitki spiralleri ile Fibonacci sayıları arasındaki ilişkiyi ciddi biçimde inceleyen ilk isimlerden biri, İsviçreli doğa bilimci ve botanikçi Charles Bonnet oldu.
Bonnet, 1754 yılında yayımladığı Recherches sur l’usage des feuilles dans les plantes adlı kitabında yaprakların, sapların ve çam kozalaklarındaki pulların spiral biçimli dizilişini inceledi. Ayrıca bu düzeni tanımlamak için “filotaksi” terimini kullandı. Yunanca phyllon “yaprak”, taxis ise “düzen” anlamına gelir. Bu nedenle filotaksi, kısaca yaprakların ve benzer bitkisel yapıların bitki üzerindeki dizilişini ifade eder
Bu bitkisel spiral düzenin en basit örneklerinden biri çam kozalağında karşımıza çıkar. Çam kozalağının pullarına dikkatle bakıldığında, spirallerin iki farklı yönde ilerlediğini fark edersiniz. Görselde saat yönünün tersine uzanan 8 spiral ve saat yönünde uzanan 13 spiral yer alıyor. Bu iki sayı, Fibonacci dizisinde art arda gelen sayılardır.
Aynı ilkeyi ayçiçeğinde de görürüz. Daha doğrusu, ayçiçeğinin merkezindeki küçük çiçekçiklerin dizilişinde bu düzen karşımıza çıkar. Bu bölgede saat yönünde ilerleyen 55 spiral ve saat yönünün tersine ilerleyen 34 spiral sayabiliriz. 55 ve 34 Fibonacci sayılarıdır. Hatta her bir küçük çiçekçiğin beş taç yaprağı taşıması da bu sayı dizisiyle uyumludur.
1979’da matematikçi Helmut Vogel, ayçiçeğindeki bu düzeni açıklamak için basit bir model önerdi. Buna göre her yeni çiçekçik, bir öncekine göre yaklaşık 137,5 derecelik bir açıyla yerleşir: θ = n × 137,5°
Burada θ açıyı, n ise ilgili çiçekçiğin sıra numarasını gösterir. Bu küçük açı farkı, ayçiçeği merkezinde gördüğümüz düzenli spiral görünümün oluşmasına yardımcı olur. Bu modelde 137,5 derece özel bir açıya karşılık gelir. Bu açıya “altın açı” denir.
Neden 137,5 derece?
Bir çember 360 derecedir. 360’ı altın orana, yani yaklaşık 1,618’e böldüğümüzde 222,5 derece elde ederiz. Geriye kalan küçük parça ise yaklaşık 137,5 derecedir.
Bitkiler bu açıyı yalnızca ayçiçeği merkezinde göstermez. Birçok çiçekte taç yapraklarının tomurcuk etrafındaki dizilişinde de benzer bir düzen vardır.. Yapraklar ve saplar da çoğu zaman birbirlerinin ışığını kesmeyecek biçimde yerleşir. Bu sayede bitki ışığı daha verimli kullanır ve büyüme için daha uygun bir düzen kurar.
Altın açının bitkilerde neden işe yaradığını basit bir yaprak diziliminde görebiliriz. Aşağıdaki görselde her yeni yaprak, bir öncekine göre belirli bir açıyla yer değiştirerek büyür. Bu sayede yapraklar aynı noktada üst üste yığılmaz; gövdenin çevresine spiral biçimde dağılır.
Bu düzen bitkinin ışığı daha verimli kullanmasına yardımcı olur. Yapraklar farklı yönlere yayıldığı için birbirlerinin gölgesinde kalma olasılığı azalır. Görseldeki numaralar da bu spiral yerleşimin adım adım nasıl oluştuğunu gösterir.
Günümüz bitkilerinde Fibonacci spiralleri çok yaygın olsa da, 407 milyon yıllık Asteroxylon mackiei fosili bu düzenin bitki evriminin başından beri evrensel olmadığını gösteriyor. Bu erken kara bitkisinde Fibonacci dışı spirallerin daha yaygın olması, Fibonacci desenlerinin farklı bitki gruplarında evrim boyunca birden fazla kez ortaya çıkmış olabileceğini düşündürüyor.
Sonuç olarak
Doğada Fibonacci dizisiyle uyumlu birçok örnek görürüz. Ayçiçekleri, çam kozalakları, ananaslar ve yaprak dizilimleri bu düzenin en tanıdık örnekleri arasındadır. Ancak son bulgular, bu desenlerin doğada her zaman ve her yerde aynı biçimde ortaya çıkmadığını gösteriyor.
Doğadaki matematiksel desenler yalnızca Fibonacci dizisiyle sınırlı değildir. Bu konulara devam etmek isterseniz Fraktal Geometri ile ilgili yazımıza da göz atabilirsiniz.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Smith, Richard & Guyomarc’H, Soazig & Mandel, Therese & Reinhardt, Didier & Kuhlemeier, Cris & Prusinkiewicz, Przemyslaw. (2006). A plausible model of phyllotaxis. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 103. 1301-6. 10.1073/pnas.0510457103.
- Alexander J Hetherington, Siobhán L Bridson. Anna Lee Jones, Hagen Hass, Hans Kerp, Liam Dolan (2021) An evidence-based 3D reconstruction of. Asteroxylon mackiei, the most complex plant preserved from the Rhynie chert eLife 10:e69447
- Leaves and sporangia developed in rare non-Fibonacci spirals in early leafy plants.Science380,1188-1192(2023).DOI:10.1126/science.adg4014
- Ridley, J.N.. (1982). Packing efficiency in sunflower heads. Mathematical Biosciences – MATH BIOSCI. 58. 129-139. 10.1016/0025-5564(82)90056-6.
- Are These 10 Natural Occurrences Examples of the Fibonacci Sequence? Yayınlanma tarihi: 4 Eylül 2024. Kaynak site: Discover Magazine. Bağlantı: Are These 10 Natural Occurrences Examples of the Fibonacci Sequence?
Matematiksel
