Bir parça kâğıdı ikiye katlamak oldukça basittir. Kâğıdın iki kenarını çakışacak şekilde üst üste getirip katladığımızda kâğıt ikiye katlanmış olur. Peki aynı mantıkla, yalnızca katlama işlemini kullanarak kare biçimindeki bir kâğıdı üçe nasıl katlayabiliriz? Haga teoremi sayesinde bunu yapmak mümkündür.
Haga Teoremi Nedir?
Antik çağlardan beri insanların çözmeye çalıştığı ve uzun süre çözülebileceği sanılan bazı problemler vardır. Bunlardan biri de herhangi bir açıyı üç eş parçaya ayırmaktır. Bir açıyı iki eş parçaya ayırmak oldukça kolayken, onu üç eş parçaya ayırmak mümkün değildir. (Elbette bu imkânsızlık, yalnızca ölçüsüz cetvel ve pergel kullanıldığında geçerlidir.) Bu noktada insanın aklına şu soru gelebilir: Acaba kare bir kâğıdı üçe katlamak da benzer şekilde imkânsız mıdır?
Bu sorunun yanıtını Japonya’dan emekli biyoloji profesörü Kazuo Haga verdi. Bir biyolog olmasına rağmen, matematiksel fikirleri keşfetmek için origami kullanmak onun büyük tutkusuydu.
Sonunda yalnızca yeni yöntemler keşfetmekle kalmadı, aynı zamanda bu konu üzerine Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding adlı bir kitap da yazdı. Bu kitapta anlattığı katlama yöntemlerinden biri bugün Haga Teoremi olarak bilinir. Haga teoremi sayesinde kare bir kâğıdı katlayarak istediğimiz herhangi bir kesri elde etmek mümkündür.
Kağıt Katlama Adımları
Önce kâğıdı ikiye katlayalım ve katlanan kenar üzerinde oluşan katlama çizgisini belirginleştirelim. Ardından sol alt köşeyi bu orta çizgiye denk gelecek şekilde kâğıdı yeniden katlayın.
Bu noktada dikkat çekici bir durum ortaya çıkar: Kâğıdın kenarından sarkan üç üçgen oluşur; bunlardan biri sol üstte, biri sağ üstte, diğeri ise sol alttadır. Bu üçgenler arasında ilginç bir ilişki vardır. Açıları işaretlediğinizde bunu siz de kolayca görebilirsiniz.
Oluşan bu üç üçgen dik açılı üçgenlerdir ve açıları birbirini tamamlar. Bu nedenle üçgenler birbirine benzerdir; yani aslında aynı üçgenin farklı görünümleridir. Dolayısıyla kenar uzunlukları da birbirleriyle orantılıdır.
Kâğıdı üçe katlamak için bu benzer üçgenleri Pisagor teoremi ile birlikte kullanabiliriz. Kare biçimindeki kâğıdın kenar uzunluğunu 1 olarak alalım. Bu durumda sol üstte oluşan üçgenin bir kenarı uzunluğunda, diğer kenarı ise bilinmeyen uzunluğunda olur. Buna göre hipotenüsün uzunluğu da olacaktır.
Bu noktada sol taraftaki üçgen için Pisagor teoremini yazarsak x2+(1/2)2=(1−x)2 eşitliğini elde ederiz. Gerekli düzenlemeleri yapıp bu denklemi çözdüğümüzde ise sonucuna ulaşırız.
Artık sağ üstteki üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayabiliriz. Bu üçgenin bir kenarı, aşağıda da görüldüğü gibi, y uzunluğundadır; diğer kenarı ise uzunluğundadır.
Bu aşamada sol ve sağ üçgenler arasındaki benzerlik özelliğini kullanırız. Denklemde yerine az önce bulduğumuz değerini yerleştirirsek sonucuna ulaşırız.
Son durumda y uzunluğunu bildiğimize göre yapmamız gereken tek şey, onun da orta noktasını bulmak olacaktır. Böylece herhangi bir ölçüm yapmadan bir kenarın üçte birini kolayca hesaplamış oluruz.
Kare Kağıdı İstenilen Başka Oranlarda da Katlayabilirsiniz
Başa dönelim. Kağıdın sol alt köşesini üst kenarın yarısına kadar katlamak yerine, sol alt köşeyi üst kenar boyunca herhangi bir noktaya katladığınızı varsayalım. Bu durumda kağıdımız aşağıdaki gibi olacaktır.
Aslında bu aşamadan sonra yapmanız gerekenler yukarıda anlatılanlar ile aynı. Öncelikle bir kere daha Pisagor teoremi ile işe başlayacağız. x2+k2=(1-x)2 denklemini çözerek x=(1-k2)/2 sonucunu elde etmemiz gerekiyor. Şimdi de bir kere daha sol ve sağ üçgenler arasındaki benzerlik özelliğinden faydalanacağız. Bu durumda da genel bir sonuca ulaşacağız. Bu sonucumuz y/2=k/1+k biçiminde olacaktır. ( Ara basamakları hesaplamayı size bırakıyoruz)
Az evvel k=1/2 olduğunda kağıdımızı üçe katlayabildiğimizi görmüştük. Şimdi k yerine başka değerler vererek kağıdımızı farklı biçimlerde katlayabiliriz. Kağıdımız çevirelim. Üçte birlik noktayı artık bildiğimiz için işe en baştan başladığımızı düşünelim. Bu sayede artık kağıdımızın üzerinde bir kenarın tam olarak dörtte birini işaretleyebiliriz.
Aynı biçimde her kağıt katlama ile yeni bir oran elde edip, ardından kağıdı çevirip, katlama işlemine devam edersek istediğimiz kadar bu işlemi sürdürebiliriz.
Okullarda benzerlik konusunu öğretirken tahtada sıkıcı örnekler çözmek yerine, bir parça kağıt ile hem öğrenmelerini hem de keşfetmelerini sağlamak mümkün. Teşekkürler Haga!
Kaynakça: Folding fractions; Bağlantı: https://plus.maths.org/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
