Geometri

Kare Bir Kağıdı 3’e Hatta 7’ye Katlayabilir misiniz?

Bir parça kağıdı ikiye katlamak gayet basit. Kağıdın iki kenarı çakışacak şekilde üst üste getirip katladığımızda kağıt ikiye katlanmış olur. Peki aynı mantıkla sadece katlama işlemi yaparak bir parça kare kağıdı üçe nasıl katlarız? Antik çağlardan beri insanların uğraşa geldiği ve yakın zamana kadar boşa uğraşıldığının bilinmediği bazı problemler vardır. Bunlardan biri de herhangi bir açıyı üç eş parçaya ayırmaktır.

Bir açıyı iki eş parçaya ayırmak çok kolayken bunu üç eş parçaya ayırmak imkansızdır. (Tabi bu işlemleri ancak ölçüsüz cetvel ve pergel kullanarak yaparsak imkansız.) İnsanın aklına olur olmaz acaba kare kağıdı üçe katlamak da böylesine imkansız mı? sorusu geliyor. Neyse ki biz aynı yöntemle kağıdı üçe, dörde, beşe veya istediğin herhangi bir sayıya katlayabileceğiz. Önce nasıl yapıldığından, sonrasında ise nedeninden bahsedelim.

Kağıdı üçe katlayabilmek için önce ikiye katlamalıyız, dörde katlayabilmek içinse sırasıyla ikiye ve üçe katlamalıyız. Yani herhangi bir sayıya katlayabilmek için öncesinde var olan tüm sayılara sırasıyla katlayarak ilerlemek gerekiyor. Buradaki sınırlılığımız da bu olsun. Neyse ki yapılan katlama işlemleri çok da uzun değil.

Kağıt Katlama Adımları

Önce kağıdı ikiye katlayalım. İkiye katlandığı kenarın üzerinde var olan katlama çizgisini belirginleştirelim. Şimdi sol alt köşeyi bu yarım işareti karşılamak için kağıdı katlayın. İlk fark edilecek şey şu anda ortaya çıkan, biri sol üstte, biri sağ üstte ve biri de sol altta, kağıdın kenarından sarkan üç üçgen arasındaki ilginç bir ilişkidir. Bu ilişkiyi açıları işaretleyerek sizler de görebilirsiniz. Oluşan bu üç üçgen dik açılı üçgenlerdir ve açılar birbirinin tamamlayanlarıdır. Bu nedenle de bu üç üçgen birbirine benzerdir. Yani aslında aynı üçgenin farklı biçimleridir. Dolayısıyla kenar uzunlukları da birbiri ile orantılı olacaktır.

Kağıdı üçe katlamak için bu benzer üçgenleri Pisagor teoremi ile birlikte kullanabiliriz. Kare kağıdımızın kenar uzunluğunu 1 olarak alırsak, sol üst üçgenimizin bir kenarı 1/2 uzunluğunda, bir kenarı da bilinmeyen x uzunluğunda olacaktır. Bu durumda hipotenüsümüz de 1-x kadar olmalıdır. Bu noktadan itibaren sol taraftaki üçgende Pisagor teoremini yazarsak x2+(1/2)2=(1-x)2 elde ederiz. Gerekli düzenlemeleri yapıp bu denklemi çözersek de x=3/8 sonucuna ulaşırız.

Artık sağ üst üçgenin kenarların uzunluğunu hesaplayabiliriz. Bu üçgenin bir kenarı aşağıda da gördüğünüz gibi y kadar, diğer kenarı da 1/2 kadar olacaktır. Bu aşamadan sonra sol ve sağ üçgen arasındaki benzerlik özelliğini kullanmalıyız. Denklemde x yerine az evvel bulduğumuz x=3/8 sonucunu yerleştirirsek y=2/3 sonucunu elde ederiz.

Son durumda y uzunluğunu bildiğimize göre yapmamız gereken tek şey, onun da orta noktasını bulmak olacaktır. Böylece herhangi bir ölçüm yapmadan bir kenarın üçte birini kolayca hesaplamış oluruz.

Kare Kağıdı İstenilen Başka Oranlarda da Katlayabilirsiniz

Başa dönelim. Kağıdın sol alt köşesini üst kenarın yarısına kadar katlamak yerine, sol alt köşeyi üst kenar boyunca herhangi bir noktaya katladığınızı varsayalım. Bu durumda kağıdımız aşağıdaki gibi olacaktır.

Aslında bu aşamadan sonra yapmanız gerekenler yukarıda anlatılanlar ile aynı. Öncelikle bir kere daha Pisagor teoremi ile işe başlayacağız. x2+k2=(1-x)2 denklemini çözerek x=(1-k2)/2 sonucunu elde etmemiz gerekiyor. Şimdi de bir kere daha sol ve sağ üçgenler arasındaki benzerlik özelliğinden faydalanacağız. Bu durumda da genel bir sonuca ulaşacağız. Bu sonucumuz y/2=k/1+k biçiminde olacaktır. ( Ara basamakları hesaplamayı size bırakıyoruz)

Az evvel k=1/2 olduğunda kağıdımızı üçe katlayabildiğimizi görmüştük. Şimdi k yerine başka değerler vererek kağıdımızı farklı biçimlerde katlayabiliriz. Kağıdımız çevirelim. Üçte birlik noktayı artık bildiğimiz için işe en baştan başladığımızı düşünelim. Bu sayede artık kağıdımızın üzerinde bir kenarın tam olarak dörtte birini işaretleyebiliriz.

Aynı biçimde her kağıt katlama ile yeni bir oran elde edip, ardından kağıdı çevirip, katlama işlemine devam edersek istediğimiz kadar bu işlemi sürdürebiliriz.

Bu dahice yöntem Japonya’dan emekli bir biyoloji profesörü olan Kazuo Haga’dan geldi. Bir biyolog olmasına rağmen, matematiği keşfetmek için origami kullanmak onun tutkusu oldu. Sadece keşfetmekle kalmadı, ayrıca bu konu ile Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding isimli bir kitap yazdı. Bu nedenle az evvel sizlere kısaca anlattığımız yöntem Haga Teoremi olarak bilinir ve kare bir kağıttan istediğimiz herhangi bir kesri katlamamızı sağlar.

Okullarda benzerlik konusunu öğretirken tahtada sıkıcı örnekler çözmek yerine, bir parça kağıt ile hem öğrenmelerini hem de keşfetmelerini sağlamak mümkün. Teşekkürler Haga!

Kaynakça: Folding fractions; Bağlantı: https://plus.maths.org/

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu