Bir pipette kaç tane delik bulunur? Bir mi iki mi? Sorunun cevabı son derece basit gibi gözüküyor değil mi? Ancak her iki cevabında ateşli taraftarları var. Hatta kimi kişiler sonsuz deliği olduğunu, bazı kişiler ise sıfır deliği olduğunu söylüyorlar.
Konuya ilgisi olmayan bir kişinin aklındaki delik kavramı denildiğinde gündelik hayatında görmeye alışık olduğu şeyler gelir. Ancak farklı bilimler bir deliği farklı biçimde yorumlayacaktır. Matematikçiler için ise delik topoloji ile ilgili bir kavramdır. Ancak bu noktada bir sorun vardır. Topolojide bile deliğin birbirinden farklı tanımlamaları mevcuttur. Bu nedenle bazı nesnelerin barındırdığı delik sayısı, sorduğunuz kişinin hangi tanıma benimsediğine bağlı olarak değişebilir.
Matematiksel Anlamda Delik Nedir?
Geometride daireler ve çokyüzlüler gibi şekiller katı nesnelerdir. Uzunlukları, açıları ve alanları vardır. Ancak topolojide şekiller, sanki kauçuktan yapılmış gibi esnek yapıdadır. Küre ve küp farklı geometrik nesnelerdir, ancak topoloji de bir farkları yoktur. Bir tişört ve bir pantolonun farklı olduğuna dair matematiksel bir ispata bir gün ihtiyaç duyarsanız, topolojiye başvurabilirsiniz. Farklıdırlar çünkü ikisi de farklı sayıda deliklere sahiptirler.
Konuya ilişkin ünlü bir örnek, bir simidin topolojik olarak bir kahve fincanı ile aynı şey olmasıdır. Bu dönüşümde korunan şey deliktir. Simidin ortasındaki delik, bardağın sapındaki delik olur. Diğer bir deyişle, delik yok olmaz. İki nesnenin birbiri ile aynı olması bu nesnelerdeki delik sayısı birbirine eşit olmalıdır. Topoloji, dönüşümler durumunda delik gibi hangi özelliklerin değişmez olduğuyla ilgilenir.
18. yüzyılda Leonhard Euler, topoloji ile ilgili araştırmalarına başladı. 1750’de Euler, tüm zamanların en büyük teoremlerinden biri olarak kabul edilen bir ilişkiyi ele aldı. Katı bir cismin F yüzü, E kenarı ve V köşesi varsa F + V = E + 2 olur. Örneğin küpü ele alalım. Küpün altı yüzü, 12 kenarı ve sekiz köşesi vardır. 6 ve 8 sayılarını toplarsak 14 buluruz, o da 12’den 2 büyüktür.
Bu formül bütün çokyüzlüler için geçerli mi? Aslında değil. Bir resim çerçevesini düşünün. 6 yüzü, 32 kenarı ve 16 köşesi vardır. Ancak bu sefer aralarındaki ilişki yani F + V – E = 0 olur. Çelişkinin sebebi çerçevenin içinde barındırdığı delik sayısıdır. Hatta bir çokyüzlüde g adet delik varsa eşitlik şu şekli alır: F+V-E=2-2g
Bir Pipetin Kaç Tane Deliği Vardır?
Şu ana kadar konuya yabancı olan kişilerin anlaması gereken şey delik dediğimiz zaman matematikçilerin ne anladığı olmalıdır. Yazının devamını mümkün olduğu kadar teknik olmayan bir dil ile ele alacağımızdan daha fazla bilgi isteyenlerin kaynaklara göz atması ya da bir topoloji ders kitabı alıp incelemesi önerilir. Şimdi biz konumuza geri dönelim.
İçinde delik olmayan bir şekli tanımlamak kolaydır. Bu tip yüzeyler için F + V -E her zaman 2 olur. Bunun tersi de doğrudur. Yani eğer F + V – E = 2 ise bu çokyüzlü küre olacak şekilde deforme edilebilir. Ancak, F + V – E = 0 olduğu durumlarda, resim çerçevesi örneğimizde, bu şekli bir küreye dönüştüremezsiniz. ( Daha fazla bilgi edinmek için: Euler’in Çokyüzlü Formülü Bize Ne Anlatıyor?)
Delik kavramının ne olduğu tam olarak tanımlanamasa da yukarıda verdiğimiz formülün yeniden düzenlenmesi sonucunda elde edeceğimiz g = -(F+V-E-2) / 2 formülü ile hesaplanabilir. Peki bunu pipetimize nasıl uygulayacağız? Sonuçta bir pipet aslında bir silindirin yuvarlanmış halidir. Normal haliyle iki delik gibi düşündüğümüz şey, bir pipeti diklemesine kesip açarsak yok olur. Elimizde sadece bir dikdörtgen kalır.
Bir deliğin tanımı az öncede aktarmaya çalıştığımız gibi bir pipetin iki ucunda gözlemlediğiniz var olan bir açıklık değildir. Örneğin bir bardağı ele alalım. Bardağın ağzı açıktır, içine bir şey koyabilirsiniz, ancak topolojik açıdan kulpsuz bir bardakta delik yoktur.
Delik örnekleri, bir simitin merkezindeki boşluk, bir düzlemden çıkarılan bir alan ve bir düğüm kesildikten sonra Öklid uzayında eksik olan kısım gibi şeylerdir. Bu nedenle pipetin iki deliği vardır diyemeyiz. Peki o zaman kaç deliği var?
Şimdi pipetimizin esnek olduğunu düşünelim ve şeklini deforme edelim. Yukarıdan bastıralım. Bu durumda yukarıdaki açıklık ile aşağıdaki açıklık üst üste gelecek ve bir simide benzeyecektir. Bu biçimde baktığımız zaman pipetimizin bir deliği olduğunu söyleyebiliriz. Ancak bu açıklama size yeterli gelmediyse bir başka matematikçinin deliği nasıl tanımladığına bakalım.
Deliğin Alternatif Bir Tanımı Nedir?
Matematikçi Bernhard Riemann’a göre, deliklerin sayısı, bir nesnenin iki ayrı parça oluşturmadan kesilebileceği sayıya eşittir. Bu durumda Riemann’a göre, bir pipet yalnızca bir kez – uçtan uca – kesilebildiği için tam olarak bir deliği vardır. Ancak aşağıdaki görselde de gördüğünüz gibi bir torus ya da bildiğimiz adıyla simit iki farklı biçimde kesilebilir.
Tüm bu fikirlerden yola çıkarak günümüzde topolojide delik sayısını tanımlamak için Henri Poincaré tarafından tanıtılan Betti sayıları kullanılmaktadır. Ancak hangi yöntemi kullanırsanız kullanın bir pipetin matematiksel açıdan bir deliği olduğu ortaya çıkmaktadır.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Topology 101: The Hole Truth; Yayınlanma tarihi: 26 Ocak 2021; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/
- Betti Number; Bağlantı: https://mathworld.wolfram.com/
- What We Talk about When We Talk about Holes; yayınlanma tarihi: 25 Aralık 2014; Bağlantı: https://blogs.scientificamerican.com/
Matematiksel
