George Polya ve Problem Çözme Algoritması Matematiksel

Matematiksel düşünme biçimi ile bir problem nasıl çözülür? Karşılaşılan problemlerde izlenecek özel bir yol var mıdır? Varsa nedir? Bu soruya “Evet” yanıtını 1940’lı yılların ortasında Macar bir matematikçi George Polya verdi. Matematiksel metot bir problemi belli bir algoritmayla çözer. Bir problemi etkili bir şekilde çözdüğünüzde zaten farkında olmadan bu metodu uyguluyoruz aslında sizde düşünürseniz. Bu yönteme”Heruistic Technique” denir. Yani sezgisel yöntem…

Kısaca George Polya

Budapeşte’de doğdu. Okul yıllarında parlak bir öğrenci olmasına rağmen, matematik dersi ilgisini bir türlü çekmedi başlarda. Ailesinin ısrarı sonucunda hukuk okumak için 1905’te Budapeşte Üniversitesi’ne girdi. Sonra dil ve edebiyat bölümüne, sonra da felsefeye geçti. En sonunda matematik de karar kıldı. 1912′ de matematik doktorasını aldı; yan konuları fizik ve kimyaydı. Tez konusu olarak olasılık kuramını seçmişti. Doktora sonrası çalışmalarını Göttingen ve Paris’ te yaptı. 1914’de Zürih’teki Federal Teknoloji Enstitüsü’nde öğretim görevlisi olarak çalışmaya başladı. Araştırmalarında matematiğin birçok dalına değinse de en çok kompleks fonksiyon kuramı, kombinatorik ve olasılık kuramı üzerine çalışmalar yaptı

Burada, 1945’te onun herkes tarafından bilinirliğini arttıran ve günümüze kadar etkisini sürdüren How to Solve It (Nasıl Çözmeli?) isimli kitabını yazdı. Bu eserinde özellikle matematik öğretmenlerine öğrencilerin matematik problemlerini çözerken gerçek hayatta da problem durumlarını çözebilecekleri bir nitelik kazanabilmeleri için bu algoritmanın esas niteliği ve uygulama metodu üzerine eşsiz tavsiyelerde bulundu. Problem çözme aşamalarını anlattığı bu kitabın belki de en çarpıcı cümlesi şudur: “Eğer bir problemi çözemiyorsanız onun resmini çizin.”

Problem Çözme Algoritması

1. Adım: Problemi Anla

Problemi anlamak zorundasınız. Öncelikle problem durumunun açık bir şekilde konulması gerekir. Kendinize ve ya öğrencinize şu soruları sormalısınız;

Bilinmeyen şey nedir? Veriler nedir? Koşullar nelerdir? Sizden istenen nedir?
Koşullar yeterli mi? Veriler bilinmeyeni açıklamak için yeterli mi? Verilerde çelişki ya da düzensizlik var mı?
Bu durumda sizden çözmeniz beklenen durum ya da problem tam olarak nedir ? Neyi bulmanız ya da çözmeniz beklenmektedir?
Problemi kendi cümlelerinizle ifade edin.
Problem durumunun bir resmini ya da şemasını çizerek(yapabiliyorsanız) meseleyi daha açık hale getirin

2. Adım: Plan Oluştur

Problem durumunu ortaya koyduk. Neyle karşı karşıya olduğumuzu biliyoruz. Şimdi problemi nasıl çözeceğimize odaklanmalıyız. Polya burada bazı temel problem çözme metotlarından bahsediyor. Ama bu metotlardan birini seçmeden önce kendimize -ya da öğrencimize- sormamız gereken sorular var.

Bu tipte bir problemle daha önce karşılaştın mı? Bu probleme benzer ve ya bu problemi hatırlatan problemlerle karşılaştın mı? Orada ne yapmıştın onu hatırla.
Bu problemle bağlantılı olabilecek tarzda bir problem biliyor musun? Kullanışlı olabilecek kurallar ya da teoremler biliyor musun? Listele.
Bu problemi çözemiyorsan, buna benzer daha basit bir problem ifade edip çözebilir misin?
Tasarladığın çözümde tüm verileri ve mevcut koşulları kullanabiliyor musun?

Bu temel sorulara yanıt verdikten sonra çözüm hakkında bir fikre sahip olmalıyız. Çözüm için aşağıdaki metotların birini ve ya birkaçını kim bilir belki hepsini kullanabiliriz:

Sistematik bir liste yapın.
Sondan başa doğru gidin.
Baştan sona doğru gidin.
Bir örüntü arayın.
Koşulları daraltın.
Koşulları gevşetin.
Bir zıt örnek arayın
İhtimalleri eleyin
Bir tahminde bulunun ve deneyin.
Bölün ve parçalar halinde çözün.
Modelleri, teoremleri ve ya kuralları kullanın.
Denklem haline getirip çözün.

3. Adım: Planı Uygula

Bu adım plan yapmaktan daha basit. Yapmamız gereken tek şey planımızı uygulamak. Genellikle ihtiyaç duyulan tek şey dikkatli ve sabırlı bir şekilde çözüm stratejimizi uygulamak olacaktır. Stratejinin işe yaramıyor olması bizim hatamızdan kaynaklanıyor olabilir. Bu noktada gerekli ısrarı göstermekten çekinmeyin. Sezgilerinize güvenin. Yine de çözüm olmaması durumunda 2. adıma dönerek stratejiyi değiştirme yoluna gidilir.

4. Adım: Gözden Geçir

Bu aşamada sonucun doğruluğu incelenir. Kullanılan stratejinin uygunluğu değerlendirilir. Alternatif çözüm yolları değerlendirilir. Polya bu değerlendirmenin aşağıdaki temel soruları sorarak yapılması gerektiğini belirtiyor.

Sonucun doğruluğunu sağlayabiliyor musun?
Tüm verileri kullandın mı?
Sonucun istenilen koşulları sağlıyor mu?
Problem farklı bir yolla çözülebilir miydi?
Elde ettiğin sonuç ve ya kullandığın metot farklı problemlerde kullanılabilir mi?

George Polya, 17 dile çevrilen bu önemli eserinde bir matematikçinin problem çözümü için katettiği adımları “her seviyede kullanıcı” için özetlemiş daha da önemlisi öğrencilere problem çözme işinin (ki bu işi yaşamımız boyunca yapıyoruz) öğretilmesi için tüm öğretmenlere eşi bulunmaz bir destek sunmuştur. Yaşamınızda gerçekten çözüme ulaştığınız bir problem durumunu düşünün. Şimdi sizi başarıya sizi çözüme götüren adımlarınızı düşünün. Bu adımlara kendi çözüm adımlarınıza daha yakından bakın, hatta bir mikroskopla. Evet! Farkettiniz…

Sizi çözüme götüren aşamalarda Polya’nın algoritmasının izlerini siz de görüyorsunuz. Onların çok büyük kısmında farkında olmadan bu tekniğin adımlarını kullandınız. Bir matematikçi gibi düşündünüz. Polya’nın “Sezgisel Yöntem ” dediği şey de bu. Polya neyi kastettiğini kitabının girişinde Dante’den yaptığı şu alıntıyla daha iyi özetliyor. “Zihnim, arzusunu tatmin eden bir şimşeğin aleviyle aydınlandı.”

Hasan Hüseyin AKİS