Biyoloji ve Coğrafya

Yaşam Çemberini Anlamak: Lotka – Volterra Yani Avcı – Av Denklemleri

Hayatta kalmak kolay değil. Bu sözü bir metafor olarak kullanmadık. Vahşi doğada hayatta kalmak gerçekten önemli bir sorundur. Türler bu soruna evrimsel süreçlerde çözümler geliştirmişler ve bunun farklı yollarını bulmuşlardır. Hayatta kalma döngüsü bir avcı türün ve avının birbirleri ile ilişkisine bağlıdır. 1920’lerde Amerikalı matematikçi Alfred J. Lotka ve İtalyan matematikçi ve fizikçi Vito Volterra tarafından formüle edilen iki denklem Lotka-Volterra denklemleri olarak bilinir. Avcı-av denklemleri olarak bilinen bu denklemler, matematiğin biyolojiye uygulanmasının ilk örneklerinden biri olarak kabul edilir.

Bilim insanlarının çevreyi ve orada yaşayan hayvanları nasıl koruyacaklarını anlayabilmeleri için bilgi toplamaları gerekir. Bu esnada da ellerindeki en önemli araç aslında matematiktir. Matematiksel modelleme sayesinde yırtıcı hayvanlar ve av arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmak mümkün olur. Bu sayede bilim insanları popülasyonlarının zaman içinde nasıl değiştiğini anlayabilir. Bu da bir hayvanın ne zaman yok olma riskiyle karşı karşıya olabileceğini bilmelerini sağlayacaktır.

Amerikalı matematikçi Alfred J. Lotka (sol) ve İtalyan matematikçi ve fizikçi Vito Volterra ( Sağ). Bu ikili genel avcı-av ilişkisinde gözlemlenen yükselişi ve düşüşü açıklamak için matematiği kullanmak istediler.

Lotka, 1910’da, otokatalitik kimyasal reaksiyonların yani kendilerini düzenleyen kimyasal süreçlerin oranlarını anlamanın bir yolu olarak bu denklemleri önerdi. 1926’da Vito Volterra’da İtalyan deniz biyoloğu Umberto D’Ancona ile tanıştıktan sonra konuyla ilgilenmeye başladı. D’Ancona, Volterra’ya Adriyatik Denizi’nde ağlara yakalanan yırtıcı balıkların yüzdesinin I.Dünya Savaşı sırasında büyük ölçüde arttığını anlatmıştı. Bu değişiklik, savaş yıllarında balıkçılığın azalmasıyla bağlantılıydı, ancak bir gariplik vardı. Daha az balık avı sonucunda ağlarda her türden daha fazla balık olmalıydı ama bu çeşitlilik yoktu. Sonunda Lotka ile aynı denklemleri kullanan Volterra, hem avcı hem de av türlerindeki dalgalanmaları açıkladı.

Lotka – Volterra / Avcı Av Denklemleri

Çita-babun etkileşimlerinin Lotka-Volterra modeli. 80 babun (yeşil) ve 40 çita ile başlayan bu grafik, modelin iki tür sayısının zaman içinde nasıl ilerleyeceğini tahmin ettiğini göstermektedir.

Lotka-Volterra denklemleri, biri yırtıcı, diğeri av olmak üzere iki türün etkileştiği biyolojik sistemlerin dinamiklerini tanımlamak için kullanılan bir çift birinci dereceden doğrusal olmayan diferansiyel denklemdir. Diferansiyel Denklemler, popülasyonların zaman içinde nasıl değiştiğini veya bir helikopterin nasıl uçtuğunu, gezegenlerin bir yıldızın yörüngesinde nasıl döndüğünü veya damarlarımızda kanın nasıl aktığını içeren diğer birçok süreci tanımlayan denklemlerdir.

Yukarıdaki denklemde x, av sayısıdır (örneğin, tavşanlar); y, bazı yırtıcı hayvanların sayısıdır. (örneğin, tilkiler); dy/dt ve dx/dt iki popülasyonun anlık büyüme oranlarını temsil eder. t zamandır. α, β, γ, δ, iki türün etkileşimini tanımlayan parametrelerdir.

Lotka-Volterra denklem sistemi, ekolojik sistemlerin dinamiklerini avcı-av etkileşimleri, rekabet, hastalık ve karşılıklılık ile modelleyebilen daha genel bir çerçeve olan Kolmogorov modeline bir örnektir. Denklem av ve avcı popülasyonlarının birbirine bağlı olduğunu ortaya koyuyor. Bu denklemlere göre, belli bir süre boyunca av ve avcı popülasyonları artar. Ancak, belli bir seviyeden sonra avcı popülasyonundaki aşırı artış avlanan nüfusunda azalmaya neden olur. Azalan besin kaynakları nedeni ile denklem zamanla tersine dönmeye başlar. Dışşal bir faktör dengeyi bozana kadar denge bu şekilde devam eder.

Denklemler İle İlgili Bir Örnek: Vaşak – Tavşan İlişkisinin Modellenmesi

Bir matematikçi bir denklem geliştirirken dünyayı düşünür. Şimdi zaman içinde tavşan popülasyonuna neler olduğunu düşünelim. Aşağıdaki görselde ilk kısımda gördüğünüz vaşak olmasaydı gelecekteki tavşan popülasyonunu tahmin etmek için kullanılan denklemlerdir. Sonuç üstel büyüme biçimindedir.

İkinci kısım ise ( B) tavşan olmaması durumunda gelecekteki vaşak popülasyonunu tahmin etmek için kullanılır. Bu denklemler sonucun üstel düşüş olduğunu söyler. Üçüncü kısım ise popülasyonların etkileşim halinde olduğu bölümdür. ( C) Bu, hem tavşanlar hem de vaşaklar için dalgalanan popülasyon seviyeleri ile sonuçlanır.

Lotka – Volterra Denklemleri Neden Önemlidir?

Tür etkileşimlerinin sonucunu tahmin etmek, toplulukların nasıl yapılandığını anlamaya çalışan biyologların ilgisini çeker. Avcılar ve av, birbirlerinin evrimini etkiler. Bir avcının av bulma ve yakalama yeteneğini artıran özellikler avcıda evrimleşir. Avın yenilmekten kaçınma yeteneğini artıran özellikler de avda doğal seçilim yoluyla öne çıkacaktır. Bu denklemler bu sürecin işleyişini kavramamıza yardımcı olur.  

Papağanlar en uzun süreli ömre sahip kuş türleri arasındadır. Bunun nedeni çok az hayvanın kendilerini av olarak görmesidir. Çok fazla avcısı olan türler, genelde birkaç yıl yaşadıktan sonra av olurlar. Bu yüzden mümkün olduğunca hızlı bir şekilde üremeye ve çok sayıda yavruya sahip olmaya yönelik evrimleşmişlerdir. Bu durum da çok fazla metabolik kaynak gerektirir, bu nedenle yetişkin kuşların bir kısmı çiftleştikten sonra kısa bir süre içerisinde ölür. Daha da önemlisi, hastalıklara neden olabilecek genetik bozukluklar daha ortaya çıkmadan önce bu hayvanlar çoktan yavrulamış olurlar. Böylece bu mutasyonlar tür içerisinde her jenerasyonda giderek birikir ve yaşam süresinin genelde kısalmasına neden olur. Papağan avcılarının görece az olması nedeniyle, doğal seleksiyonun da etkisiyle bu tarz mutasyonlar gen havuzundan uzak kalmıştır. Bunun sonucunda da Kakadular ve Amazon papağanları 75 yıldan fazla yaşayabilir

Lotka-Volterra modelinin eksikliklerinden biri gerçekçi olmayan varsayımlara dayanmasıdır. Bu nedenle bilim dünyasında ilerleyen süreçlerde başka denklemler önerilmiştir. Ancak bu denklemlerin zamanla finans piyasalarına da uyarlanabileceği görülmüştür. Neticesinde av – avcı ilişkisi yerine uzun – kısa pozisyon sayıları analiz edilerek bir çıkarımda bulunulabileceği kabul görmüştür. Günümüzde bu denklemler, şirketlerin nasıl etkileşime girdiğini, kimyasal reaksiyonların nasıl gerçekleştiğini ve virüslerin nasıl yayıldığını modellemek için de kullanılmaktadır.



Kaynaklar ve ileri okumalar için:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu