Matematiksel Bir Gizem: Kepler Varsayımı

1998 yılında kanıtlanana kadar dört yüz yıldan fazla bir süre cevabını bilemediğimiz bir soru vardı. Kepler varsayımı olarak bilinen bu teorem adını 17. yüzyıl matematikçisi ve astronom Johannes Kepler’den ( 1571-1630) alıyordu. Basit bir biçimde ifade etmemiz gerekirse içerik olarak kürelerin paketlenmesi ile ilgileniyordu. Ancak detaylara geçmeden önce kürelerin paketlenmesi ifadesi ile ne demek istediğimizi açıklayalım.

Öncelikle gözünüze manavlarda veya pazarlarda sıklıkla karşılaşacağınız bir görüntüyü getirin. Aşağıdaki görselde de görebileceğiniz gibi bir manavın portakallarını gereken alan miktarını en aza indirecek şekilde istiflerken yaşadığı sorun mevcut alanı en ekonomik biçimde kullanmadır. Bunun için bulduğu çözüm ise küreleri üst üste dizerken piramit biçiminde bir form oluşturmak olur. Ancak elbette Kepler problemi portakalların istiflenme sorunun çözmek için ortaya konmamıştır.

Manavlar bir kutuyla ya da bir masanın üstüyle başlarlar. Sonrasında yukarıya doğru katman katman ilerlerler. Bu yüzey merkezli bir küp örgü yapmanın bir yoludur.

Kepler Varsayımı İle Nasıl Tanıştık?

Aslında her şey Sir Walter Raleigh’in ( 1554-1618), asistanı matematikçi Thomas Harriot’a (1560-1621) bir soru yöneltmesi ile başladı. İlgilendikleri şey ise belirli bir alanda depolanması gereken top mermisi sayısını nasıl maksimize edecekleri idi. Diğer bir deyişle topların hangi biçimde düzenlenmesinin en az yeri kaplayacağını anlamak istiyorlardı. 1606’da Harriot, problemi gezegen yörüngeleri konusundaki çalışmaları ile tanınan meslektaşı Johannes Kepler’e ulaştırdı. Kepler konu hakkında çalışmalar yaptı. Sonunda her bir topun tam olarak diğer on iki topa değecek şekilde yerleştirilmesi gerektiğine karar verdi. Diğer bir deyişle, uzay boşluğunu dolduran eşit ebatlı kürelerin hiçbir düzeni, altıgen dizilim düzenlemesinden daha büyük ortalama yoğunluğa sahip değildir. Sonrasında bu ifade Kepler varsayımı veya basitçe küre paketleme problemi olarak bilindi. Kepler bulgularını kar taneleri hakkında yazdığı bir kitapta ortaya attı.

Kepler kar tanelerinin neden altıgen olduğunu sorarak işe başladı. İddialarını desteklemek için bir narın içindeki nar taneleri ve arı kovanlarındaki bal petekleri gibi altıgen formdaki yapıları inceledi. Sonrasında Kepler uzayda küreleri istifleme konusunda gerekli olan kar tanesi simetrisi formunu açıkladı. Bunun devamında da çözülmesi yaklaşık 400 yıl alacak olan bir soru ortaya çıktı. Uzayda özdeş küreleri istiflemek için en etkili yol nedir? Kepler bunun manavların portakalları istifleme örneğinde gördüğümüz biçimde olması gerektiğini öne sürdü. Bu biçimde bir paketleme sonucunda yoğunluğun yaklaşık %74 olduğunu yazdı ama ispatını yapmadı. Bu düzenlemenin bir örneğini aşağıda görebilirsiniz.

Hangi Düzenleme Daha Verimli?

Önce kürelerden bir zemin hazırlayın. Sonra benzer şekli her bir küre, alttaki dört kürenin kesişiminde oluşan boşluğa gelecek biçimde ikinci katı yapan. Bütün boşluklara dolana kadar işleme devam edin. Kepler’e göre bu istifleme bir düzlemi doldurmak için en büyük yoğunluğa sahip şekildir. Dizilimin verimliliği onun yoğunluğu ile ölçüler.

Bu noktada akıllara başlangıçta kullandığımız zeminin farklı biçimde olması durumunda daha fazla yoğunluğa sahip istiflemeler yapılabileceği gelecektir. Ancak birbiri ile özdeş şekilleri bir araya getirmeye kalkarsanız kendinizin de göreceği gibi başlangıçta iki tip düzenleme söz konusu olur. Bunlardan bir tanesi bal peteği ya da altıgen örgü diğer ise kare örgüdür. Peki hangisi daha verimlidir? Bir düzenlemenin ne kadar iyi olduğunu ölçmek için matematikçiler tüm uzayın kürelerle dolu olduğunu hayal ederler. Daha sonra kürelerin kapladığı hacmi, tüm uzayın hacmine oranlanır. Hacmin geri kalanı, küreler arasındaki boşluklardan oluşur.

Bir düzlemi çember ya da küreler ile doldurmak için iki yol vardır. Karesel dizilim veya altıgen dizilim

Sonuçta bir düzlemde kare örgü için 0,7854; altıgen örgü için 0,9069 biçiminde bir yoğunluk söz konusudur. Benzer bir biçimde üç boyutlu uzayda kübik örgü için 0,5236; altıgen örgü için 0,7404 ve gelişigüzel bir dizilim için 0,64 yoğunluk söz konusudur. Bu da bize Kepler’in haklı olduğunu gösterir.

Kepler Varsayımı Çözümü

1953’te Macar, László Fejes-Tóth, yeterli hesaplama gücüne eriştiğimiz zaman bu sorunun çözülebileceğini göstermişti. Amerikalı matematikçi Thomas Hales bu sözün peşinden gitti. Kepler varsayımı Thomas Hales ve öğrencisi Samuel Fargison’un bilgisayar destekli bir ispat yaptığı 1998 yılına kadar tam bir cevaba ulaşamadı. Nihai kanıt 250 sayfa tutuyor ve üç gigabayt veri içeriyordu. Yaklaşık dört yıl boyunca uzmanlardan oluşan bir ekip ispatın doğruluğunu inceledi. Ancak hesaplamalar o kadar karmaşıktı ki sonunda doğruluğunu onaylamanın mümkün olmadığına karar verildi. Sonunda ispat bu durumu belirten bir not ile birlikte yayınlandı.

Bu tür kanıtlarla ilgili sorun, tek bir kişinin bilgisayarın hata yapmadığını kontrol edememesidir. Ancak bilir kişiler Hales’in kanıtının %99 doğru olduğunu söylemektedir. Bu durumda Kepler’in varsayımı bir teorem olarak kabul edilmeye oldukça yakındır.



Kaynaklar ve İleri Okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu