Temel Matematik

Euler Formülü Neden En Güzel Formüldür ve Onu Özel Kılan Şey Nedir?

Fizikte hepimizin bildiği Einstein’ın E = mc2, denklemi enerji (E) ve kütlenin (m) gerçekten aynı şeyin farklı biçimleri olduğunu, c sabiti yani ışık hızı ile bağlantılı olduğunu gösterir. Bunun karşılığı matematik için Euler Formülü olarak söylenebilir. Matematikteki birçok şey, muhtemelen tüm zamanların en üretken matematikçisi olan Leonhard Euler’in adını almıştır. Bu yazıda, üstel fonksiyon ve trigonometrik fonksiyonlar arasında güzel bir ilişki ortaya koyan, adını taşıyan bu formülü araştırıyoruz. Bu sayede de karmaşık sayıları üstel bir şekilde nasıl yazabileceğimizi göreceğiz.

Ancak önce neden önemli olduğunu anlamanız lazım. Trigonometrik fonksiyonlardan olan y=sinx ve y=cosx bir çember ile ilgilidir. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar olan y=ex ve y=lnx de bir hiperbol ile ilgilidir. Sonucunda da hiperbol ve çember de birbiriyle ilişkilidir. (çünkü her ikisi de konik şekillerdendir). Öyleyse, üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile trigonometrik fonksiyonlar arasında doğrudan ilişki vardır. Ancak böyle bir ilişkinin var olabilmesi için de işin içine karmaşık sayıların girmesi gerekir. 1748 yılında Euler bunun mümkün olabileceğini bu formül ile bizlere gösterdi. Sonrasında da aşağıdaki özdeşliği ortaya attı. Buna Euler Özdeşliği denir. 

 eix= cosx +isinx

Aslında Roger Cotes yaptığı çalışmalar ile yukarıdaki bağlantıyı 1714 yılında keşfetmişti. Zaman içinde Roger Cotes adı unutuldu. Ancak matematikte yüzlerce denkleme damga vuran Euler’in adı da hafızalara yazıldı. Şimdi gelin en baştan başlayalım.

leonhard euler
Euler öğleden sonralarını o zamanın önde gelen matematikçisi Johann Bernoulli’den matematik dersleri alarak geçirdi. İlerleyen yıllarda Euler, matematik, geometri ve trigonometride büyük ilerleme kaydetti. Euler, görme yeteneğini kaybettikten sonra bile çalışmalarına devam etti. Bu konu hakkında esprili bir şekilde “Artık daha az dikkat dağıtıcım olacak” dediği bilinir.

Euler Özdeşliğinin İspatı

Her şeyden önce, bir karmaşık sayının x+iy biçiminde olduğunu unutmayın; burada x ve y gerçel sayılardır ve i, -1’in kareköküdür. Düzlemde Kartezyen koordinatları (x,y) olan noktayla karmaşık bir z=x+iy sayısını ilişkilendirebilirsiniz. Bu sayede düzlemdeki bir (x,y) noktası, kutupsal koordinatları ile de tanımlanabilir. Burada r, (x,y) ile (0,0) arasındaki mesafedir. Artık kartezyen koordinatlar ve kutupsal koordinatlar arasındaki ilişki, basit bir trigonometri kullanılarak çözülebilir.

Artık x ve y değerlerini açısal olarak da tanımlayabiliyoruz. Şimdi en başa geri dönelim. Karşılıklarını z=x+iy karmaşık sayımızda yerlerine yazalım. Bu durumda aşağıdaki açılımı elde edeceğiz.

Ancak daha işimiz bitmedi. Düşüncenin güzelliği aslında burada karşımıza çıkıyor. İşin içine şimdi kuvvet serileri karışıyor. Gerekli durumlarda cosinüs, sinüs ve üstel değerler için ani açıklayabilmemiz açısından kısaca ispatına da yer vermemiz gerekmektedir. Öncelikle özdeşlikte var olan tüm fonksiyonların tüm x değerleri için geçerli olan kuvvet serileri olarak genişletilebileceğini hatırlayın:

Kosinüs, sinüs fonksiyonları vereceğiniz açıya göre bu açılımda sonsuza kadar 1 ve −1 arasında gidip gelir

Ancak bunları yerlerine yazmadan önce bu hesaplamada işimize yarayacak olan bir açılım daha vardı. Bu üstel fonksiyonlar ile alakalıdır. Bu açılımda da işin içine i sayısını karıştırdığınız ve i sayısının i2=-1, i3=-i ve i4=1 biçimindeki kuvvetlerine göre işaretlerde düzenleme yaptığınız zaman da bizi güzel bir sürpriz bekler.

Yukarıda gördüğümüz serinin yakınsak olduğunu biliyoruz. Bu nedenle terimlerin yerlerini değiştirmeye iznimiz var. Aslında yerlerini değiştirmesek bile dikkatli bakarsanız karşımıza sinüs ve kosinüs açılımları çıktığını siz de görebilirsiniz. Bu durumda aşağıdaki sonuca ulaştık.

Bu size pek bir işe yaramayacak gibi gözükebilir. Ancak aslında pratik de öyle değildir. Karmaşık sayıları çarpmak özellikle zordur. Ancak karmaşık sayıları bu biçimde ifade ettiğiniz zaman çarpma işlemi sayede açıları toplama işlemine dönüşür. Bu da işimizi oldukça kolaylaştırır. Ayrıca Euler özdeşliğini birçok basit ama önemli sonucu vardır. Bunlardan biri de matematiğin en güzel formüllerinden birisi kabul edilen Euler Formülüdür.

Euler Formülü

Bu basit teoreme hayran olan Stanford üniversitesinden bir matematik profesörü, onu “aşkın özünü yakalayan bir Shakespeare sonesiyle ya da insan formunun güzelliğini ortaya çıkaran bir tabloyla karşılaştırdı.” Richard Feynman bile onu “matematiğin en dikkat çekici formülü” olarak adlandırmaktan kendini alamadı.

Euler özdeşliğinde x değerini π olarak alırsak ve biraz da trigonometri bilgisiyle (sin π = 0 ve cos π = -1)  özdeşliğimiz e=-1 haline dönüşür. Jerry P.King’in deyişiyle “Bu eşitliği gören her matematikçi, denklemin iki yanına +1 eklemek ister. Biz de aynı şeyi yaparsak aşağıdaki, yazımızın konusu olan ifadeyi elde ederiz. e+1=0

Bu yalın formül, içerdiği zengin ve yararlı anlam yanında, uygarlıklarımızın yarattığı beş önemli nesneyi yani 0, 1, e, i , π. içerir. Üstelik onlar arasında bağ kurar. Matematiğin görünüşte farklı dallarını son derece basit bir şekilde birbirine bağladığı için de “matematiksel güzelliğin altın standardı” olarak kabul edilir. Daha ne olsun? Gerçekten etkileyici…

Kaynaklar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu