Temel Matematiksel Kavramlar

Euler Formülü Neden En Güzel Formüldür ve Onu Özel Kılan Şey Nedir?

Fizikte hepimizin bildiği Einstein’ın E = mc2, denklemi enerji (E) ve kütlenin (m) gerçekten aynı şeyin farklı biçimleri olduğunu, c sabiti yani ışık hızı ile bağlantılı olduğunu gösterir. Bunun karşılığı matematik için Euler Formülü olarak söylenebilir. Euler formülünün detayına geçmeden önce bir iki kavramı hatırlatmamız gerekiyor.

Trigonometrik fonksiyonlardan olan y=sinx ve ye=cosx bir çember ile ilgilidir. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar olan y=ex ve y=lnx de bir hiperbol ile ilgilidir. Sonucunda da hiperbol ve çember de birbiriyle ilişkilidir. (çünkü her ikisi de koniklerdendir). Öyleyse, üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile trigonometrik fonksiyonlar arasında herhangi bir doğrudan ilişki var mıdır? Böyle bir ilişkinin var olabilmesi için de işin içine karmaşık sayıların girmesi gerekir. 1748 yılında Euler bunun mümkün olabileceğini gösterdi ve aşağıdaki özdeşliği ortaya attı. Buna Euler Özdeşliği denir. 

 e= cosx +isinx

Aslında Roger Cotes yaptığı çalışmalar ile yukarıdaki bağlantıyı 1714 yılında keşfetmişti. Zaman içinde Roger Cotes adı unutuldu. Ancak matematikte yüzlerce denkleme damga vuran Euler’in adı da bu formül ile hafızalara yazıldı. Şimdi gelin bu formülü ve onu özel kılanları yakından inceleyelim. 

leonhard euler
Euler öğleden sonralarını o zamanın önde gelen matematikçisi Johann Bernoulli’den matematik dersleri alarak geçirdi. İlerleyen yıllarda Euler, matematik, geometri ve trigonometride büyük ilerleme kaydetti. Euler, görme yeteneğini kaybettikten sonra bile çalışmalarına devam etti. Bu konu hakkında esprili bir şekilde “Artık daha az dikkat dağıtıcım olacak” dediği bilinir.

Euler Özdeşliğinin İspatı

Düşüncenin güzelliğini açıklayabilmemiz açısından kısaca ispatına da yer vermemiz gerekmektedir. Öncelikle özdeşlikte var olan tüm fonksiyonların tüm x değerleri için geçerli olan kuvvet serileri olarak genişletilebileceğini hatırlayın:

Üstel fonksiyon olan ex, x büyüdükçe sonsuza yaklaştığından ve kosinüs, sinüs fonksiyonları da sonsuza kadar 1 ve −1 arasında gidip gelir. İlk bakışta yukarıdaki fonksiyonlar arasında herhangi bir ilişki yok gibi görünür. Fakat Euler’in 1737’de keşfettiği gibi, işin içine i karmaşık sayısını sokarsak gerçekten de temel bir bağlantı olduğu ortaya çıkıyor. Bunun için, Euler’in gösterdiği gibi x’i, ix ile değiştirmek gerekmektedir. Euler işe ex fonksiyonu ile başladı.

Karmaşık sayılardan i2=-1, i3=-ive i4=1 olduğunu biliyoruz. Bunları yerine yazıp gerekli düzenlemeleri yaptığımız zaman aslında bizi güzel bir sürpriz bekliyor.

Euler özdeşliğini birçok basit ama önemli sonucu vardır. Bunlardan biri de matematiğin en güzel formüllerinden birisi kabul edilen Euler Formülüdür.

Euler Formülü

Bu basit teoreme hayran olan Stanford üniversitesinden bir matematik profesörü, onu “aşkın özünü yakalayan bir Shakespeare sonesiyle ya da insan formunun güzelliğini ortaya çıkaran bir tabloyla karşılaştırdı.” Richard Feynman bile onu “matematiğin en dikkat çekici formülü” olarak adlandırmaktan kendini alamadı.

Euler özdeşliğinde x değerini π olarak alırsak ve biraz da trigonometri bilgisiyle (sin π = 0 ve cos π = -1)  özdeşliğimiz e=-1 haline dönüşür. Jerry P.King’in deyişiyle “Bu eşitliği gören her matematikçi, denklemin iki yanına +1 eklemek ister. Biz de aynı şeyi yaparsak aşağıdaki, yazımızın konusu olan ifadeyi elde ederiz. e+1=0

Bu yalın formül, içerdiği zengin ve yararlı anlam yanında, uygarlıklarımızın yarattığı beş önemli nesneyi yani 0, 1, e, i , π. içerir. Üstelik onlar arasında bağ kurar. Matematiğin görünüşte farklı dallarını son derece basit bir şekilde birbirine bağladığı için de “matematiksel güzelliğin altın standardı” olarak kabul edilir. Daha ne olsun? Gerçekten etkileyici…

Kaynaklar:

  • Robin Wilson; The most beautiful theorem in mathematics; Oxford University Press; 2018
  • Euler’s identity; https://en.wikipedia.org/

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.