Fizikte hepimizin bildiği Einstein’ın E = mc2, denklemi enerji (E) ve kütlenin (m) gerçekten aynı şeyin farklı biçimleri olduğunu, c sabiti yani ışık hızı ile bağlantılı olduğunu gösterir. Bunun karşılığı matematik için Euler Formülü olarak söylenebilir.
Matematikteki birçok şey, muhtemelen tüm zamanların en üretken matematikçisi olan Leonhard Euler’in adını almıştır. Bu yazıda, üstel fonksiyon ve trigonometrik fonksiyonlar arasında güzel bir ilişki ortaya koyan, adını taşıyan bu formülü araştırıyoruz. Bu sayede de karmaşık sayıları üstel bir şekilde nasıl yazabileceğimizi göreceğiz.
Ancak önce neden önemli olduğunu anlamanız lazım. Trigonometrik fonksiyonlardan olan y=sinx ve y=cosx bir çember ile ilgilidir. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar olan y=ex ve y=lnx de bir hiperbol ile ilgilidir. Sonucunda da hiperbol ve çember de birbiriyle ilişkilidir. (çünkü her ikisi de konik şekillerdendir). Öyleyse, üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile trigonometrik fonksiyonlar arasında doğrudan ilişki vardır. Ancak böyle bir ilişkinin var olabilmesi için de işin içine karmaşık sayıların girmesi gerekir. 1748 yılında Euler bunun mümkün olabileceğini bu formül ile bizlere gösterdi. Sonrasında da aşağıdaki özdeşliği ortaya attı. Buna Euler Özdeşliği denir.
eix= cosx +isinx
Aslında Roger Cotes yaptığı çalışmalar ile yukarıdaki bağlantıyı 1714 yılında keşfetmişti. Zaman içinde Roger Cotes adı unutuldu. Ancak matematikte yüzlerce denkleme damga vuran Euler’in adı da hafızalara yazıldı. Şimdi gelin en baştan başlayalım.
Euler Özdeşliğinin İspatı
Her şeyden önce, bir karmaşık sayının x+iy biçiminde olduğunu unutmayın; burada x ve y gerçel sayılardır ve i, -1’in kareköküdür. Düzlemde Kartezyen koordinatları (x,y) olan noktayla karmaşık bir z=x+iy sayısını ilişkilendirebilirsiniz. Bu sayede düzlemdeki bir (x,y) noktası, kutupsal koordinatları ile de tanımlanabilir. Burada r, (x,y) ile (0,0) arasındaki mesafedir. Artık kartezyen koordinatlar ve kutupsal koordinatlar arasındaki ilişki, basit bir trigonometri kullanılarak çözülebilir.
Artık x ve y değerlerini açısal olarak da tanımlayabiliyoruz. Şimdi en başa geri dönelim. Karşılıklarını z=x+iy karmaşık sayımızda yerlerine yazalım. Bu durumda aşağıdaki açılımı elde edeceğiz.
Ancak daha işimiz bitmedi. Düşüncenin güzelliği aslında burada karşımıza çıkıyor. İşin içine şimdi kuvvet serileri karışıyor. Gerekli durumlarda cosinüs, sinüs ve üstel değerler için ani açıklayabilmemiz açısından kısaca ispatına da yer vermemiz gerekmektedir. Öncelikle özdeşlikte var olan tüm fonksiyonların tüm x değerleri için geçerli olan kuvvet serileri olarak genişletilebileceğini hatırlayın:
Ancak bunları yerlerine yazmadan önce bu hesaplamada işimize yarayacak olan bir açılım daha vardı. Bu üstel fonksiyonlar ile alakalıdır. Bu açılımda da işin içine i sayısını karıştırdığınız ve i sayısının i2=-1, i3=-i ve i4=1 biçimindeki kuvvetlerine göre işaretlerde düzenleme yaptığınız zaman da bizi güzel bir sürpriz bekler.
Yukarıda gördüğümüz serinin yakınsak olduğunu biliyoruz. Bu nedenle terimlerin yerlerini değiştirmeye iznimiz var. Aslında yerlerini değiştirmesek bile dikkatli bakarsanız karşımıza sinüs ve kosinüs açılımları çıktığını siz de görebilirsiniz. Bu durumda aşağıdaki sonuca ulaştık.
Euler Formülü Ne İşe Yarar?
Şu ana kadar bulduklarımız size pek bir işe yaramayacak gibi gözükecektir. Ancak aslında pratik de öyle değildir. Karmaşık sayıları çarpmak özellikle zordur. Ancak karmaşık sayıları bu biçimde ifade ettiğiniz zaman çarpma işlemi sayede açıları toplama işlemine dönüşür. Bu da işimizi oldukça kolaylaştırır. Ayrıca Euler özdeşliğini birçok basit ama önemli sonucu vardır. Bunlardan biri de matematiğin en güzel formüllerinden birisi kabul edilen Euler Formülüdür. ( Merak ederseniz: Karmaşık Sayılarda i Üzeri i Kaçtır?)
Euler Formülü Matematiğin En Dikkat Çekici Formülüdür
Euler özdeşliğinde x değerini π olarak alırsak ve biraz da trigonometri bilgisiyle (sin π = 0 ve cos π = -1) özdeşliğimiz eiπ=-1 haline dönüşür. Jerry P.King’in deyişiyle “Bu eşitliği gören her matematikçi, denklemin iki yanına +1 eklemek ister. Biz de aynı şeyi yaparsak aşağıdaki, yazımızın konusu olan ifadeyi elde ederiz. eiπ+1=0
Bu yalın formül, içerdiği zengin ve yararlı anlam yanında, uygarlıklarımızın yarattığı beş önemli nesneyi yani 0, 1, e, i , π. içerir. Üstelik onlar arasında bağ kurar. Matematiğin görünüşte farklı dallarını son derece basit bir şekilde birbirine bağladığı için de “matematiksel güzelliğin altın standardı” olarak kabul edilir. Daha ne olsun? Gerçekten etkileyici.. Başka etkileyici denklemleri incelemek isterseniz: Bilim İnsanlarının Seçtiği En Güzel 10 Denklem
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Robin Wilson; The most beautiful theorem in mathematics; Oxford University Press; 2018
- Euler’s identity; Bağlantı: https://en.wikipedia.org/
- Euler’s formula; Yayınlanma tarihi: 6 temmuz 2021; Bağlantı: https://plus.maths.org/
Matematiksel
