Matematikçilerin Seçtiği En Güzel Denklemler

Bazı matematikçiler bir denklemi yalnızca doğru ya da yararlı olduğu için değil, güzel olduğu için de önemser. Bu güzellik bazen sadelikten, bazen simetriden, bazen de birbirinden uzak görünen fikirleri tek satırda birleştirmesinden doğar.

Ancak burada kullanılan “güzel” sözcüğü yalnızca mecaz olmayabilir. Semir Zeki ve çalışma arkadaşları, 2014 yılında yayımladıkları bir araştırmada matematikçilerin güzel buldukları denklemlere bakarken beyinlerinde ne olduğunu incelemeye çalıştı.

Matematiksel Güzelliği Ölçmek Mümkün mü?

Araştırmaya Londra’daki üniversitelerden lisansüstü ve doktora sonrası düzeyde 16 matematikçi dahil oldu. Daha sonra katılımcılardan biri analiz dışında bırakıldığı için araştırma 15 kişinin sonuçları üzerinden tamamlandı. Katılımcıların yaşları 22 ile 32 arasındaydı.

Araştırmacılar matematikçilere farklı matematik alanlarından 60 ifade gösterdi. Matematikçilere önce her ifadeyi incelemeleri ve puanlamaları söylendi. Yaklaşık iki hafta sonra katılımcılar aynı denklemleri bir fMRI cihazının içinde yeniden gördü. Bu kez her ifadeyi güzel, nötr ya da çirkin olarak sınıflandırdılar.

Tarama tamamlandıktan sonra katılımcılar denklemleri ne ölçüde anladıklarını da 0 ile 3 arasında değerlendirdi. Böylece araştırmacılar, bir denklemi anlamak ile onu güzel bulmak arasındaki ilişkiyi ayrıca inceledi.

Araştırmanın temel sonucu, matematikçilerin güzellik değerlendirmeleri ile beynin medial orbitofrontal korteks adı verilen bölgesindeki etkinlik arasında bir ilişki bulunduğunu gösterdi. Katılımcılar bir denklemi ne kadar güzel buluyorsa bu bölgenin A1 olarak adlandırılan kısmındaki etkinlik de o ölçüde artıyordu.

Bu sonuç önemliydi. Çünkü daha önce yapılan araştırmalarda aynı bölgenin müzik, görsel sanatlar ve ahlaki güzellik deneyimleri sırasında da etkinleştiği görülmüştü. Dolayısıyla matematiksel güzellik, duyularımıza hitap eden güzelliklerle ortak bir iz bırakıyordu.

Araştırmada matematikçilerin bir denklemi anlama düzeyi ile onu güzel bulma derecesi arasında belirgin bir ilişki vardı. Ancak bazı denklemler katılımcılar tarafından çok iyi anlaşılmasına rağmen nötr ya da çirkin olarak değerlendirildi.

En Güzel Bulunan Denklemler Hangileriydi?

Euler özdeşliği 1 + e^iπ = 0

Araştırmada en yüksek puanı alan ifade Euler özdeşliğiydi. Denklem 0, 1, π, e ve i gibi matematiğin beş temel sabitini tek satırda bir araya getirir. Üstel fonksiyonlar, trigonometri ve karmaşık sayılar arasındaki derin ilişkiyi son derece kısa biçimde göstermesi, onun sık sık matematiğin en güzel denklemlerinden biri sayılmasını sağlar.

Pisagor trigonometrik özdeşliği cos²θ + sin²θ = 1

Bu eşitlik, birim çember üzerindeki her noktanın koordinatları arasındaki değişmeyen ilişkiyi gösterir. Açı ne olursa olsun sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı 1’dir. Hem kolayca görselleştirilebilmesi hem de trigonometrinin pek çok sonucuna temel oluşturması nedeniyle güzel bulunmuştur.

Euler formülü e^iθ = cosθ + i sinθ

Euler özdeşliğinin daha genel biçimi olan bu formül, karmaşık üstel fonksiyonlarla sinüs ve kosinüsü birbirine bağlar. Ayrıca karmaşık düzlemdeki dönme hareketini tek bir ifadeyle anlatır. Bu sadelik ve açıklama gücü, formülü hem zarif hem de etkileyici kılar.

Cauchy–Riemann denklemleri

Bu iki denklem, karmaşık bir fonksiyonun türevlenebilir olması için gereken koşulları belirtir. İlk bakışta yalnızca türevler arasında kurulmuş ilişkiler gibi görünseler de karmaşık analizin büyük bölümünün temelinde yer alırlar. Az sayıda sembolle çok geniş bir matematiksel yapıyı belirlemeleri, onları dikkat çekici kılar.

Gauss integrali

Bu integral, çan eğrisinin altında kalan toplam alanı verir. Şaşırtıcı olan, içinde çemberlerle açık bir bağlantı görünmemesine rağmen sonucun √π çıkmasıdır. Gauss integralini güzel kılan da üstel fonksiyonlar, olasılık ve π sayısı arasında kurduğu bu beklenmedik bağdır.

e = lim _n→∞ (1 + 1/n)ⁿ

Bu ifade, doğal logaritmanın tabanı olan $e$e sayısını bir limit yardımıyla tanımlar. $n$n büyüdükçe (1+1/n)ⁿ değeri giderek e’ye yaklaşır. Denklem, sürekli büyüme fikrini son derece kısa bir biçimde ortaya koyar. Faiz hesaplarından nüfus modellerine kadar pek çok yerde karşımıza çıkan $e$e sayısının bu kadar yalın bir limitten doğması, ifadeyi etkileyici kılar.

Nötr Bulunan Denklemler Hangileriydi?

Euler’in çokyüzlü formülü V − E + F = 2

Bu formülde V köşe, E kenar, F ise yüz sayısını gösterir. Küp ve piramit gibi dışbükey çokyüzlülerin biçimleri değişse de bu üç sayı arasındaki ilişki korunur. Örneğin bir küpte 8 köşe, 12 kenar ve 6 yüz vardır. Bu nedenle 8 − 12 + 6 = 2 olur. Formül kısa ve önemli olsa da araştırmada güçlü bir estetik tepki yaratmadı.

Gauss–Bonnet teoremi

Gauss–Bonnet teoremi, bir yüzeyin eğriliği ile topolojik yapısı arasında ilişki kurar. Başka bir deyişle, yüzeyin nasıl büküldüğünü onun genel yapısıyla bağlar. Matematiksel açıdan son derece derin bir sonuç olmasına rağmen katılımcılar bu ifadeyi çoğunlukla nötr değerlendirdi.

Bir küme ile tümleyeninin kesişimi A ∩ Aᶜ = ∅

Bu ifade, bir küme ile onun tümleyeninin ortak elemanı bulunmadığını söyler. Yani bir eleman ya A kümesine aittir ya da A’nın dışındadır. İkisine birden ait olamaz. Araştırmada en fazla nötr oyu alan ifade buydu. Basit, açık ve temel olmasına rağmen katılımcılarda güçlü bir beğeni ya da itici bir etki oluşturmadı.

En Çirkin Bulunan Denklemler Hangileriydi?

Ramanujan’ın 1/π serisi

Araştırmada en çok “çirkin” oyu alan ifade buydu. Buna rağmen formül matematiksel açıdan son derece güçlüdür ve π sayısını çok hızlı hesaplamayı sağlar. Buna rağmen uzunluğu ve karmaşık görünümü nedeniyle katılımcılar beğenmedi.

Riemann’ın fonksiyonel denklemi

Riemann zeta fonksiyonunun farklı değerleri arasındaki ilişkiyi gösteren bu denklem, sayı teorisinde çok önemli bir yere sahiptir. Ancak gamma fonksiyonu, karmaşık üsler ve trigonometrik ifadeler içeren uzun yapısı nedeniyle katılımcılardan düşük puan aldı.

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Bu eşitlik, 1729’un iki pozitif küpün toplamı olarak iki farklı biçimde yazılabilen en küçük sayı olduğunu gösterir. Ramanujan–Hardy sayısı olarak da bilinen 1729’un ilginç bir öyküsü vardır. Ancak ifade, katılımcılarda Euler özdeşliği gibi derin ve birleşik bir yapı izlenimi yaratmamış ve düşük puan alan örnekler arasında yer almıştır.

Sonuç Olarak

Araştırma, bir denklemin yarattığı etkinin yalnızca görünüşüne ya da anlaşılmasına bağlı olmadığını gösteriyor. Matematikçi olmayan katılımcılar simetri, kısalık ve görsel denge nedeniyle bazı ifadeleri daha çekici buldu. Uzmanlar içinse denklemin taşıdığı fikir, farklı alanlar arasında kurduğu bağlantılar ve açıklama gücü daha belirleyiciydi.

Ancak çalışma yalnızca 15 matematikçiye dayanıyordu. Bu nedenle sonuçlar evrensel bir ölçüt sunmuyor.

Ek okuma: Euler Formülü Neden Matematiğin En Güzel Formülüdür?

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• The neuroscience of mathematical beauty, or, Equation beauty contest! Bağlantı: https://aperiodical.com/2014/02/formulae-beauty-contest/
• Zeki S, Romaya JP, Benincasa DM, Atiyah MF. The experience of mathematical beauty and its neural correlates. Front Hum Neurosci. 2014 Feb 13;8:68. doi: 10.3389/fnhum.2014.00068. PMID: 24592230; PMCID: PMC3923150.

Matematiksel