Matematik Öğrenelim

Öklid’in Asal Sayıların Sonsuzluğuna Dair İspatı

İskenderiyeli Öklid, 2000 yıldan fazla bir süre önce yaşamış ve genellikle geometrinin babası olarak anılan bir Yunan matematikçidir. Kaleme aldığı Elementler isimli kitabı şimdiye kadarki en başarılı kitaplardan biridir. Öklid aynı zamanda, sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtlayan ilk kişi olarak bilinir. 2000 yıl sonra bile kullandığı yöntem etkileyicidir.

öklid

Öklid’e göre eğer sonlu sayıda asal sayı içeren bir liste alırsak mutlaka bu listede olmayan başka bir asal sayının var olduğunu gösterebiliriz. Aşağıda Öklid’in asal sayıların sonsuzluğuna dair ispatı kitabında geçtiği şekliyle mevcuttur. İspatı okuduğunuzda Öklid özelinde o dönemin matematikçilerinde geometrik bakış açısının ne kadar baskın olduğunu göreceksiniz.

Günümüzde tamsayıları soyut nesneler olarak anlıyoruz, ancak eski Yunanlılar onları uzunluklar olarak tanımlıyorlardı. 1 sayısı 1 birimlik bir uzunluktu. Diğer sayılarda bu uzunluğun katları kadardı. Yani, 4 bizim için ilk başta bir sayıyken onlar için 4 birimlik uzunluk demekti. 32 sinden biz 9 anlarken onlar bir kenarı 3 birim olan kareyi akıllarına getiriyordu ya da 5×4 den biz 20 anlarken onlar bir kenarı 5 diğer kenarı 4 birim olan dikdörtgeni anlıyorlardı.

Yani matematik onlar için geometri demekti. Ve şu an akıllarında Platon neden akademisine “Geometri bilmeyen giremez” yazdı da matematik yazmadı düşüncesi olanlar için de bu söylediklerim cevap olmuştur kanısındayım. Daha fazlası için bu yazıya göz atabilirsiniz: Platon Akademisi: Geometri Bilmeyenin Giremediği Dünyanın İlk Üniversitesi. Şimdi ispata bakalım:

Öklid’in Asal Sayıların Sonsuzluğu İle İlgili Geometrik İspati

Öklid’in elementler isimli kitabında asal sayıların sonsuzluğuyla alakalı ispatın geçtiği kısım. Antik Yunanlılar da sonsuzluk kavramı tanımlanmış durumda değildi. Bu nedenle Öklid “sonsuz sayıda asal sayı vardır” yazamazdı.

A, B ve C asal sayılarımız olsun. Diyorum ki A, B ve C den daha fazla asal sayı vardır. A,B ve C nin en küçük katı olan ED sayısını alalım ve ona 1 birimlik DF yi ekleyelim. Şu an EF’nin asal olup olmadığını bilmiyoruz. İlk olarak asal kabul edelim. Bu durumda A, B ve C den daha fazla asal sayı bulmuş olduk. Şimdi de diyelim ki EF asal sayı olmasın. O zaman EF bir G asal sayısının katı olmalıdır.

Diyorum ki G A, B ve C den farklı bir asal sayıdır. Eğer olabilirse G A, B ve C den birine eşit olsun. Bu durumda ED A,B ve C’nin katıydı, G bunlardan birine eşit olduğuna göre ED, G’nin de katı olmalı, EF de G’nin katıydı,o halde DF de G nin katı olmalı ki bu da mümkün değil. Bu durumda  G, A, B ve C den farklı bir asal sayıdır. İşte bu yüzden de A, B ve C den daha fazla asal sayı vardır. Q.E.D    

Sonsuz Sayıda Asal Olduğuna Dair ispatın Modern Versiyonlarından Bir Tanesi

Bu sefer Öklid’in orijinal argümanını da modern terminoloji ile verelim. Diyelim asal sayılar sonlu olsun ve bunları p1,…pn olarak adlandıralım. Şimdi, N sayısı bu asalların çarpımının bir fazlası olsun, başka bir deyişle N= ( p1,…pn )+1 biçiminde olsun.

N sayısının p1,…pn asallarının hepsinden farklı olduğu bariz. Ama bütün asalların bunlar olduğunu varsaydık. O zaman N sayısı bileşik sayı olmalı. Demek ki bu asallardan birisi N’yi bölmek zorunda. Öteki taraftan, N’nin  p1,…pn sayılarından herhangi birine bölümünden kalan 1. Öyleyse bu listede olmayan başka asallar olmalı.

Daha da basit şu şekilde dile getirebiliriz. İlk önce en az bir asal sayı içeren sonlu bir asal sayı listemiz olduğunu düşünelim. Bu listedeki tüm asalları çarpalım ve çıkan sayıya 1 ekleyelim. Bu bulduğumuz sayı listemizdeki asalların hepsinden büyük olduğu için kendisi bu listede değil.

Öte yandan elde ettiğimiz bu sayı listemizdeki asalların her birine bölündüğünde daima 1 kalanını verecek. Demek ki bu sayı ya kendisi asaldır ya da listemizde olmayan bir başka asal sayıya bölünür. Yazının devamında göz atmanızı öneririz: Asal Sayılar Nedir? Matematikçiler İçin Neden Bu Kadar Önemlidir?


İleri Okumalar: Euclid’s Proof of the Infinitude of Primes: https://uia.brage.unit.no

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu