Cebirin Atası: El Harezmi

Cebir, algoritma, alkali gibi terimleri düşünün. Bilimin kalbinde yer alan bu kelimeler Arapça kökenlidir. Hristiyanlığın karanlık çağlarını yaşadığı dönemlerde Avrupa’da yaşayan bilim insanları yazıtlarında sıklıkla İslami metinlere atıfta bulunurlar. İslam ile bilimin ilişkisi tarihsel boyutta baktığımızda günümüzde yaşanandan çok farklıydı bir zamanlar.

Bu İslam bilgilerinden en önemli olanlarından ve modern bilime şekil verenlerden biri de bilinen adı Arapça deyişle Al-Harezmi, batılıların değişi ile Al-Khwarizmi ve Türkçe deyişle Harzemli tam adı ile Ebu Abdullah Muhammed Bin Musa el-Harezmi’dir. (780-850)

Khiva, Uzbekistan- Statue of Al-Khwarizmi.

Kendisi Abbasi Döneminin tanınmış matematik, coğrafya ve astronomi uzmanıdır. Onun sayesinde Avrupalı bilginler kullanılmakta oldukları Romen rakamları ile aritmetik yapmanın zorluğunu fark etmiştir çünkü Harezmi onlara aritmetik hesaplamalar yapmanın daha kolay bir yolu olduğunu göstermiştir.

Abbasiler döneminde başlayan “Bilimde Müslümanların Altın Çağı” 750-1258 yılları arasında yaşandı. Halife el-Memun, Bağdat’ta Beyt-ül- Hikmet adlı bir bilimsel akademi, bir rasathane ve bir kütüphaneden oluşan bir yer açmıştı. Bilinen adı ile “Bilgelik Evi”doktorların, hukukçuların, müzikçilerin, şairlerin ve bilim insanlarının bir arada toplandığı bir mekan halini almıştı. Buranın kütüphanesinde en değerli kitaplar toplanıp Arapça’ya çevrildi, tanınmış alimler Bağdat’a davet edildi. Bu yer zamanla dönemin en zengin kütüphanesini, gözlem evini ve çoğunlukla matematik, astronomi ve yer bilimleri ağırlıklı, çeşitli çalışma birimlerini içine alan, çevrenin en yetkin bilim adamlarını toplayan, bir araştırma merkezi ve akademisi oldu.

Harezmi  burada çeşitli matematiksel problemlerin çözümü üzerinde çalışırken, Hintli matematikçilerin yeni bir aritmetik üzerinde çalıştıklarını öğrendi. M.S. 825 tarihlerinde Halife Memun’un izni ile, Hint matematiğini izlemek üzere Hindistan’a gitti ve burada Hintli matematikçi Aryabhatta’nın geliştirdiği bir sayı sistemi ile karşılaştı. Bu yeni sayı sistemini ve aritmetiği bütün yönleri ile inceleyip bilgi yükü ile Bağdat’a döndü.

Harezmi’nin bu dönem matematiği üzerindeki etkisi çok büyüktü, çünkü sadece Hint rakamlarının değerini takdir etmemiş, aynı zamanda bu konuda küçük bir kitap da yazmıştı. Bu kitap ne çok yer gezdi! Arapça olarak, o dönemde İspanya’yı da içine alan Müslüman dünyasını dolaştı. Birkaç yüzyıl sonra, bu kitap muhtemelen, Elementler’i çeviren İngiliz keşiş Adelard tarafından Latince’ye aktarılmıştı. Sonunda bir İtalyan matematikçi Fibonacci Hint-Arap rakamlarını tüm Avrupa’da yaygınlaştıracaktı.

Harezmi’nin cebir kitabından bir kesit

Matematiğin geleceği için talihli bir olay, Aryabhatta ve Harezmi en etkili biçimde yüzyıllar üzerinden el ele tutuştular. Onların düşüncesi dünya üzerindeki her dershanede yankılandı. On tabanlı rakam sistemini geliştirerek ve kullanarak, bu iki matematikçi matematik tarihine devamlılığını koruyan katkıda bulundular. İşte bu nedenle günümüzde kullandığımız rakamlar Hint – Arap rakam sistemi olarak bilinmektedir.

Ancak onun en önemli katkısı bu değildi aslında. Matematik ile uğraşmanın sayılar ile değilde sayıları sembolize eden şekillerle olması gerektiğini düşünüyordu. Bu matematikçileri, problemlerdeki karmaşık sayılara saplanıp kalmadan rahatça çözebilmelerini sağladığı için özgürleştirici bir düşünce biçimiydi.

Harezmi’nin 830’da yazdığı “Cebir ve Eşitlik Üzerine Özet Kitap”  adlı kitabını yazdı.  Avrupalılar “Cebir”(İngilizce Algebra) terimini kitabın adındaki “Cebri” kelimesinden türetti. Harezmi kitabında, ikinci derece denklemlerin çözümünü de geometri ve matematik yöntemleriyle açıklar. Ancak bugün bildiğimizden biraz farklı olarak elbette.

Kısaca onun düşünce mantığını kavramak için bir örnek üzerinden gidelim. Denklemimiz x2+10x=39 olsun.

Bu denklem Harezmi tarafından bu denklemi “Hangi sayının karesi, sayının 10 katı ile toplanırsa 39 eder?” biçiminde ifade edilmekteydi. Çözüm hem geometri yardımı ile hem de sözel bir biçimde açıklanmıştı.

Günümüzde öğrencilere ezberletilen ikinci dereceden denklemin köklerini bulan formül bu anlatım biçiminden türetilmiştir.

Denklemimize dönersek, Burada xterimi kenar uzunluğu x olan bir kareyi temsil eder. Denklemdeki +10x terimi ise kenar uzunluğunun 10 katının, karenin alanına eklendiğini gösterir. Denklemin sağındaki 39 sayısı, karenin alanına kenarın 10 katı eklendikten sonraki toplam alanın değeridir. Diğer bir deyişle, x2 +10x teriminin temsil ettiği yeni alan 39’a eşittir.

Harezmi, alanı 39 olan şekli, kareye tamamlamak ister. Böylece yeni (hayali) karenin kenar uzunluğunu hesaplayabilecektir. Buradaki 10x terimi, bir kenarı x uzunlukta ve diğer kenarın uzunluğu da 10 olan, bir dikdörtgenin alanını temsil eder. Bu alanı 4 eşit parçaya bölüp, kenar uzunluğu x olan orijinal karenin dört tarafına ekler. Bu dikdörtgenlerin bir kenarı x uzunlukta olacağı için, diğer kenar doğal olarak 10/4 veya 5/2 olur.

Yeni şeklin toplam alanı 39’a eşittir. Ancak yeni şekil henüz kare değildir, çünkü köşelerde dört küçük boşluk vardır. Köşelerdeki boşluklar, kenar uzunluğu 5/2 olan karelerdir. Bu nedenle her küçük karenin alanı, 5/2’nin karesine eşittir veya 25/4’tür. Dört küçük karenin toplam alanını bulmak için 25/4’ü 4’le çarpınca 25 çıkar.

Bir önceki yeni şeklin alanı 39 idi, bu alana 25 eklenince 64 çıkar. Buradan da karenin bir kenarını 8 bulur. 8 sayısından iki küçük karenin kenar uzunluğunu çıkartarak, x değerini bulur. Küçük karelerin kenar uzunlukları 5/2 idi. İki küçük karenin kenarlarının toplamı, 2 çarpı 5/2 yani 5’tir. Büyük karenin kenar uzunluğu olan 8’den 5 çıkarılınca x değeri 3 olarak bulunur.

Gördüğünüz gibi ikinci dereceden bir denklemi geometri yardımı ile de çözmek mümkün. Harezmi için cebirin atası diye boşuna anılmıyor elbette…

Sibel Çağlar

Kaynaklar:

N. Kaya KILAN, “BİLİME İKİ TEMEL KURAM VEREN TÜRK KÖKENLİ MATEMATİKÇİ HARZEMLİ (Al-Harezmi, Al-Khowarizmi)”

Prof. Dr. Ural Akbulut, “EL HAREZMİ CEBİRİN ATASIDIR”

BBC Science and Islam Belgeseli

Francesn Benson Stonaker – Meşhur Matematikçiler

Matematiksel


 

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Belirsizliğin Babası: Werner Karl Heisenberg

Gözle görülemeyecek kadar küçük olan dünyanın kanunları, bilinen dünyadan çok daha farklı. Bu dünya, insan …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');