Neden Dört Boyutlu Bir Düğüm Atamazsınız?
Hepimiz üç boyutlu bir uzayda yaşadığımızı biliriz. Peki insanlar dört boyuttan söz ettiğinde aslında neyi kasteder? “Dördüncü boyut” dediğimiz şey daha büyük bir uzay mıdır, yoksa Einstein’ın görelilik kuramıyla popülerleşen “uzay-zaman” fikri midir?
Bu sorunun cevabını ve dördüncü boyutun gerçekte nasıl görünebileceğini merak ettiyseniz, muhtemelen “dört boyutlu küp” çizimleriyle karşılaşmışsınızdır. Ancak bu şekli tam olarak kavramakta zorlanmış olmanız da oldukça doğaldır.
Sonuçta beynimiz, düz bir kâğıt üzerindeki çizimleri iki boyutlu ya da en fazla üç boyutlu olarak yorumlamaya alışkındır. Dört boyutu doğrudan görselleştirmek bizim için neredeyse imkânsızdır.
Tam da bu nedenle dördüncü boyut, yüzyıllar boyunca matematikçileri, fizikçileri, yazarları ve hatta sanatçıları etkilemiştir. Neyse ki onu tam olarak gözümüzde canlandıramasak bile anlayabiliriz.
Boyut nedir?
Bir uzayın boyutu, o uzaydaki bağımsız yönlerin sayısını ifade eder. Bir doğru tek boyutludur; üzerinde yalnızca ileri ya da geri hareket edebiliriz. Ancak bunlar birbirinden bağımsız iki yön değildir, aynı doğrultunun zıt yönleridir. Benzer şekilde, bir ipi ya da halatı da pratikte tek boyutlu düşünebiliriz.
Futbol sahası ya da bir balonun yüzeyi gibi yüzeyler ise iki boyutludur. Böyle bir yüzeyde birbirinden bağımsız iki yön vardır: ileri-geri ve sağ-sol. Bir yüzey üzerinde çapraz hareket etmek de mümkündür. Ancak çapraz yön bağımsız bir yön değildir; çünkü aynı noktaya önce ileri, sonra yana doğru hareket ederek de ulaşabilirsiniz.
İçinde yaşadığımız uzay üç boyutludur. İleri-geri ve sağ-sol hareketlere ek olarak yukarı-aşağı da hareket edebiliriz. Dört boyutlu uzayda ise bunlara bir bağımsız yön daha eklenir. Uzay-zamanın dört boyutlu kabul edilmesinin nedeni de budur: Bu ek boyut zamandır. Zamanda ileri ya da geri hareket etmek de yeni bir yön gibidir.
Daha yüksek boyutları anlamanın en etkili yollarından biri, daha düşük boyutlardan analoji kurmaktır. Bunun iyi bir örneği, farklı boyutlarda küpler çizmektir. “İki boyutlu küp” aslında yalnızca bir karedir. Üç boyutlu bir küp çizmek için iki kare çizer, ardından bu karelerin köşelerini birbirine bağlarız. Böylece küp görünümü elde ederiz.
Aynı mantıkla, dört boyutlu bir küp çizmek için iki üç boyutlu küple başlarız. Sonra bu küplerin karşılıklı köşelerini birbirine bağlarız. Hatta aynı yöntemi sürdürerek beş ya da daha fazla boyutta küpler de çizebilirsiniz. Elbette bunun için büyük bir kâğıda ve oldukça düzenli çizgilere ihtiyacınız olur.
Bu düşünce deneyi, daha yüksek boyutlu bir küpün kaç köşesi ve kaç kenarı olduğunu doğru biçimde belirlememize yardımcı olur. Ancak çoğumuz için onu gerçekten “görmemizi” sağlamaz. Beynimiz bu çizimleri, iki boyutlu ya da en fazla üç boyutlu karmaşık çizgi ağları olarak yorumlar.
Düğüm Nasıl Düğümlenir?
Düz bir yüzey üzerinde yaşayan iki boyutlu karıncalardan oluşan bir koloni düşünün. Bu yüzey bir çizgiyle ikiye ayrılmış olsun. Karıncalar yalnızca yüzey üzerinde hareket edebildiği için bu çizgiyi geçemezler. Onlar için çizgi, aşılmaz bir engel gibidir. Hatta çizginin öteki tarafında başka bir alan olduğunu bile bilmezler.
Fakat bir gün bu karıncalardan biri ve onun yaşadığı dünya üç boyutlu hâle gelirse, durum tamamen değişir. Artık karınca yalnızca sağa-sola ya da ileri-geri değil, yukarı-aşağı yönde de hareket ede. Bu yeni dikey yön sayesinde çizginin üzerinden kolayca geçmesi mümkündür. Bunun için yalnızca üçüncü boyutta çok küçük bir hareket yapması yeterlidir.
Şimdi aynı fikri üç boyuta taşıyalım. Düz bir yüzeydeki karınca ve çizgi yerine, üç boyutlu uzayda duran yatay ve dikey iki ip parçası düşünün. Bu ipler zıt yönlere doğru çekildiğinde birbirlerine takılır.
Ama uzay dört boyutlu olsaydı, yatay ip parçasının yeni, dördüncü yönde çok az hareket etmesi yeterli olurdu. Böylece diğer ipten tamamen uzaklaşabilir ve ona takılmadan hareket edebilirdi.
Dört Boyutta Düğüm Mümkün mü?
Dört boyutu bir film gibi düşünebiliriz. Bu benzetmede ip parçaları, filmin tek bir üç boyutlu karesinde bulunur. Eğer yatay ip parçası dördüncü yönde çok az hareket ederek bir sonraki kareye geçerse, o karede artık dikey ip parçası bulunmaz. Böylece yatay ip, dikey ipe takılmadan onun diğer tarafına geçebilir ve sonra tekrar eski karesine dönebilir.
Peki, daha yüksek boyutlarda bir ipe düğüm atmak imkansız mı? Evet: bir ipe atılan her düğüm çözülecektir. Ama bu, her şeyin bittiği anlamına gelmez. Dört boyutlu uzayda iki boyutlu yüzeyleri düğümleyebilirsiniz.
Düğümlerin hangi durumlarda düğümlü kalabileceğini belirleyen matematiksel bir formül vardır: Düğümlemek istediğiniz nesnenin boyutunu alın, ikiyle çarpın ve bir ekleyin. Bu formüle göre çıkan sayı, düğümlemenin mümkün olduğu en yüksek uzay boyutunu verir.
Bu nedenle bir ip, yani tek boyutlu bir nesne, en fazla üç boyutta, iki boyutlu bir balon yüzeyi ise en fazla beş boyutta düğümlenebilir.
Sonuç Olarak
Dört boyutlu uzayda düğümlenmiş yüzeyleri incelemek, günümüzde matematiğin canlı araştırma alanlarından biridir. Bu çalışmalar, hâlâ tam olarak anlaşılamayan dört boyutlu uzayın karmaşık yapısına dair önemli matematiksel ipuçları sunar.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Why you can’t tie knots in four dimensions. Kaynak site: Conversation. yayınlanma tarihi: Bağlantı:
https://doi.org/10.64628/AA.55xkvpqjq - Ione, Amy. (2007). Shadows of Reality: The Fourth Dimension in Relativity, Cubism, and Modern Thought by Tony Robbin. Leonardo. 40. 310-311. 10.1162/leon.2007.40.3.310.
Matematiksel
