Normalde bir cismi döndürmek veya ötelemek, hatta parçalamak o cismin toplam hacmini değiştirmez. Bunlar bizim geometriyle ilgili temel sezgilerimizdir. Ancak Banach-Tarski Paradoksu bu sezgilerimize meydan okur.
İki arkadaşın ormanda yürüyüş yaptığını hayal edin. Acıkırlar ve bir elmayı paylaşmaya karar verirler, ancak yarım elma onlara yetersiz gelir. Bunun üzerine içlerinden biri, matematikteki tuhaf bir fikri hatırlar. Bu fikir, sonsuzlukla ilgili bir matematik teoremine dayanır. En azından ilke olarak, bir elmayı iki elmaya dönüştürmeyi mümkün kılar. Bu argümana Banach-Tarski paradoksu denir.
Banach-Tarski paradoksu nedir?
Banach-Tarski paradoksu, sonlu hacme sahip bir uzay küresinin sonlu sayıda parçaya bölünebileceğini ve bu parçaların yeniden birleştirilerek başlangıçtaki küreyle özdeş iki küre oluşturabileceğini söyler. Yani küçük bir misketi, teorik olarak bir tenis topu büyüklüğünde yeniden düzenlemek mümkündür. Hatta yarıçapı başlangıçtaki yarıçapın iki katı olan bir küreye dönüştürmek de olasıdır.
Her iki durumda da kesilen parçalar ne esnetilir ne de herhangi bir biçimde deforme edilir. Bu durum da mantıksal bir sorun ortaya çıkarır. Biliyoruz ki, günlük hayatta bir kürenin parçalarını kesip yerlerini değiştirmek hacmi değiştirmez. Her durumda, başlangıçtaki hacmin son hacme eşit olması gerekir.
Bu işlem fiziksel dünyada mümkün olsaydı, bir altın küreden iki özdeş altın küre yapabilir, sonra aynı işlemi tekrar ederek sonsuz bir servet elde edebilirdik. Sağduyu bunun imkânsız olduğunu hemen söyler. Zaten paradoksun gücü de buradan gelir.
Banach-Tarski, fiziksel nesnelerle değil, sonsuz nokta kümeleriyle ilgilidir. Bu yüzden sonuç matematiksel olarak mümkündür; ama gerçek dünyada uygulanabilir bir kesme-biçme işlemi değildir.
Peki matematik böyle bir sonuca nasıl izin verir? Yanıt, kümeler kuramının en tartışmalı ilkelerinden biri olan seçim aksiyomunda saklıdır.
Seçim Aksiyomu Nedir?
Bir E kümesi düşünelim. Bu kümenin boş olmayan tüm alt kümelerinden birer eleman seçmek istiyoruz. Böyle bir seçim yapabilen fonksiyona seçim fonksiyonu denir. Sonlu kümelerde bu fikir oldukça basittir. Örneğin E = {1, 2, 3, 4, 5} olsun.
Bu kümenin her alt kümesinden bir eleman seçmek istersek, her zaman o alt kümenin en küçük elemanını seçebiliriz. Benzer biçimde, elemanlarını sıralayabildiğimiz sonlu ya da sayılabilir kümelerde de böyle bir seçim kuralı kurabiliriz.
Bu düşünce iyi sıralanmış kümelerde de işe yarar. İyi sıralanmış bir kümede, boş olmayan her alt kümenin en küçük bir elemanı vardır. Böylece her alt kümeden en küçük elemanı seçebiliriz. Ancak alışık olduğumuz birçok sıralama bu kadar elverişli değildir. Bu yüzden herhangi bir küme için mutlaka bir seçim fonksiyonu vardır demek hiç de açık değildir.
Ernst Zermelo, bu güçlüğü aşmak için 1904’te kümeler kuramına seçim aksiyomunu ekledi. Bu aksiyom kısaca şunu söyler: Her küme bir seçim fonksiyonuna sahiptir.
Matematikçiler bu aksiyomu kullanır, çünkü birçok önemli ispatı kolaylaştırır ve doğal görünen pek çok sonuca ulaşmayı sağlar. Fakat seçim aksiyomu bazen sağduyuya aykırı sonuçlar da doğurur. Banach-Tarski paradoksu bunun en ünlü örneklerinden biridir.
Stefan Banach ve Alfred Tarski, 1924’te bu aksiyomun yardımıyla çok şaşırtıcı bir sonuç elde etti: Bir küreyi belirli parçalara ayırıp bu parçaları yeniden birleştirerek, başlangıçtaki küreyle aynı büyüklükte iki küre elde etmek mümkündür.
Bu paradoks, seçim aksiyomuna neden bazı matematikçilerin temkinli yaklaştığını gösterir. Yine de çoğu matematikçi onu kullanmayı sürdürür. Çünkü seçim aksiyomu garip sonuçlara yol açsa da matematiğin pek çok alanında son derece güçlü ve kullanışlı bir araçtır.
Banach-Tarski paradoksunda asıl mesele, küreyi günlük hayatta bildiğimiz gibi bıçakla kesmek değildir. Burada yapılan şey, kürenin üzerindeki noktaları çok özel ve karmaşık kümelere ayırmaktır. Bu kümeler fiziksel parçalar gibi davranmaz. Bu yüzden hacim kavramı da alıştığımız biçimde işlemez.
Banach-Tarski paradoksu neden ortaya çıkıyor?
Fikri kabaca şöyle düşünebiliriz. Kürenin üzerinde bir başlangıç noktası seçelim. Sonra iki farklı döndürme açısı belirleyelim. Bu açılar kesirli biçimde yazılamayan, yani irrasyonel değerler olsun. Açılardan biri kuzey-güney yönündeki döndürmeler için, diğeri doğu-batı yönündeki döndürmeler için kullanılacaktır.
Şimdi küreyi bu açılardan biriyle döndürelim. Başladığımız noktadan yeni bir noktaya ulaşırız. Sonra aynı işlemi tekrar ederiz. Tek kural şudur: Az önce geldiğimiz yönün tam tersine hemen geri dönemeyiz.
Bu işlemi sonsuza kadar sürdürdüğümüzde, başlangıç noktasından türeyen sonsuz sayıda nokta elde ederiz. Böylece kürenin üzerinde, sıradan geometrik parçalara benzemeyen özel bir nokta kümesi oluşur.
Aynı işlemi kürenin üzerindeki başka bir başlangıç noktasıyla tekrar ettiğimizi düşünelim. Her başlangıç noktası, kendi sonsuz nokta kümesini üretir. Böylece küre üzerinde sayılamaz sonsuz sayıda farklı küme elde ederiz.
Bu aşamada noktaları, her noktanın o noktaya ulaşmadan önceki son hareketine bakarak gruplayalaım. Bu durumda kuzey, güney, doğu, batı rupları olur. Ayrıca kürenin merkezi, kutup noktaları ve başlangıç noktaları için ayrı gruplar oluşturulur.
Bu grupları doğrudan birleştirirsek yine yalnızca tek bir küre elde ederiz. İki küreye ulaşmak için grupların bazılarını döndürmek gerekir. Şimdi bu grubun tamamını batıya doğru döndürelim. Böyle yaptığımızda, bu noktaları oluşturan son doğu dönüşünü geri almış oluruz.
Ancak sonsuzluk burada şaşırtıcı bir sonuç doğurur. Döndürdüğümüz grup yalnızca eski hâline dönmez; kuzey, güney ve yine doğu yönünde biten pek çok noktayı da içine alır. Sonra bu işlemi, diğer gruplar için de yapalım.
Geriye yalnızca merkez ve kutup noktaları kalır. Bunlar da Hilbert’in sonsuz otel düşünce deneyine benzeyen bir fikirle tamamlanır. Sonsuz sayıda odası olan bir otelde bir oda boşaldığında, konukları birer oda kaydırarak boşluğu doldurabiliriz. Sonsuzluk sayesinde bu kaydırma yeni bir boşluk yaratmaz.
Benzer biçimde, kürede eksik kalan özel noktalar da sonsuz diziler üzerinde yapılan kaydırmalarla tamamlanır. Sonunda bütün gruplar iki küreyi oluşturacak biçimde yeniden düzenlenir.
Sonuç Olarak
Banach-Tarski paradoksu bize fiziksel dünyayı değil, matematiğin sınırlarını gösterir. Matematik her zaman gündelik sezgilerimize uymak zorunda değildir. Bazen kendi kuralları içinde tutarlı kalarak, imkânsız sandığımız kapıları aralar.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Wahlberg, Mats. (2022). The Banach-Tarski Paradox. 10.48550/arXiv.2206.13512.
- Banach-Tarski and the Paradox of Infinite Cloning; Yayınlanma tarihi: 25 Ağustos 2021. Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: Banach-Tarski and the Paradox of Infinite Cloning
Matematiksel
