1931’de Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel, modern zamanların en büyük entelektüel başarılarından biri olarak kabul edilen eksiklik teoremini yayınladı. Eksiklik Teoremi, tüm matematiği, bir dizi aksiyom ve mantık kurallarına dayanan biçimsel bir sistem açısından ifade etme rüyasının başarısız olmaya mahkum olduğunu belirtir.
Sonuç, matematik camiasında büyük bir şok oldu. Uzun bir süre boyunca, matematiğin “tam” olduğu, yani tüm matematiksel ifadelerin kanıtlanabilir veya çürütülebilir olduğu varsayılmıştı. 25 yaşındaki Gödel, kanıtlanamayan doğru bir önerme kurarak bunun yanlış olduğunu matematikçilere gösterdi. Matematiğin sınırları olduğunu açıkladı.
Eksiklik teoremi matematikçilerin, matematiğin temellerini incelemesine neden oldu. Ayrıca tüm biçimlendirilmiş sistemlerin başarabilecekleri konusunda bazı sınırlamaları olduğunu gösterdiği için bilgisayar bilimi için de önemli bir sonuç haline gelecekti. Detaylar için: Turing Makinesi Nedir? Bu Makinenin Durma Sorunu Neden Çözülemez?
Kanıtın teknik detaylarını anlamak zordur. Ancak yine de bu yazımızda kısaca aktarmaya çalışmıştık: Kurt Gödel ve Eksiklik Teoremi: Cevabı Olmayan Sorular Her Zaman Vardır. Ancak Amerikalı mantıkçı Raymond Smullyan (1919-2017), doğru söyleyenler ve yalancılar hakkında basit mantık bulmacaları kullanarak eksiklik teoreminin ana fikrini iletmenin harika bir yolunu bulmuştu. Biz de onun yolundan gidelim ve size bir mantık bulmacası soralım.
Gödel’in Mantık Bulmacasını Çözebilir misiniz?
Okyanusun ortasında Iff adası vardır. Burada doğan insanlar iki kabileden birine aittir: Alethians ve Pseudians. Bir Alethian’ı bir Pseudian’dan ayırmanın tek yolu ise onlarla konuşmaktır. Alethianlar ne söylerlerse söylesinler her zaman doğruyu söylerler. Pseudian’lu kişiler, ne söylerlerse söylesinler her zaman yalan söyleyeceklerdir.
Adanın merkezinde yaşayan Alethianların Efendisi, adada doğan herkesin kabilesiyle birlikte adlarını listeleyen bir kitap olan Kimlik Defterini tutar. Kimlik Defterindeki bilgiler doğrudur. Ayrıca bu bilgiler herkese açıktır. Bir gün cesur bir kaşif Iff adasına gelir. Adayı keşif esnasında ada sakinlerle karşılaşır. Sonrasında onlara zekice sorular sorarak onları Alethians ve Pseudians olarak tanımlar.
Bu tür birkaç başarılı karşılaşmadan sonra Kurt adında bir adamla tanışır. Ancak bu adam kendisine meydan okuyacaktır. Daha kaşif sorusunu sormadan şu cümleyi söyler. “Benim bir Alethian olduğumu doğrulayan somut kanıtınız asla olmayacak”
1. Sizce Kurt Alethian mı, Pseudian mı? Yoksa her ikisi de değil mi?
2. Bunun Gödel’in eksiklik teoremi ile nasıl bir ilişkisi var?
Mantık Bulmacasının Cevabı
Öncelikle birinci sorunun cevabını verelim. Doğru cevap her ikisi de değil biçiminde olmalıydı. Eğer o bir Pseudian ise, “Benim bir Alethian olduğumu doğrulayan somut kanıtınız asla olmayacak” ifadesi doğrudur. Ama Pseudianlar asla gerçeği söylemez, bu yüzden Kurt Pseudian olamaz. Eğer o bir Alethian ise, o zaman söylediği her şey ve dolayısıyla “Benim bir Alethian olduğumu doğrulayan somut kanıtınız asla olmayacak” ifadesi de doğru olmalıdır.
Ancak sonucunda bunun da yanlış olduğunu biliyoruz. Sonucunda kaşif istediği zaman herkesin kimliğinin yazılı olduğu deftere bakıp, onun gerçekte kim olduğunu öğrenebilir. Bu durumda Kurt Alethian de değildir. Olası en mantıklı açıklama Kurt isimli adamın Iff adasında doğmamış olmasıdır.
Bu Bulmacanın Gödel’in Eksiklik Teoremi İle Nasıl Bir İlişkisi Var?
Gödel’in eksiklik teoremi, doğru olan ancak resmi olarak kanıtlanamayan matematiksel ifadeler olduğunu belirtir. Bu bulmaca aslında bizi benzer bir sonuca götürür. Örneğin, kaşifin adaya ayak basan ve orada doğmamış ilk kişi olduğunu varsayalım. Bu durumda herkes ya Alethian ya da Pseudian’dır ve kaşif bu gerçeği isterse bilir. Ancak bu süreçte kayıt defterinin bir biçimde yandığını düşünelim.
Önceki argümanımıza göre, Pseudianlar asla gerçeği söylemez, bu yüzden Kurt Pseudian olamaz. Bu durumda Kurt bir Alethian olmalıdır ve bu nedenle, ifadesi de doğrudur. Sonucunda defter de yandığı için kaşif hiçbir zaman kendisinin bir Alethian olduğuna dair somut bir kanıta sahip olmayacaktır.
Yani Kurt’un sözü doğru ama doğruluğuna dair somut bir kanıt yoktur. Bu durum tam da Gödel’in eksiklik teoreminin ispatının temelini oluşturan kendine gönderme yapan ifade türüdür. Matematikte ‘Bu cümle kanıtlanamaz’ ifadesi hem doğrudur hem de biçimsel olarak kanıtlanamaz. Matematik dünyası, kayıt defteri yanmış Iff adasına benzer. Matematiğin gerçeğe aracısız erişimi yoktur, bu da hem doğru hem de kanıtlanamaz ifadelerin varlığına yol açar.
Kaynak ve ileri okumalar: Can you solve it? Gödel’s incompleteness theorem. Yayınlanma tarihi: 10 Haziran 2022; Bağlantı: https://www.theguardian.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
