Yoksa Sınav Hiç Olmayacak mı? Sürpriz Sınav Paradoksu

Bir üniversitede görev yapan bir profesör size bir sonraki hafta sürpriz bir sınav olacağını, buna göre hazırlıklı gelmeniz gerektiğini, söylediği zaman muhtemel oturup çalışmaya başlarsınız. Ancak, kusursuz bir akıl yürütme, böyle bir sınavın olamayacağı sonucuna varmanıza neden olacaktır.

İnternette farklı isimler ile karşımıza çıkan Sürpriz Sınav Paradoksu ( The Surprise Quiz Paradox) ilk olarak 1948’lerde ortaya çıkmış gibi gözüküyor. Ancak ilk olarak kim tarafından yazıldığı bilinmiyor. Bu paradoks o tarihten beri felsefecileri, matematikçileri ve mantıkçıları uğraştırmaya devam ediyor. Paradoksa herkesin hemfikir olduğu ortak bir çözüm ise henüz bulunamadı. Kısaca senaryoyu kafanızda oluşturmanızı sağlayalım.

Sürpriz Sınav Paradoksu Nedir?

Paradoksun iki temel özelliği, sınavın duyurulması ve bir “son gün”ün var olmasıdır.

Senaryo genelde şu şekilde aktarılmaktadır. “Bir öğretmen haftanın beş günü derse girdiği bir sınıfta öğrencilerine önlerindeki hafta sürpriz bir sınav olacağı duyurusunu yapar. Ayrıca öğrencilerin sınavdan önce sınavın o gün olacağını asla edemeyeceklerini bu nedenle hafta sonu iyi ders çalışmaları gerektiğini söyler. Öğrenciler eve gider ve sınavın ne zaman yapılacağını anlamaya çalışır.

Bir öğrenci “Cuma günü sınav olamaz” sonucuna varır. “Çünkü eğer Cuma günü sınav olursa Perşembe günü olan dersin sonunda sınavın Cuma olacağını anlardık. Bu durumda sürpriz olmazdı. Yani sınav Cuma günü yapılamaz. “.

Aynı nedenle Perşembe de yapılamaz der bir başka öğrenci. Çünkü Cuma günü elendiğine göre Perşembe’ye kadar sınav yapılmamışsa öğrenciler sınavın o gün yapılacağına kesin gözüyle bakacaklardır. Bu da Perşembe günü olan sınavın sürpriz olmaması anlamına gelir. O halde sınav Perşembe’den önce yapılmalıdır.

“Benzer bir mantıkla, Çarşamba’yı, ardından Salı’yı ve ardından Pazartesi gününü de öğrenciler elerler. (Salı gününü eledikten sonra, Pazartesi günü olması gerektiği sonucuna varacaklarını düşünebilirsiniz. Ancak eğer Pazartesi mümkün olan tek günse, o zaman Pazartesi aynı biçimde sürpriz olmaz.) Sonucunda öğrenciler bu sınavın hiç yapılamayacağına karar verirler ve hafta sonunda defterin kapağını açmazlar. Ertesi hafta, öğretmen Çarşamba günü bir sınav yapar. Herkes şaşırır ve sonuç hüsrandır.

Sorun Nerede?

Aslında iki sorun var. Birincisi, sürpriz bir sınavın verilemeyeceğine dair ilk sonuç mantıksızdır. Bunun mantıksızlığını aynı akıl yürütmeyi daha uzun bir zaman diliminde düşünürsek hatalı olduğunu anlarız. Örneğin öğretmen senenin en başında dönem içinde sürpriz bir sınav yapılacağını söyleseydi, aynı akıl yürütmeyle bu sınavın yapılamayacağı sonucuna varırdık. Ancak hepimiz dönem içinde bunun olduğunu biliyoruz.

İkincisi, çelişkili sonuçlar çıkar. Sürpriz sınavın herhangi bir günde verilemeyeceği sonucuna varılırsa, sonuçta öğrenci herhangi bir gün sınav olduğunda şaşıracaktır. Bu, hangi gün verilirse verilsin zaten sürpriz sınav olacağı anlamına gelir. Sonuçta öğretmenin “çıkarın kağıtları, yazılısınız,” demesi her zaman sürprizdir. Akıl yürütme kendini yener.

Epistemik paradokslar, bilgi kavramına odaklanan bilmecelerdir. Sürpriz sınav paradoksu bunlardan birisidir. Spesifik olarak, bir test, ancak ve ancak öğrenci, testin hangi gün yapılacağını önceden bilemiyorsa sürprizdir. Bu nedenle sürpriz sınav bilmecesi epistemik bir paradoks olarak nitelendirilir. Bu paradoksun evrensel olarak kabul edilmiş bir cevabı bulunmamaktadır.

Bir Benzeri: Beklenmedik İdam Paradoksu

Aslında bu soru Beklenmedik İdam Paradoksu ( The Unexpected Hanging Paradox) olarak çevirebileceğimiz paradoks ile aynıdır. Diğer paradoks şu biçimdedir. Bir adam asılarak idam edilmeye mahkum olur. Onu mahkum eden sözün eri olmasıyla bilinen yargıç idamın öğlen vakti yapılacağını söyler ve ekler:

“Önümüzdeki haftanın yedi gününden birinde idam gerçekleşecek ama sen idam edileceğin günün sabahına kadar, hangi gün asılacağını bilmeyeceksin.” Mahkum hükmü dinledikten sonra avukatıyla birlikte hücresine döner. Ve sürpriz sınav paradoksunda açıkladığımız akıl yürütme ile bu idamın hiçbir zaman gerçekleşemeyeceği kararını verir. Ancak Çarşamba öğlen saatinde idam gerçekleşir.

Bu paradokslar üzerine yüze yakın makale yayınlanmış olmasına rağmen, doğru çözümün ne olduğu konusunda hala bir fikir birliği yoktur. Sorunun üstesinden gelmek için genel olarak mantıksal ve epistemolojik yaklaşım kullanılır. (episteme, Yunanca bilgi anlamına gelir). Ancak mantıksal yaklaşım şaşırtıcı olma özelliğini dikkate almaz. Hatalı mantığın ortaya çıkması için argümanı resmileştirmeye çalışır. Epistemolojik yaklaşım ise bilmenin ne olduğu etrafındaki sorulara odaklanır.

Bu paradokslara bunların dışında daha pek çok yaklaşım biçimi mevcuttur. Paradokslar bu nedenle, matematikçileri ve filozofları ayırmaya devam etmektedir. Paradokslar bazen düşünce biçimimizi sorgulamamıza ve gelecek hakkında hatalı yargılara varabileceğimize dikkat çeker.

Bu iki paradoks bu anlamda güzel örneklerdir. Platon’un Sokrates’i konu alan diyaloglarında açıkça görüldüğü gibi, epistemik paradokslar yirmi beş yüz yıldır tartışılmaktadır. Dayanıklılıkları göz önüne alındığında, bilgi hakkındaki bu bilmecelerden bazıları önümüzdeki yirmi beş yüz yıl boyunca tartışılacaktır.


Göz Atmak İsterseniz


Kaynaklar ve İleri Okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz