Parabol İle Çarpma Yapmak Ve Asal Sayıları Bulmak Mümkün

Son iki bin yılda, parabol Arşimet, Galileo ve daha pek çok matematikçi için bir çalışma konusu olmuştur. Gerçekten de bu matematikçiler haklı. Çünkü parabollerin birkaç ilginç özelliği vardır. Örneğin bir parabolün grafiği çarpma ve asal sayıları bulmak için kullanılabilir.

Öncelikle temel bilgileri anımsayalım. İkinci dereceden y = ax2 + bx + c fonksiyonunun bir grafiği, parabol adı verilen U şeklinde bir eğri oluşturur. Bu ikinci dereceden denklemin gerçek (sanal olmayan) çözümleri mevcut ise bunlar parabolün x eksenini kestiği noktalar olur.

Tüm paraboller x eksenini iki ayrı yerde kesmez. Parabol x eksenini yalnızca bir kez keserse bu çakışan köklerin olduğu yani iki kökün birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Bu durumu temsil eden en basit denklem y=x2 biçimindedir. Parabol x eksenine temas etmez ise gerçek kökler yoktur. Şimdi çarpma işlemini nasıl yapabileceğimize bakabiliriz.

Parabol İle Çarpma İşlemi Nasıl Yapılır?

İşe öncelikle y=x² parabolünün grafiğini çizerek başlayalım. Parabol üzerindeki herhangi iki noktayı birbirine bağlamak için yapılması gereken şey aralarında bir çizgi çizmek olacaktır. Bir örneği aşağıda görebilirsiniz.

Genel olarak aşağıdaki şekilde de gördüğünüz AB doğru parçasının y-eksenini kestiği yer a.b biçiminde olacaktır. ( Yalnız dikkat ediniz a’yı solda b’yı sağda alıyoruz.) Çeşitli denemeler yapmak için  GeoGebra uygulamasını deneyebilirsiniz. Uygulama için buraya tıklayınız.

parabol

İSPAT: y=x2 bir parabol, –a ve bx ekseni üzerinde alınan noktalar olsun. A=(-a, a2) ve B=(b,b2) olduğu açıktır. Şimdi AB doğrusunun denklemini yazalım. Bunun için iki noktası bilinen doğrunun denklemi formülünden yararlanıyoruz. Burada: x1=b , y1=b2 , x2=-a ve y2=a2 aldığımızı söyleyelim. Bu durumda AB’nin denklemi şu biçimde olacaktır.

Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa y-b2=-(a-b)(x-b) buluruz. AB ile y ekseninin kesim noktasını bulmak için AB’nin denkleminde x=0 yazmamız gerekiyor. Bu durumda y-b2=-(a-b)(0-b) elde ederiz. Bunu biraz daha düzenlersek, y-b2=(a-b).b olacaktır. Bu da y-b2=ab-b2 biçiminde yazılabilir. Sadeleştirmelerden sonra da geriye y=ab kalacaktır. Bu da zaten varmak istediğimiz sonuçtur.

Parabol İle Asal Sayıları Bulmanız da Mümkündür

Bu görsel Rusya Bilimler Akademisi Steklov Matematik Enstitüsü’nde çalışan matematikçiler Yuri Matiyasevich ve 
Boris Stechkin tarafından tasarlandı.

Az önce gördüğümüz teknikle, çarpma yapmayı öğrenmek aslında işin ilk adımı. Aslında parabol ile çarpmaya benzer bir teknikle asal sayıları bulmanız da mümkündür. Yukarıdaki grafik bir parabolün yan dönmüş halidir. Yani aslında x değeri ile y değeri yer değiştirmiştir. Bu biçimde bakıldığında asal sayıları fark etmek daha kolaydır.

Aslında yukarıdaki şekle dikkatli bakarsanız parabol ile asal sayıların ilişkisini kolayca fark edeceksiniz. Gördüğünüz gibi x ekseni üzerinde tüm tamsayılar bulunuyor. Ancak bazılarından çizgi ya da çizgiler geçerken bazıları açıkta kalmış durumda. İşte bu açıkta kalan sayılar asal sayılardır. Şimdi bunun nasıl mümkün olduğunu anlamaya çalışalım.

Bu Yöntem Neden İşe Yarıyor?

Öncelikle x ve y eksenlerini çiziyoruz. Sonrasında da x=y2 eğrisini çiziyoruz. Gördüğünüz gibi bir parabol elde ettik. Şimdi parabol üzerinde (4,2) noktasını 2; (9,3) noktasını 3; ( 16,4) noktasını 4 olarak işaretleyelim ve bu biçimde devam edelim. 2’den büyük bütün (m2,m) noktaları y ekseninin üst kısmında yer alsın. Sonra y ekseninin alt kısmında da (n2,-n) noktalarını aynı mantıkla işaretleyelim.

Şimdi (4,2) noktasını alalım ve alt kısımdaki tüm noktalar ile düz bir çizgi ile birleştirelim. Sonrasında da aynısını (4, -2) için yapalım. Sonrasında da aynı uygulamayı (9,3) ve (9,-3) ve diğer tüm noktalar için yapalım. Sonuçta parabolünüz aşağıdaki gibi olacaktır. Biz diyagramı oluştururken asal sayıların sırası ise gözlerimizin önünde belirecektir.

Parabol İle Asal Sayıları Bulma Aslında Parabol İle Çarpma Sonucudur

Aslında yukarıdaki adımları takip ederek kendi çiziminizi yaparsanız kolayca fark edeceğiniz gibi, x ekseni üzerinde üstünden çizgi ya da çizgiler geçen sayılar, referans aldığımız sayıların çarpımıdır. Bunun da nedenini yukarıda açıklamıştık. Bu durumda açıkta kalan sayılar da iki tamsayının çarpımından oluşmamaktadır. Bu da o sayıların asal olduğu anlamına gelecektir.


Ayrıca göz atmak isterseniz:


Kaynaklar ve İleri Okumalar İçin:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

SİNAN İPEK

Yazar, çizer, düşünür, öğrenir ve öğretmeye çalışır. Temel ilgi alanı Bilimkurgu yazarlığıdır. Bunun dışında Matematik, bilim, teknoloji, Astronomi, Fizik, Suluboya Resim, sanat, Edebiyat gibi konulara ilgisi vardır. Ara sıra sentezlediklerini yazı halinde evrene yollar. ODTÜ Matematik Bölümü mezunudur ve aşağıdaki başarılarıyla gurur duyar:TBD Bilimkurgu Öykü yarışmasında iki kez birincilik, 2. Engelliler Öykü yarışmasında birincilik, Ya Sonra Öykü Yarışması'nda finalist, Mimarlık Öyküleri Yarışması'nda finalist, 44. Antalya Altın Portakal Belgesel Film Yarışmasında finalist. Ithaki yayınları Pangea serisinin 5. üyesi "Beyin Kırıcı" adlı bir romanı var. https://www.ilknokta.com/sinan-ipek/beyin-kirici.htm

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz