Sorun Çıkartan Görünürde Küçük Matematik Hataları

Hesaplamaları yaparken, bir problem çözerken hepimiz matematik hataları yaparız. Buna bir çözüm olarak da elektronik hesap makineleri hassastır ve asla hata yapmazlar diye düşünürüz. Ancak, bu düşüncemizin hatalı olabileceğini genelde bilmeyiz. Bunun nedeni belki de gözlemleme şansımız olmadığı içindir. Şimdi bir örnek ile bunun nasıl mümkün olduğuna bir göz atalım. Bunun için bir hesap makinesine ihtiyacınız var. İki işlem kullanacaksınız. Kare alma ve kök alma.

Şimdi şu prosedürü izleyin: 10 rakamına, ardından karekök düğmesine ve ardından kare düğmesine basın. Bu iki işlem birbirinin tersi olduğu için ekranda 10 rakamının belirmesi fazla şaşırtıcı bir sonuç değil. Şimdi şunu deneyin: 10 rakamına basın, ardından karekök düğmesine 25 kez ve kare düğmesine 25 kez basın. Beklenen sonuç yine 10 olmalıdır, ancak ekran 9.9999997 gibi bir şey görüyor olmanız muhtemeldir.

25 denemeden sonra elde ettiğimiz sonuç. Deneme için bu hesap makinesini de kullanabilirsiniz: https://www.online-calculator.com/

Normalde, bu oldukça küçük bir sapma ama bir gariplik olduğunu fark etmeniz lazım. Eğer sıkılmadıysanız bu sefer 28 defa aynı şeyi deneyin. Gerçek sayı ile hesap makinesi tarafından hesaplanan sayı arasındaki farkın giderek büyüdüğünü fark edeceksiniz.

Aynı işlemi 28 defa uyguladıktan sonra

Her dijital hesap makinesinde şu ya da bu şekilde ortaya çıkan bu sonucun aslında fazla şaşırtıcı yanı yoktur. Sonuçta kullandığımız sayı irrasyonel bir sayıdır. Yani sayı sonsuz sayıda basamağa sahiptir. Ancak hesap makineleri yalnızca sınırlı sayıda sayıyı depolar. Sayısal değerler bilgisayarlar tarafından gelede 15 basamaktan sonra kesilir.

Bu nedenle, gerçek sayılar ile saklanan veya görüntülenen değerler arasında çok küçük hatalar vardır. Ancak bizler gündelik yaşantımızda ondalık sayıların genelde virgülden sonraki ilk iki basamağı ile idare edebildiğimiz için bu hatanın farkına varmayız.

Sorun Yaratan Bazı Matematik Hataları

Birim Hatası Deyip Geçmeyelim: Mars Climate Orbiter Yörünge Hatası

 Mars Climate Orbiter’ın, Lockheed Martin tarafından üretilip NASA tarafından işletilmesi planlanmıştı ve üretilip fırlatılması yaklaşık 125 milyon dolara mal olmuştu. 

Amerikalıların ölçü birimlerini birbirine çevirirken yaptıkları hatalar ile ilgili bir çok örnek vardır. Bu konuya en güzel örnek Mars Climate Orbiter’da yaşandı. 11 Aralık 1998 tarihinde Mars Climate Orbiter Mars yolculuğuna çıktı. Bu uzay aracı kırmızı gezegenin keşfinde önemli bir rol oynayacaktı.

23 Eylül 1999’da uzay aracını yörüngeye yerleştirmek için son roket fırlatıldı. Ancak her roket fırlatılışında yapılan bir matematik hatası nedeniyle uzay aracı yörüngesinden şaştı.

Bu araç, yaklaşık 10 aylık seyahatin ardından 669 milyon kilometre mesafe kat ederek Mars’a ulaşacak ve kırmızı gezegenin benzersiz iklimini gözlemleyecekti. Ancak mühendisler İngiliz ölçü birimlerini metrik ölçü birimlerine dönüştürürken bu hatayı yapmışlardı.

NASA’nın yazılımı libre (pound) cinsinden gelen sayıları Newton biriminde varsayarak işlem yaptı. Bu nedenle uydunun iticileri için gereken kuvvet değerleri yanlış hesaplandı. Bu hata Mars keşif aracımızın gezegenin atmosferine düşük bir irtifada girmesine ve sonrasında da büyük ihtimalle atmosfer sürtünmesinden dolayı yanarak parçalanmasına neden olmuştu.

Aracın geliştirilmesi, iniş aracı ve görev için gerekli insan kaynağının maliyeti 327,6 milyon dolardi. Bu, bilimsel açıdan hiç bir getirisi olmayan, ancak geliştirilen yazılımların denetlenmesinin önemine müthiş bir örnek olarak kayda geçen bir harcama oldu.

Büyük resmi görememek

1930’larda Edwin Hubble galaksilerin eşit oranda dağıldığını düşünüyordu. Bunu ispat etmek için uzayın belirli bölgelerinin fotoğrafını çekti. Fotoğraflar galaksileri yaklaşık olarak eşit sayıda gösteriyordu. Daha sonra başka bilim insanları bu konuda şüphe duydu ve ölçümler yapmaya başladı.

Çalışmaları esnasında çektikleri fotoğraflarda galaksilerin belirli bölgelerde yoğunlaştığını gördüler. Onlar bu keşfi, galaksilerin eşit biçimde dağılmadığı aksine kümeler halinde toplandığını bulan Clyde Tombaugh tarafından da onaylanacaktı. Hata yapmış olması elbette Edwin Hubble’ın adını karalamadı. Hatta astronomiye olan katkıları nedeniyle 1989’da Hubble Uzay Teleskobuna onun adı verildi.

Edwin Hubble

Bazı Matematik Hataları Sürpriz Sonuçlara Sebep Oldu

Bununla birlikte, matematik hataları önemli bir keşfe yol açtı. 1960’larda bir gün, Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nde bir meteorolog olan Edward Lorenz, bilgisayarında hava simülasyonlarını gözlemlemekle meşguldü. Bir süre sonra ara vermeye karar verdi. Lorenz programı çalıştırmayı bıraktı ve ara sonuçları not etti.

Kahvesini bitirdikten sonra Lorenz masasına döndü, ara sonuçları bilgisayara geri verdi ve simülasyonu çalıştırdı. Ancak bilgisayarındaki hava durumu, önceki simülasyonlarda gözlemlediğinden tamamen farklı sonuçlar veriyordu.

Kahve almaya gitmeden önce bilgisayar ekranında gördüğü sayıları kopyalamıştı. Bu sayılar, virgülden sonraki üç basamağı gösteriyordu. Ancak bilgisayarın içinde sayılar sekiz ondalık basamağa kadar saklanıyordu. Lorenz son üç sayıyı bilgisayara girdiğinde sistem başka bir biçimde çalışmaya başlamıştı.

Hava simülasyonu hesaplaması, doğrusal olmayan işlemler içerdiğinden, şaşırtıcı farkın ortaya çıkması normaldi. Doğrusal olmayan ifadeler – yani kare alma veya karekök alma gibi ifadeler – çok hızlı bir şekilde küçük hataları bile büyütme gibi can sıkıcı özelliklere sahiptir.

kaos

Edward Lorenz’in keşfi, kaos teorisinin temelini oluşturdu. Bu teorinin sonuçlarından biri, ünlü kelebek etkisidir. Temel olarak, bir kelebeğin kanatlarının hareketinin dünyanın diğer ucunda bir kasırgayı serbest bırakabileceğini söyler.

Bir kelebeğin çırpınan kanatlarının neden olduğu havadaki küçük girdaplar, ondalık bir virgülden sonraki 30. basamaktaki bir değişikliği temsil ediyor gibi düşünebilirsiniz. Bununla birlikte, havadaki doğrusal olmayan durumlar, küçük hava hareketlerini bir milyar kat artırabilir. Sonucunda da bu kanat çırpış bir kasırgaya neden olacaktır.



Kaynaklar ve ileri okumalar 

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz