Günlük Hayatımızda Matematik

SIR Modeli Nedir? Matematik Bir Salgınla Nasıl Savaşır?

Yaşadığımız ve halen de etkilerini hissettiğimiz salgının belki de tek iyi yanı insanların sayılar, istatistikler ile daha fazla ilgilenmesi ve arka plandaki matematiği anlamaya çalışması oldu. Sonuçta pandemi boyunca bilim insanları, matematiksel modelleri beslemek ve yayılmayı tahmin etmek için koronavirüs hakkında veri topladı. İstatistikçiler de bir virüsün bulaşmasını anlatırken bizlere dağılım değerlerini öğretti. Örneğin, artık R değerini, yani üreme faktörünü biliyoruz. Bu arada hatırlatalım. Önlemler alınmadığı takdirde, COVID-19’un doğal R değeri üç. Yani bir kişi hastalığı ortalama üç kişiye bulaştırıyor. R değerini birin altına düşünce virüs yayılması azalacaktır. Sonunda da bulaşma tamamen duracaktır. Ancak bu yazımızın konusu mevcut pandemi değil. Daha çok arka planda yapılan modellemeler, özellikle SIR modeli olacak.

Matematiksel Modeller
Matematiksel modeller genel olarak bir ağ üzerinde, düğümler (node) arasında hastalığın yayılmasını çeşitli parametreleri (yayılma hızı, ağdaki düğümler (insanlar) arasındaki temas oranı vb.) hesaba katarak modelleme fikrine dayanır

Gerçekten de ister bir sahte haber, ister bir virüs. Ne olursa olsun, büyüme eğilimi gösteren şeyleri matematiksel olarak modellemek mümkündür. Farklı modeller, kısa vadeli tahminler yapmak, uzun vadeli tahminler yapmak veya okulların kapanması gibi belirli müdahalelerin etkisini simüle etmek gibi farklı amaçlar için tasarlanmıştır.

Bulaşıcı hastalıkların modellenmesi, hastalıkların yayılma mekanizmalarını incelemek, bir salgının gelecekteki seyrini tahmin etmek ve bir salgını kontrol etme stratejilerini değerlendirmek için kullanılan bir araçtır. Hastalığın yayılmasının matematiksel modellemesinin en eski hesabı 1760 yılında Daniel Bernoulli tarafından yapılmıştır. Bir doktor olarak eğitim gören Bernoulli, çiçek hastalığına karşı aşılama uygulamasını savunmak için matematiksel bir model oluşturmuştur. Daniel Bernoulli’nin çalışması, modern mikrop teorisi anlayışından önce gelir. Daha yakın zamanlarda ise Kermack–McKendrick salgın modeli (1927) ve Reed–Frost salgın modeli (1928), gibi modeller ortaya atılmıştır. Bunlardan birisi de SIR (Susceptible-Infected-Recovered) modelidir.

SIR Modeli Nedir?

SIR modelinin akış çizelgesi. S bireyler β hızıyla hastalığa yakalanıp I bireye dönüşürken, I bireyler γ hızıyla hastalıktan kurtuluyor (ölüm dahil) ve R bireye dönüşüyor

Kısaca açıklamaya çalışalım. Öncelikle SIR modelinin açılımına bakalım. Herkesin belli bir hastalığa duyarlı (S), enfekte (I) ya da iyileşmiş (R) ve dolayısıyla bağışık olduğu bir insan popülasyonu hayal edin. İnsanların S sınıfından I sınıfına ve ardından I sınıfından R sınıfına geçme şekli matematiksel denklemlerle açıklanır. Bu denklemler, hastalığın bulaşma ve ayrıca iyileşme hızına bağlıdır.

Üç sınıftaki nüfusun oranını tanımlayan diferansiyel denklemler. Diferansiyel denklemlerin özelliği değişkenlerin değişim hızlarının değişkenlere bağlı olması. Sol taraftaki dS/dt, dI/dt ve dR/dt terimleri S, I ve R sayılarının olabildiğince sık zaman aralıklarıyla ölçülerek belirlenebilecek artış veya azalma hızlarını verir.

Modele, I sınıfındaki nüfusun sadece küçük bir kısmıyla başlarsınız. Daha sonra da hastalığın nasıl yayıldığını ve insanlar iyileşip bağışıklık kazandıkça azaldığını görerek zamanla modelinizi geliştirirsiniz. SIR modeli, yatılı okuldaki öğrenciler gibi basit popülasyonlar için iyi tahminler verir. Daha karmaşık popülasyonlar söz konusu olduğunda farklı coğrafi konumları ve alt popülasyonları temsil eden birçok bireysel SIR modelini birbirine bağlanır.

Bu modelin oluşturulmasında önemli olan, insanların iletişim kalıplarıdır yani kimin, kiminle ve ne sıklıkta görüştüğüdür. Bu tür temas verileri, modelde yerleşik olarak bulunan sayı dizileri (matrisler) ile matematiksel olarak temsil edilir. Okulların kapanması gibi belirli bir sosyal müdahalenin hastalığın yayılmasını nasıl etkileyebileceğini görmek için, bazı kısımlarını kaldırarak veya küçülterek verileri buna göre uyarlarsınız.

Farklı yaş gruplarına göre düzenlenmiş bir iletişim matrisi. Daha koyu gölgeler daha fazla teması gösterir (burada matrisin anlaşılmasını kolaylaştırmak için sayılar yerine renkler kullanılır)

Bir Salgın Esnasında Matematiksel Modeller Doğru Sonuçları Verir mi?

Bir SIR modelinin tipik çıktısıdır. Duyarlı kişilerin sayısı mavi, enfekte olanların sayısı yeşil ve iyileşenlerin sayısı kırmızı ile gösterilir.

Aslında farklı şeyler yapmak için tasarlanmış birçok farklı model vardır. Bazıları tamamen deterministiktir. Bazıları bir dereceye kadar rastgelelik içerir. Kimi ise belirli bir faktörün rolünü göstermek için sadece bir kez çalışacak şekilde formüle edilmiştir. Ancak doğru bir model elde etmek için yeterince veriye ihtiyaç vardır. Örneğin mevcut pandemi başlangıcında araştırmacıların korona modeli yoktu. Bu nedenle öncül çalışmaları gripten yola çıkarak yaptılar. Pandemi boyunca bilim insanları veri topladıkça virüsün bulaşmasına dair anlayışımız da gelişme gösterdi. Sonunda zamanla onu daha iyi tanıdık. Bunun sonucunda da daha başarılı modeller yaptık. Son olarak bu modellerden literatürde çok fazla olduğunu ve değişik varsayımlar altında farklı modeller kullanmamız gerektiğini unutmayalım. Bu salgın ilk değildi ve elbette son da olmayacaktır. Ancak elimizde bize neler olup bittiğini açıklamaya çalışan bir sistemin var olması bir nebze güven verici.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu