Günlük Hayatımızda Matematik

SIR Modeli Nedir? Matematik Bir Salgınla Nasıl Savaşır?

Yaşadığımız salgının belki de tek iyi yanı insanların sayılar, istatistikler ile daha fazla ilgilenmesi ve arka plandaki matematiği anlamaya çalışması oldu. Sonuçta pandemi boyunca bilim insanları, koronavirüs hakkında veri topladı. İstatistikçiler de bir virüsün bulaşmasını anlatırken bizlere dağılım değerlerini öğretti. Öğrendiğimiz şeylerden birisi de SIR modeli olmuştu.

Gerçekten de ister bir sahte haber, ister bir virüs. Ne olursa olsun, büyüme eğilimi gösteren şeyleri matematiksel olarak modellemek mümkündür. Farklı modeller, kısa ya da uzun vadeli tahminler yapmak, veya okulların kapanması gibi belirli müdahalelerin etkisini simüle etmek gibi farklı amaçlar için tasarlanmıştır.

Bulaşıcı Hastalıkların Modellenmesi Ne işe Yarar?

Hastalık salgınlarını tahmin etmek ve anlamak sadece epidemiyolojiyi içermez. Matematik de ister. Yüzyıllar boyunca matematikçiler, salgın hastalıklar ve salgın hastalıklarla ilgili soruları ve bunlara olası yanıtları ele aldılar. 

Matematiksel modeller genel olarak bir ağ üzerinde, düğümler (node) arasında hastalığın yayılmasını çeşitli parametreleri (yayılma hızı, ağdaki düğümler (insanlar) arasındaki temas oranı vb.) hesaba katarak modelleme fikrine dayanmaktadır.

Hastalığın yayılmasının matematiksel modellemesinin en eski hesabı 1760 yılında Daniel Bernoulli tarafından yapılmıştır. Bir doktor olarak eğitim gören Bernoulli, çiçek hastalığına karşı aşılama uygulamasını savunmak için matematiksel bir model oluşturmuştur.

Daniel Bernoulli’nin çalışması, modern mikrop teorisi anlayışından önce gelir. Daha yakın zamanlarda ise Kermack–McKendrick salgın modeli (1927) ve Reed–Frost salgın modeli (1928), gibi modeller ortaya atılmıştır. Bunlardan birisi de SIR (Susceptible-Infected-Recovered) modelidir.

SIR Modeli Nedir?

SIR modelinin akış çizelgesi. S bireyler β hızıyla hastalığa yakalanıp I bireye dönüşürken, I bireyler γ hızıyla hastalıktan kurtuluyor (ölüm dahil) ve R bireye dönüşüyor

Kısaca açıklamaya çalışalım. Öncelikle SIR modelinin açılımına bakalım. Herkesin belli bir hastalığa duyarlı (S), enfekte (I) ya da iyileşmiş (R) ve dolayısıyla bağışık olduğu bir insan popülasyonu hayal edin. İnsanların S sınıfından I sınıfına ve ardından I sınıfından R sınıfına geçme şekli matematiksel denklemlerle açıklanır. Bu denklemler, hastalığın bulaşma ve ayrıca iyileşme hızına bağlıdır.

Üç sınıftaki nüfusun oranını tanımlayan diferansiyel denklemler. Diferansiyel denklemlerin özelliği değişkenlerin değişim hızlarının değişkenlere bağlı olması. Sol taraftaki dS/dt, dI/dt ve dR/dt terimleri S, I ve R sayılarının olabildiğince sık zaman aralıklarıyla ölçülerek belirlenebilecek artış veya azalma hızlarını verir.

Modele, I sınıfındaki nüfusun sadece küçük bir kısmıyla başlarsınız. Daha sonra da hastalığın nasıl yayıldığını ve insanlar iyileşip bağışıklık kazandıkça azaldığını görerek zamanla modelinizi geliştirirsiniz. SIR modeli, yatılı okuldaki öğrenciler gibi basit popülasyonlar için iyi tahminler verir. Daha karmaşık popülasyonlar söz konusu olduğunda farklı coğrafi konumları ve alt popülasyonları temsil eden birçok bireysel SIR modelini birbirine bağlanır.

Bu modelin oluşturulmasında önemli olan, insanların iletişim kalıplarıdır yani kimin, kiminle ve ne sıklıkta görüştüğüdür. Bu tür temas verileri, modelde sayı dizileri (matrisler) ile matematiksel olarak temsil edilecektir. Okulların kapanması gibi belirli bir sosyal müdahalenin hastalığın yayılmasını nasıl etkileyebileceğini görmek için, bazı kısımlarını kaldırarak veya küçülterek verileri buna göre uyarlarsınız.

Farklı yaş gruplarına göre düzenlenmiş bir iletişim matrisi. Daha koyu gölgeler daha fazla teması gösterir. (Burada matrisin anlaşılmasını kolaylaştırmak için sayılar yerine renkler kullanılır)

Bir Salgın Esnasında Matematiksel Modeller Doğru Sonuçları Verir mi?

Aslında birçok farklı model vardır. Bazıları tamamen deterministiktir. Bazıları bir dereceye kadar rastgelelik içerir. Kimi ise belirli bir faktörün rolünü göstermek için sadece bir kez çalışacak şekilde formüle edilmiştir. Ancak doğru bir model elde etmek için yeterince veriye ihtiyaç vardır. Örneğin mevcut pandemi başlangıcında araştırmacıların korona modeli yoktu.

Bir SIR modelinin tipik çıktısıdır. Duyarlı kişilerin sayısı mavi, enfekte olanların sayısı yeşil ve iyileşenlerin sayısı kırmızı ile gösteriliyor.

Bu nedenle öncül çalışmaları gripten yola çıkarak yaptılar. Pandemi boyunca bilim insanları veri topladıkça virüsün bulaşmasına dair anlayışımız da gelişme gösterdi. Sonunda zamanla onu daha iyi tanıdık. Bunun sonucunda da daha başarılı modeller yaptık.

Son olarak bu modellerden literatürde çok fazla olduğunu ve değişik varsayımlar altında farklı modeller kullanmamız gerektiğini unutmayalım. Bu salgın ilk değildi ve elbette son da olmayacaktır. Ancak elimizde bize neler olup bittiğini açıklamaya çalışan bir sistemin var olması güven verici.


Kaynaklar ve ileri okumalar:


Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu