Günlük Hayatımızda Matematik

Çarpışan Toplar Yardımıyla Pi Sayısı Nasıl Hesaplanır?

Pi sayısını hesaplamak için bildiğimiz klasik metotların yanında fazla bilinmeyen bir kaç metot daha vardır. Bunlardan muhtemel en ilgi çekici ve alışılmadık bir yöntemi 2003 yılında Gregory Galperin tarafından keşfedildi. Bu ideal senaryoda, sürtünmesiz düz bir masa üzerinde sırasıyla m ve M kütlelerine sahip iki bilardo topu vardır. Daha küçük olan m kütleli top, bir bariyer ile büyük M kütleli topun arasındadır. Ve bu toplar yardımıyla da pi sayısının basamaklarını hesaplamak mümkündür.

Pi Sayısı Hesaplaması

Şimdi büyük topu küçük olana doğru hareket ettirelim ve ikisinin çarpışmasını sağlayalım. İki top çarpıştığı zaman büyük olan biraz yavaşlayacak küçük olan da hareket kazanacaktır. Bu çarpışmanın elastik bir çarpışma olduğunu kabul ediyoruz yani enerji kaybı yaşanmıyor. Bundan sonra ne olacağı, m ve M kütlelerinin oranına yani M / m’ye bağlıdır. Neyin ortaya çıktığını görmek için birkaç basit durumla başlayalım ve çarpışmaları sayalım. İki kütlenin oranı burada can alıcı faktör olduğundan, oranın logaritmasını alalım ve ona bir isim verelim: N=log100 M/n ( Buradaki 100 tabanı hesaplamada bazı kolaylıklar sağlaması açısından kullanılmıştır.)

Eğer iki kütle eşitse, yani M = m, o zaman oranları 1’e eşittir. Bu durumda kaç çarpışma vardır? Fizik kanunlarına göre, hareket halindeki sağ taraftaki top hareketsiz topa çarptığında (= 1 çarpışma), tüm hızını hareketsiz olana verir, dolayısıyla durur. Önceden hareketsiz olan top sonuç olarak sola doğru hareket edecek ve duvara çarpacak (= 2 çarpışma), diğer topa vurmak için geri sekecek (= 3 çarpışma) ve ikincisini sonsuza kadar sağa doğru yola koyacaktır. Yani, toplam üç çarpışmamız olur. Bu durumda N=log100 M/n= log100 1=0 olacaktır.

Eşit kütleler yerine, M = 100 × m yapalım, böylece büyük kütle küçük olanın 100 katı olsun. Bu durumda, toplam çarpışma sayısının 31 olacağı ortaya çıkıyor. Bu bir bilgisayar simülasyonu ile doğrulanabilir, ancak aynı zamanda Galperin’in matematiksel olarak kanıtladığı şeyin bir sonucudur. Şimdi N=log100 M/n= log 100 (100/1)=1 oldu.

Kütle oranını daha da artırarak, şimdi daha büyük bilardo topunun kütlesini M = 10.000 × m olarak alalım. Bu devasa bir bilardo topu, ama bu sadece idealize edilmiş bir durum, o yüzden oynamaya devam edelim. Bu durumda, N=log100 M/n= log 100 (10000/1)=2 olur ve toplam çarpışma sayısı 314 olarak hesaplanabilir. 100 sayısının katları olacak biçimde bilardo toplarımızın boyutlarını arttırırsak aşağıdaki tabloda göreceğiniz sonuçlar ortaya çıkacaktır.

Çarpışmalar Sonucu Elde Edeceğimiz Sonuçlar

NToplam Çarpışma SayısıPi sayısının Basamak Sayısı (N+1)
031
1312
23143
331414
4314155
53141596

Çarpışan topların bir şekilde π sayısının rakamlarını üretebilmesi oldukça şaşırtıcı. Bu durumun sadece kullandığımız topun yuvarlak olmasıyla bir ilgisi olabileceğini düşünüyorsanız, yanılırsınız. Çünkü aynı senaryo kübik bloklarla değiştirilirse de argüman aynı şekilde çalışıyor.

İleri Okumalar:

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

11 − 10 =