Farz edelim ki 65 katlı bir ofiste çalışıyorsunuz. Ancak bu ofisin tek bir asansörü var, o da bazen çalışıyor bazen de hiç çalışmıyor. Asansöre binip yukarı çıkmak istediğiniz zaman asansör bazen 8 kat yukarı çıkıyor. Bazen de yerinden kıpırdamıyor.
Yani 63. katta asansöre bindiyseniz yine 63. katta kalıyorsunuz. Aşağı inmek istediğinizde de benzer bir sorun karşınıza çıkıyor. Biri aşağı inmek istediğinde asansör bazen 11 kat aşağı iniyor. Ya da hareket etmeyerek aynı katta kalmaya devam ediyor.
1. kattan asansöre bindiğinizi varsayalım. Bu şekilde hareket eden bir asansör ile her kata çıkmak mümkün mü? Ayrıca 1. kattan asansöre bindiğiniz zaman 60. kata ulaşmak için hangi katlara uğramanız gerekiyor?
Çözümü kulağa imkansız gibi geliyor ama elbette basit bir çözümü var. Ama cevaba bakmadan önce ilk olarakbir sonuca ulaşmayı kendinizin denemesini öneririz.
Asansör Sorunun Cevabı
Öncelikle kısa cevabı verelim. Binada her kata ulaşmak mümkündür. Bunun tam olarak nasıl mümkün olduğunu anlamak için aşağıdaki tabloya göz atalım. Tabloda görebileceğimiz gibi her kata 8 kat yukarı çıkma ve 11 kat aşağı inme kombinasyonu ile ulaşılabilir. Zor olan kısım, bunun gerçekten nasıl olduğunu anlamak. İşte bu noktada sayılar teorisine başvurmak zorundayız. Esasen “8x– 11y = kat numarası” denklemin tamsayılı çözümlerini arıyoruz. Bu tür denklemler Doğrusal Diophantus Denklemleri olarak bilinir.
Diophantine denklemleri
Diophantine denklemleri adını M.S. 3. yüzyılda yaşadığı tahmin edilen Antik Yunan matematikçilerden Diophantus’dan alan değişkenleri ve katsayıları tam sayılar olan denklemlerdir. Diophantus Arithmetika adlı sadece 6 cildi günümüze ulaşan çalışmasında 130 denkleme (bugün Diophantus denklemleri olarak adlandırılan) ve bunların çözümlerine yer vermiştir. Genel bir denklem olan ax+by = c için, çözümler ancak ve ancak c, a ve b’nin en büyük ortak bölenlerinin bir katıysa mevcuttur.
Bizim sorumuzda, 8 ve 11 aralarında asaldır ve en büyük ortak bölenleri 1’dir. Dolayısıyla denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır. İşin zor yanı, yukarıdaki tablonun gösterdiği gibi, her kata ulaşılabileceğini doğrulamaktır. Şimdi 1 numaralı kattan asansöre bindiğiniz zaman 60. kata ulaşmak için nasıl bir yolculuk yapacağınızı anlamaya çalışalım. Aslında bunu 24 basamakta başarabiliyorsunuz ( Tabloya dikkat ederseniz 60 en sağdaki sayı. Yani en çok dur kalk durumunu bu kata erişmek isterseniz yapmak zorundasınız).
Sırasıyla uğrayacağınız katlar ise; 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 54, 43, 32, 21, 10, 18, 7, 15, 4, 12, 20, 28, 36, 44 , 52 ve son olarak 60 olacak. Bu sayıları şimdi tabloda inceleyeniz. Gördüğünüz gibi yapmanız gereken ilk olarak 1’den başlayarak ilk önce en sağa kadar hareket etmek. Son sayıya eriştiğiniz zaman aşağıya doğru harekete devam etmelisiniz. Orada da sona geldiğinizde tekrar soldan sağa doğru yol alarak istediğiniz kata erişebilirsiniz. Tüm katlara da bu şekilde erişebilirsiniz. Bu binada asansöre binmek gerçekten kolay değil. Muhtemel en kısa zamanda tamir edilmesi yapılacak en doğru şey.
Haftaya yeni bir bilmece ile görüşmek üzere. Diğer sorularımıza da göz atmak isterseniz aşağıdaki bağlantıları inceleyebilirsiniz.
Kaynak: Presh Talwalkar; Math puzzles: classic riddles in counting, geometry, probability, and game theory;
Matematiksel
