Benford Yasası: Sayılar İle Uğraşırken Karşımıza Çıkan İlginç Bir Örüntü

Bizi ve dünyayı birbirine bağlayan, dünyayı bambaşka görmemizi sağlayan bazı matematiksel bağlantılar vardır. Bunlardan bir tanesi de Benford yasasıdır.

Şimdi hemen etrafınıza bakın ve üzerinde bol miktarda sayı bulunan bir şey bulmaya çalışın. Bu bir gazete, gelir giderlerinizi yazdığınız defteriniz, kısacası bolca sayı içeren herhangi bir şey olur. Şimdi bulduğunuz sayıları incelemeye başlayın.

Yapmanız gereken sadece sayının başlangıç basamağına bakmak. Sıfır ile başlayanları hesaba katmayın. Şimdi kaçının 1 sayısı ile kaçının 2 sayısı ile, kaçının 3 sayısı ile vb. başladığını sayın. Bulduğunuz sonuçları bir yere yazın. Ne fark ettiniz?

Normal koşullarda her rakamın görülme ihtimalinin diğerleri ile aynı olduğunu düşünebilirsiniz. Başka bir deyişle, bir gazeteden rastgele alınan bir sayının 9’la olduğu kadar 1 ile başlamasının eş olasılıkta olmasını bekleyebilirsiniz.

Ne var ki çoğu veri türü için bu düşüncenin aslında yanlış olduğunu biliyoruz. Aslında, sayıların neredeyse yarısı 1 veya 2 ile başlayacaktır. Sonrasında da rakam 9’a doğru gittikçe görülme olasılığı azalacaktır. İşte Benford yasası budur.

Benford Yasası Nedir?

1881 yılında fenomeni ilk fark eden kişi, bir matematikçi ve astronom olan Simon Newcomb’du. Bir gün, Newcomb bazı hesaplamalar için bir logaritma kitabı kullanıyordu. Ancak kitabın ilk sayfalarının daha fazla yıpranmış olduğunu gözlemledi.

Ön tarafa yaklaştıkça kitabın sayfalarının daha yırtık pırtık olduğunu fark etti. Bazı nedenlerden dolayı, insanlar sürekli olarak belirli sayıları diğerlerinden daha sık arıyor gibiydi. Sonucunda her bilim insanı gibi o da bunun nedenini merak etti.

Muhtemelen Newcomb’da az evvel sizin yaptığınız gibi oturup saymıştı. Sonrasında yaptığı çalışmalar sonucunda bir formüle ulaştı. N rakamı ile başlayan sayıların yüzdesinin log (N + 1) – log (N) kadar olduğunu ileri sürdü. Ancak Newcomb, bulgusu için herhangi bir açıklama yapmadı. Bunun sonucunda da bu açıklaması elbette unutuldu gitti.

Yaklaşık 50 yıl bu gözlemle ilgili pek bir çalışma yapılmadı. Daha sonra 1939 yılında General Electric’de bir mühendis olan Frank Benford, ilginç bir gözlem yaptı. Şehirlerin nüfus istatistiklerine bakarken, sayıların çok daha fazlasının “1” ile başladığını fark etti.

Bu keşiften büyülenen Benford, gerçek dünyadaki sayıların buna ne kadar uygun olduğunu görmek için yola çıktı. Hisse senedi fiyatlarına, nehir uzunluklarına, spor istatistiklerine ve daha bir çok sayı koleksiyonuna baktığında aynı şaşırtıcı sonuç ile karşılaştı.

Benford Yasasını Açıklama Çabaları

Sonucunda ilk rakamın belirli bir değeri alma olasılığının 1’den 9’a doğru rakam arttıkça azaldığını ortaya koydu. Benford bulduğu formüle Anormal Sayılar Kanunu adını verdi. Ancak bugünlerde adı Benford Yasası olarak bilinmektedir. Analizi, yasanın varlığının kanıtıydı, ancak Benford da bunun neden böyle olması gerektiğini tam olarak açıklayamadı.

Bu ilginç ilişkiyi açıklamaya yönelik ilk adım, 1961’de New Jersey’li bir matematikçi olan Roger Pinkham’dan geldi. Bu yasanın evrensel olup olmadığını anlamak oda çeşitli sayı kümeleri ile çalışmalar yaptı. Sonucunda nehir uzunluklarından tutun da, galaksilerin uzaklıklarına kadar çok çeşitli veri kümelerinin hepsinde yasanın geçerli olduğunu gösterdi.

Fenomen 1995 yılında, Theodore P. Hill tarafından tekrar incelendi. Benford Yasasını izleyen veri serilerindeki sayıların aslında “ikinci nesil” dağıtımlar olduğu, yani diğer dağıtımların kombinasyonları olduğu ortaya konuldu.

Benford Yasası kuşkusuz ilginç ve şaşırtıcı bir sonuçtur, ancak bunun önemi nedir? Mali verilerin de Benford Yasasına uyduğuna anladığımız zaman önemi büyüktür. Sonucunda dolandırıcılığı tespit etmek için bu yasa son derece önemlidir.

Sayılar Yardımı İle Dolandırıcılık Tespiti

Muhasebe alanında öğretim görevlisi olan Mark Nigrini, öğrencilerinden, ilk rakamların tahmin edilebilir dağılımını kendilerine göstermek için bildikleri bir işletmenin hesaplarına bakmalarını istedi. Bir öğrenci, bir nalbur dükkanı işleten kayınbiraderinin hesaplarına bakmaya karar verdi.

Şaşırtıcı bir şekilde, sayılar Benford dağılımına hiç benzemiyordu. Tutarsızlık o kadar büyüktü ki, rakamlar bir şeylerin yanlış olması gerektiğini gösteriyordu. Bu öğrenci farkında olmadan aslında minik bir sahtekarlığı açığa çıkarmıştı.

Sonuçta bir kişi vergi beyannamelerini tahrif etmeye çalışırsa, o zaman bazı verileri değiştirmek ve yenilerini eklemek zorunda kalacaktır. Bu yasanın doğal biçimde ortaya çıkan dağılımlarda geçerli olduğunu hatırlatalım. Bu nedenle bir düzenbazın aynı doğallıkta sayı eklemesi mümkün olamaz.

Bu küçük başlangıçlardan itibaren, Benford Yasası, birçok muhasebecinin dolandırıcılığı tespit etmek için kullandığı resmi araçlardan biri haline geldi. Örneğin yasa, 2001 yılında Yunanistan’ın ekonomik verilerini incelemek için kullanıldı. Sonrasında ülkenin Avrupa Birliği’ne katılmak için sayıları manipüle ettiği anlaşıldı.

Günümüzde bu yasa sahte haber ve görüntüleri tespit etmek için de kullanılmaktadır. Dijital fotoğraflar da temelde sayılardan oluşur. Bu görüntüleri kurcalarsanız bu sayılar Benford yasasına uygunluklarını yitirir.

Benford Yasası Nasıl Çalışıyor?

Benford Yasasını kanıtlamak zordur. Bu nedenle ispatına bu yazıda girmeyeceğiz. Merak edenler kaynaklar kısmımızdan bu ispata erişebilir. Ancak bunun neden doğru olabileceğini anlamanın bir yolu vardır. Biz de bunu aktarmaya çalışalım.

Bir şapkadan rastgele bir sayı çekeceğiniz bir çekiliş hazırladığınızı hayal edin. Elinizde sadece 1, 2, 3, 4 numaralı dört çekiliş bileti olsun. Kazanan numaranın 1 ile başlama şansı nedir?

Tabii ki 4’te 1 veya yüzde 25. Şimdi 5, 6, 7 gibi daha fazla çekiliş biletini dahil edelim. 9 bilet için her birinin çekilme olasılığı 9’da 1 yani % 11’e düşecektir. Ancak, 10 numaralı bileti eklediğinizde işler değişir. On biletten artık ikisi 1 (yani 1 ve 10) ile başlıyor. Bu nedenle biletin ilk sayının 1 ile başlama olasılığı yüzde 20 çıktı.

Sonucunda 11, 12, 13… 19’a kadar bilet sattıkça artmaya devam edecek ve ilk 20 bilette oran 11 ⁄ 19 veya yüzde 58’e ulaşacaktır. Ancak 20’ler, 30’lar ve üzerini ekledikçe, ilk sayının 1 olma şansı tekrar düşer.

Aslında 1’den 99’a kadar sayılarda ilk sayının bir olma olasılığı 11 ⁄ 99 yani yaklaşık yüzde 11 kadardır. Peki ya 100’den fazla sayı koyarsanız? Şansınız bir kez daha artar. 199. çekiliş biletine ulaştığınızda, kazanan biletin ilk basamağının 1 olma şansı 111 ⁄ 199. Yani bir kez daha yüzde 50’nin üzerindedir.

Benford Yasasına Göre Sayıların Görülme Sıklıkları

İlginç bir şekilde, satılan bilet sayısı arttıkça şans yüzde 58 ile yüzde 11 arasında zikzaklar çizer. Sonunda kaç tane satılacağını bilemezsiniz. Ancak Benford Yasasının öngördüğü gibi, “ortalama” şansın bu ikisinin ortasında bir yerde olacağını görebilirsiniz.

Bir sayının Benford Yasası tarafından öngörüldüğü gibi N rakamıyla başlama olasılığı başta da dediğimiz gibi log (N + 1) – log (N) kadardır. N = 1 için bu, log (2) – log (1) veya yüzde 30,1 olan 0.301’e denk gelir.

Günümüzden 150 yıl önce bir adamın bir kütüphane kitabında fark ettiği basit bir gözlem günümüzde tüm evrenimize uygulanabilir durumda. Yaşamlarımızdaki kaosta, tesadüflerde ve zorlukta kimsenin tam olarak nedenini bilmediği matematiksel bir düzen var gibi gözüküyor.

Ayrıca göz atmak isterseniz:
Dünyanın En Basit Teoremi, Dünyada 8.000 Kişinin Kafasında Aynı Sayıda Saç Teli Olduğunu Gösteriyor

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• How a simple observation from the 1800s about patterns in big data sets can fight fraud; Yayınlanma tarihi: 10 Kasım 2015; Bağlantı: https://theconversation.com/
• Looking out for number one; Yayınlanma tarihi: 1 Eylül 1999; Bağlantı: https://plus.maths.org/content/looking-out-number-one
• Hubble’s Law Implies Benford’s Law for Distances to Galaxies; https://arxiv.org/

Matematiksel