Benford Yasası: Bu Sıradışı Sayı Deseni Neden Her Yerde Karşımıza Çıkıyor?

Dünyaya başka bir gözle bakmamızı sağlayan şaşırtıcı matematiksel örüntüler vardır. Benford Yasası da bunlardan biridir.

Bunu küçük bir deneyle görebilirsiniz. Elinize içinde çok sayıda sayı bulunan bir gazete ya da herhangi bir belge alın. Ardından bu sayılara tek tek bakın ve yalnızca ilk anlamlı basamaklarına dikkat edin.

Kaç sayı 1 ile, kaçı 2 ile, kaçı 3 ile başlıyor? İlk bakışta 1’den 9’a kadar bütün rakamların yaklaşık eşit sıklıkta görülmesini bekleyebilirsiniz. Oysa gerçek veriler çoğu zaman bambaşka bir tablo ortaya koyar.

Benford Yasası’na göre ilk basamağın 1 olma olasılığı yaklaşık yüzde 30,1’dir. İlk basamakta 2 yaklaşık yüzde 17,6, 3 ise yüzde 12,5 oranında görülür. Listenin sonundaki 9’un ilk basamakta ortaya çıkma oranı yalnızca yüzde 4,6’dır.

İlk bakışta bu yalnızca ilginç bir sayı örüntüsü gibi görünebilir. Oysa Benford Yasası bugün pek çok alanda olağandışı verileri fark etmek için kullanılan araçlardan biridir.

Benford Yasası Nedir?

Benford Yasası, adından da anlaşılacağı gibi Benford adlı biri tarafından değil, Amerikalı astronom Simon Newcomb tarafından keşfedildi.

Newcomb, 1881 yılı civarında, logaritma tablolarının yer aldığı kitaplarda 1 rakamıyla başlayan sayfalardaki sayfaların, 2 ile başlayan sayılara ayrılmış sayfalardan daha kirli ve yıpranmış olduğunu fark etti. Bu durum 9’a kadar aynı biçimde devam ediyordu. 9 ile başlayan sayıların bulunduğu sayfalar ise karşılaştırıldığında oldukça temiz ve yeni görünüyordu.

Uzun vadede bir sayfanın ne kadar yıprandığının, o sayfanın ne kadar sık kullanıldığıyla orantılı olduğunu varsayan Newcomb, kitabı paylaştığı bilim insanlarının üzerinde çalıştığı verilerde rakamların belirli bir dağılım izlediği sonucuna vardı.

Yasanın bugünkü adı ise Frank Benford’dan gelir. Benford, 1938’de New York eyaletinin Schenectady kentindeki General Electric Araştırma Laboratuvarı’nda logaritma tablolarını incelerken aynı olguyu yeniden fark etti. Ancak ne Newcomb ne de Benford bu yasayı matematiksel olarak kanıtladı.

Bu kanıt ancak 1995 yılında Georgia Teknoloji Enstitüsü’nden matematikçi Ted Hill’in çalışmalarıyla ortaya kondu. Benford Yasası’nın formülü aşağıda gördüğünüz gibidir. Burada (d), 1 ile 9 arasındaki herhangi bir rakamdır.

Benford Yasası Nasıl Çalışıyor?

Benford Yasası her sayı kümesinde ortaya çıkmaz. Örneğin piyango sayıları, telefon numaraları ya da kimlik numaraları gibi rakamların yalnızca bir etiket görevi gördüğü verilerden Benford dağılımına uymalarını beklemeyiz.

Veriler çok dar bir aralığa sıkışmışsa Benford Yasası yine geçerli olmaz. Premier Lig futbolcularının yaşlarını, yetişkin erkeklerin boylarını, on yaşındaki çocukların IQ değerlerini ya da kadınlar 100 metre Olimpiyat yarışlarındaki kazanan derecelerini incelerseniz, verilerin yalnızca birkaç farklı rakamla başlayabilecek kadar dar bir aralıkta toplandığını görürsünüz. Böyle veri kümelerinde Benford Yasası’nın işlemesi mümkün değildir.

Benford Yasası’nın geçerli olabilmesi için verilerin birkaç farklı büyüklük mertebesine yayılması da önemlidir. Örneğin Türkiye’deki yerleşim yerlerinin nüfuslarını düşünün. Nüfusu yüz kişinin altında olan çok sayıda köy bulunduğu gibi, nüfusu milyonları aşan büyük kentler de vardır. Bu nedenle yerleşim yerlerinin nüfusları Benford Yasası için uygun bir veri kümesi oluşturur.

Benzer biçimde geniş bir aralığa yayılan ve Benford Yasası’na uyabilen başka veri kümeleri arasında yayınların sayfa sayıları, binaların yükseklikleri ve nehirlerin uzunlukları bulunur.

Bunun nedenini anlamanın en kolay yollarından biri geometrik büyümeye bakmaktır. Diyelim ki başlangıçta 1 dolarımız var ve bu miktar her yıl yüzde 4 artıyor. Bir yıl sonra 1,04 dolarımız olur. İki yıl sonra miktar 1,0816 dolara çıkar. Aynı büyüme devam ettiğinde yaklaşık 17,67 yıl sonra 2 dolara, yaklaşık 58,71 yıl sonra ise 10 dolara ulaşırız.

Buradaki önemli nokta, büyümenin her yıl aynı miktarda değil, aynı oranda gerçekleşmesidir. Para arttıkça her yıl eklenen miktar da büyür. Bu nedenle 1 dolardan 2 dolara çıkmak uzun sürerken, 9 dolardan 10 dolara geçiş çok daha kısa zamanda gerçekleşir.

Nitekim 1 dolardan 10 dolara kadar geçen toplam sürenin yaklaşık yüzde 30’u, değerin 1 ile başladığı aralıkta geçer. Bu oran, Benford Yasası’nın 1 rakamı için öngördüğü yaklaşık yüzde 30,1 ile aynıdır.

Benford Yasası Dolandırıcılığı Nasıl Ele Veriyor?

Bir kişi mali kayıtları değiştirmeye çalıştığında bazı sayıları silmesi, değiştirmesi ya da yenilerini eklemesi gerekebilir. İnsanların uydurduğu sayılar ise doğal olarak oluşan büyük veri kümelerindeki rakam dağılımını her zaman doğru biçimde taklit etmez. Bu nedenle Benford Yasası, denetçilere olağandışı görünen veri kümelerini belirlemede yardımcı olabilir.

Benford Yasası’nın bilinen uygulamalarından biri Kevin Lawrence adlı genç bir girişimciyle ilgiliydi. Lawrence, yüksek teknolojiyle donatılmış bir sağlık kulüpleri zinciri kurmak için yatırımcılardan 91 milyon dolar topladı. Ardından çok sayıda yönetici işe aldı ve yatırımcıların parasını hızla harcamaya başladı.

Sorun, Lawrence ve ortaklarının paranın önemli bölümünü şirket için değil, kişisel harcamaları için kullanmasıydı. Daha sonra bu harcamaları gizlemek amacıyla yatırımcıların parasını banka hesapları ve paravan şirketlerden oluşan karmaşık bir ağ içinde dolaştırdılar. Böylece dışarıdan bakıldığında büyüyen ve yoğun biçimde faaliyet gösteren bir şirket görüntüsü yaratmaya çalıştılar.

Adli muhasebeci Darrell Dorrell durumdan şüphelenince şirketin çek ve para transferlerinden oluşan 70 binden fazla sayıyı inceledi. Bu sayıların ilk rakamlarının dağılımını Benford Yasası’yla karşılaştırdığında belirgin uyumsuzluklar gördü.

Bu sonuç dolandırıcılığı tek başına kanıtlamadı, ancak soruşturmanın önemli ipuçlarından birini oluşturdu. Soruşturmanın sonunda Kevin Lawrence 20 yıl hapis cezasına çarptırıldı.

Benford Yasası ekonomik verilerin güvenilirliğini incelemek için de kullanılmıştır. Dört Alman ekonomistin yaptığı bir çalışmada, 2010 Avrupa devlet borç krizinden önce Avrupa Birliği ülkelerinin bildirdiği ekonomik veriler karşılaştırıldı. Yunanistan’ın verileri Benford dağılımından en büyük sapmayı gösteriyordu. Araştırmacılar bunu verilerin güvenilirliği konusunda dikkat çekici bir işaret olarak değerlendirdi.

Benford Yasası yalnızca finansal verilerde işe yaramaz. Dijital görüntüler de sonuçta sayısal verilerden oluşur ve bu veriler belirli istatistiksel örüntüler taşır. Bir görüntü üzerinde oynama yapıldığında bu örüntüler değişir. Araştırmacılar da Benford Yasası’ndan yararlanarak bu tür sapmaları inceler ve görüntünün değiştirilmiş olabileceğine dair ipuçları elde eder.

Sonuç Olarak

Benford Yasası bir sahtekârlık dedektörü değildir. Yasa yalnızca verinin beklenen dağılımdan ne kadar saptığını gösterir. Bu sapmanın nedenini anlamak için başka kanıtlara ve ek analizlere ihtiyaç vardır.

Ancak yine de 150 yıl önce Simon Newcomb’un yıpranmış logaritma tablolarında fark ettiği küçük bir ayrıntı, bugün çok farklı veri kümelerinde karşımıza çıkan önemli bir matematiksel örüntüye dönüştü. Benford Yasası bize rastgele ve düzensiz görünen sayıların bile bazen şaşırtıcı bir düzen taşıyabileceğini gösteriyor.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• How a simple observation from the. 1800s about patterns in big data sets can fight fraud. Yayınlanma tarihi: 10 Kasım 2015; Kaynak site: Conversation. Bağlantı https://doi.org/10.64628/AAI.xayafd6ss
• Looking out for number one; Yayınlanma tarihi: 1 Eylül 1999; Bağlantı: https://plus.maths.org/content/looking-out-number-one
• Cerasa A. Testing for Benford’s Law in very small samples: Simulation study and a new test proposal. PLoS One. 2022 Jul 22;17(7):e0271969. doi: 10.1371/journal.pone.0271969. PMID: 35867697; PMCID: PMC9307211.

Matematiksel