Matematiği Resmeden Sanatçı: Escher

1898’de Hollanda’da doğan Maurist Cornelis Escher, geniş bir alanda matematiksel fikirler ortaya koyan büyüleyici ve eşsiz sanat eserleri yarattı.

Daha öğrenciyken, ailesi Escher’in kariyerini planlamıştır; baba mesleği olan mimarlık. Fakat derslerinde zayıf oluşuna eklenen çizim ve tasarım konusundaki yeteneği, Escher’i grafik sanatı üzerine uzmanlaşmaya yönlendirdi devamında.

Çalışmaları 1950’lerin başına kadar neredeyse hiç dikkat çekmese de, 1959’da ilk önemli sergisini açmasıyla, dünya çapında bir üne kavuştu devamında. Hayranlarının büyük bir kısmını, onun çalışmalarının matematik ilkelerin mükemmel bir canlandırması olduğunu fark eden matematikçiler oluşturuyordu elbette.

Matematik araştırmacıları için Escher’in çalışmaları iki geniş alanı içerir: uzay geometrisi ve uzay mantığı.

Tessellations

Düzlemin düzgün bölümlendirilmesi (tessellations), tamamen düzlemle çevrili kapalı şekillerin, üst üste getirilmeden ve boşluk bırakılmadan derlenmesidir. Yer döşemelerinde kullanılan karolar gibi, genelde çokgenler veya benzer düzgün şekiller kullanılır. Ancak Escher her çeşit şekli kullandığı eserleriyle hayranlık uyandırmıştır.

“Metamorfozlar” (başkalaşımlar) ismini verdiği biçimlerin değiştiği ve birbirini etkilediği, hatta bazen düzlemin kendisinden koptuğu çalışmaları da ayrıca önemlidir.

Escher, üçgen, kare, sekizgen gibi temel desenlerden çalışmalarında yararlanır ve onlara yansıma, öteleme ve döndürme yöntemlerini uygulayarak, sayısız çeşitlilikte desen elde eder. Sanatçı, aynı zamanda bu örneklerin özgün biçimlerini bozarak, onları hayvanlara, kuşlara ve diğer başka figürlere dönüştürür.

Sonuç ise hem dehşet verici, hem de güzeldir.

Çokyüzlüler

Escher için, çokyüzlü olarak bilinen düzgün katı cisimlerin ayrı bir çekiciliği vardır.

Yüzeyleri, tamamen birbirinin aynı olan çokgenlerden oluşan sadece beş tane çokyüzlü vardır, bunlara Platonik cisimler de denir.

Platonik cisimlerden, onları kesiştirerek veya yıldızlaştırarak (stellate), pek çok ilginç cisim elde edilebilir. Yıldızlaştırma, cisimlerinin her bir yüzeyine bir piramit yerleştirilerek yapılır.

Escher’in Düzen ve Kaos isimli çalışmasında yer alan dodecahedron, yıldızlaştırma için güzel bir örnektir.

Düzen ve Kaos

Kesişen cisimlere Escher’in pek çok çalışmasında rastlanır, bunlardan en ilginçlerinden biri bir ağaç baskı çalışması olan yukarıda gördüğünüz Yıldızlar’dır.

Uzayın biçimi

Matematiksel açıdan Escher’in en önemli eserleri arasında, uzayın kendi doğasıyla ilgili olanlar vardır.

Kesişen Üç Düzlem isimli ağaç baskı, sanatçının uzayın boyutluluğuna ve aklın, üç boyutlunun iki boyuta resmedilişini algılama yetisine olan ilgisini göstermek için iyi bir örnek olacaktır.

Kesişen Üç Düzlem

Matematikçi H. S. M. Coxeter’in bir kitabındaki çizimden ilham alan Escher, hiperbolik uzayın, Çember Limiti III’de olduğu gibi, pek çok güzel temsilini yaratmıştır. Bu Öklid dışı iki uzaydan biridir ve aslında Escher’in çalışmasında temsil edilen model, Fransız matematikçi Poincare’ye atfedilir.

Çember Limiti III

Öklid geometrisi ve Öklid dışı geometrilere ek olarak Escher topolojik şekillerle de yakından ilgilidir.

Topolojik şekillere en temel örnek Möbius şerididir, Escher de onu pek çok eserinde kullanmıştır. Möbius şeridi sadece tek bir yüze ve kenara sahiptir. Gerçekten Möbius Şeridi II’deki karıncaların yolunu takip ederseniz, onların aslında farklı yüzeylerde yürümediklerini fark edersiniz.

Bir başka ilgi çekici eser, Resim Galerisi isimli taş baskıdır. Burada, resim galerisinde genç bir adam bir sahil kasabasının ve limanın betimlendiği resmi incelemektedir, fakat resmin içindeki resim galerisinde de genç bir adam sahil kasabasının resmedildiği resmi inceler. Escher eserinde, bir şekilde, uzaya, kendi içine geri döner, genç adam aynı zamanda hem resmin içinde hem de dışında bulunmaktadır.

Uzay mantığı

Uzay mantığıyla, uzay ile nesneler arasında olması gereken uzamsal ilişki ve optik yanılma olarak adlandırılan görsel paradokslar kastedilir. Escher, uzayın geometrisinin mantığını, mantığının da geometrisini belirlediğini fark eder.

Sanatçının, uzay mantığının sıklıkla kullandığı özelliği, içbükey ve dışbükey nesneler üzerinde ışık ve gölge oyunlarıdır. Taşbaskı Küp ve Şeritler’de şeritlerin üzerindeki tümsekler bize, şeritlerin küpe nasıl dolandığının ipucunu verir.

Escher’in bir başka temel ilgi noktası da perspektiftir. Herhangi bir perspektif çalışmasında, kaçış noktaları, gözün sonsuzdaki noktalar gibi algıladığı noktalar olarak seçilir. Rönesans boyunca Alberti, Desargues ve diğerlerinin perspektif ve “sonsuzdaki noktalar” üzerine çalışmaları, günümüzde izdüşüm geometrisi olarak adlandırılan matematik alanına temel oluşturmuştur.

Escher, Yüksek ve Alçak’ın perspektif çalışmasında, beş kaçış noktasına yer verir: Tavanın sağı ve solu, tabanın sağı ve solu ve merkez. Bunun sonucunda resmin alt yarısında yukarıya doğru bakılıyormuş gibi görünen sahne, üst yarısından ise aşağıya bakılıyormuş gibi algılanır.

Yüksek ve Alçak

“İmkânsız biçimler” yaratmanın bir başka yöntemi de, beynin, üç boyutlu nesnelerin oluşturulmasında iki boyutlu görsel ipuçlarını kullanmaya olan ısrarı üzerine kuruludur. Escher de çalışmalarında bu çeşit anormalliklerden yararlanır.

Escher’in bu tür çalışmalarının ilginç örneklerinden biri, Roger Penrose’un imkânsız üçgen düşüncesi üzerine kuruludur. Çağlayan’da iki tane imkânsız üçgen aynı anda kullanılmıştır. Böyle bir yapıyı olanaksız yapan sebepler, hemen fark edilebilir: Çağlayandan akan su yukarı çıkıp tekrar aşağıya dökülmektedir.

Son olarak Escher’in sanatının, bilgi bilimi ve yapay zekâ alanlarıyla ilişkisinden bahsedebiliriz.

Burada Escher’in yakaladığı temel kavram öz göndergedir (selfreference). Çizen Eller ve Balık ve Pullar’da, Escher bu kavramı başka yollarla yakalamıştır. İlkinde eller birbirini çizer; bilinç düşünür ve kendini algılar, gizemli bir biçimde kendisi ve öz göndergesi birinden ayrılmaz ve aynıdır.

Diğer taraftan Balık ve Pullar’da ise öz gönderge daha fonksiyoneldir, hatta öz benzeme olarak adlandırılabilir. Ağaç baskı bize, sadece balıkların değil, tüm organizmaların, aslında, en azından fiziksel olarak, kendilerinin küçük kopyalarından oluşmamalarına rağmen, bilgi kuramı açısından bu biçimde oluştuğunu söyler; vücudumuzun her hücresi, tüm özelliklerimizi belirleyen bilgiyi DNA biçiminde içinde taşır.

Bu yazıda, Escher’in geride bıraktığı yüzlerce çizim, ağaç baskı ve taş baskının sadece birkaç tanesinden bahsedebildik. Onun sanatının anlamı ve derinliğine dair söylenecek daha birçok şey var. Escher’in mirası, matematik dünyası ve hayal dünyasının arakesitinde yeni keşiflere doğru bir davetiyedir.

Kaynak: “Matematiği resmeden olağanüstü sanatçı: Escher” Bilim ve Gelecek Dergisi, sayı: 39

Matematiksel

Hazırlayan: Sibel Çağlar

Avatar
Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.