Fibonacci Sayılarının Kardeşi Lucas Sayıları İle Tanışalım

Günümüzde bir biçimde Fibonacci sayılarını ve elbette bu sayıların meşhur altın oranla olan bağlantısını duymuş olmalısınız. Aslında Leonardo Fibonacci bu sayılar için ‘Fibonacci serisi’ veya ‘Fibonacci sayıları’ terimini kullanmamıştı. Zaten kendisinin asıl adı da Leonardo Bigollo Pisano idi. ‘Bonaccio’nun oğlu’ anlamına gelen ‘Fibonacci’ lakabı kendisine daha sonra takılmıştı. Muhtemelen adının ölümünün ardından anımsanacağının da farkında değildi. Diziye adını veren on dokuzuncu yüzyıl Fransız matematikçisi François Édouard Anatole Lucas (1842–1891) oldu.

Kendisi hayranı olduğu bu diziye sadece adını vermekle kalmadı. Aynı zamanda bu dizinin rakamları ile oynayarak başka diziler de elde etti. Onun da aslında amacı sadece sayılar ile oynamaktı. Ancak günümüzde adı Lucas sayıları ile anımsanmaktadır. Bu sayılar genel olarak Lucas serisi olarak tanınır. Hatta bir iddiaya göre, bu sayılar altın oran ile ile Fibonacci sayılarından daha da ilişkili gibi gözükmektedir. ( Detay için yazının sonundaki videoya göz atınız.)

Lucas en çok sayı teorisine yaptığı katkılar ile bilinir. Adını fazla duymamış olsak da kendisi ayrıca, günümüzde kullandığımız bir sayının asal olup olmadığını test etmeye yarayan yöntemler geliştirdi. Lucas ayrıca Hanoi Kulesi bulmacasını ve diğer matematiksel bulmacaları icat etmesiyle de tanınır. Hanoi Kulesi bulmacası 1883’te M. Claus adı altında ortaya çıktı. Claus’un Lucas’ın bir anagramı olduğuna dikkat edin!

Lucas Sayılarının Fibonacci Sayıları İle İlgisi Nedir?

Aslında Fibonacci sayıları olarak bilinen dizi ilk olarak eski bir Hintli matematikçi olan Pingala’nın (MÖ 450 veya 200) çalışmasında ortaya çıktı. Fibonacci dizinin bir kısmı şu şekildedir. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…610, 987, 1597….. Bu sayıları oluşturan kural başlangıçta aldığımız iki adet bir sayısının dışında diğer her sayının önceki iki sayının toplamından oluşmasıdır.

Bu sayılar günümüzde genelde tavşanlar ile ilişkilendirilse de aslında Leonardo Fibonacci, hiç bir zaman biyoloji ile ilgilenmek gibi bir amaca sahip olmamıştı. Verdiği tavşanlar aslında sadece bir örnekti. Temelinde bu sayıların onun ilgisini çekmesinin nedeni, ardışık terimleri birbirine böldüğümüz zaman sonucun phi sayısına yani altın orana giderek yaklaşmasıydı.

Matematiği popülerleştirme çabasında olan ve sayılar ile oynamayı seven Édouard Anatole Lucas, bu sayılarda küçük bir değişiklik yaparak Lucas sayılarını ortaya attı. Ancak çok küçük bir başlangıç farkı vardı. Başlangıcı 1,1 biçiminde değil; 2,1 biçiminde idi. Sonraki sayılar aynı Fibonacci sayılarında olduğu gibi toplama yoluyla bulunmaktaydı. Bu durumda Lucas sayıları 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47… biçiminde olur.

Fibonacci sayıları ile Lucas sayılarının karşılaştırılması. Fibonacci ve Lucas sayıları cebirsel kodlama teorisi, lineer sıralı devreler, kuasikristaller, filotaksiler, biyomatematik ve bilgisayar bilimi gibi bir çok alanda çeşitli biçimlerde çalışılmaktadır.

Lucas sayıları, Fibonacci sayılarına benzer birçok özelliğe sahiptir. Bunun sonucunda da Lucas sayıları genellikle Fibonacci Sayıları için çeşitli formüllerde bulunur. Ayrıca, Lucas sayıları için birçok formüle bakarsanız, Fibonacci serisinin de orada olduğunu görürsünüz. Aşağıda ardışık Lucas sayılarının oranlarını görüyorsunuz. Fark etmiş olacağınız gibi bu oranlar da giderek phi sayısına yaklaşıyor.

İşin Arka Planında Neler Olup Bitiyor?

Aslında, bir sonrakini elde etmek için en son iki değer toplanarak oluşturulan her dizi için ve hangi iki pozitif değerle başlarsak başlayalım, sonunda oranı Phi=1.6180339.. sayısına yaklaşan terimlere sahip oluruz. Bunun için küçük bir deneme yapalım.

Birinden herhangi iki sayı seçmesini isteyin (küçükten başlamak en iyisidir, çünkü sayılar çok hızlı büyürler). Diyelim ki 4 ve 3’ü seçtiler. Birini diğerinin altına yazmalarını isteyin. Daha sonra da bu sayıları birbirileri ile toplayarak diğer sayıları elde etsinler. 4 ve 3 için sonuç şu ilk 10 sayı şöyle olacaktır: 4, 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115, 186.

Beş saniyeden daha kısa bir sürede bu 10 sayıyı toplayabilir misiniz? Evet yapabilirsiniz! Bunun için yapmanız gereken dizideki 7. sayıyı 11 ile çarpmak. Yani 44 x 11 = 484 bu 10 sayının toplamıdır. Bunun nedenini anlamak için aşağıdaki çizelgeye göz atınız. Tabloda da fark etmiş olacağınız gibi toplamımız 55x+88y biçimindedir. Bu ise 7. satırdaki toplamın yani 5x+8y’nin tam olarak 11 katıdır. Bu nedenle bu satırdaki sayıyı 11 ile çarpmak bize her zaman genel toplamı verecektir.

Toplama işlemi esnasında Fibonacci sayıları ile uğraşıldığını fark edin.

Şimdi a, b, c, d biçiminde pozitif sayıları a/b < c/d biçiminde yazdığımızı düşünelim. Şimdi kötü bir kesir toplaması yapalım. Yani pay ile payı, payda ile de paydayı toplayalım. Elde ettiğimiz bu yeni kesir her zaman ilk iki kesrin arasında bir yerlerde olacaktır. (İnanmayanlar deneme yapabilirler.) Bu durumda 10. satırdaki sayıyı 9. satırdaki sayıya böldüğümüz zaman aslında sonucumuz aşağıdaki gibi olacaktır. Bu nedenle, bölüm tahmin edildiği gibi 1.61 rakamlarıyla başlamalıdır. Kısacası ardışık terimlerin toplanması ile elde ettiğiniz tüm sayılar bir biçimde sayıların doğası gereği Fibonacci sayıları ile ilişkili olacaktır.

Bu yazıda sizlere kısaca Lucas sayılarını tanıtmaya çalıştık. Bu sayılar ile ilgili daha fazla bilgiye kaynaklarımız aracılığı ile erişebilirsiniz.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu