Şimdiye kadar âşık olan herkes, size önemli olanın âşık olunan kişi hakkındaki küçük şeyler olduğunu söyleyecektir. Günün sonunda paylaşılan aptalca şakalar, onun sabah kahvesi ritüelinin özellikleri, kâğıt kapaklı eski kitapları komodinin üstünde dizme şekli. Bu gibi birbirleriyle ilişkili detaylar bizi tanımlar.
Kimileri için de aşık olunan şey matematiğin kendisidir. Sayıların dünyasına bakar ve tıpkı sahip olduğunuz insanları asla sadece mesleği veya saç rengi ile tanımlamayacağınız gibi sayıların arkasındakini görür bu kişiler. 6, 28 ve 496 gibi sayılar basit bilgi taşıyıcılarından daha yüce bir şeye dönüşür onların gözünde. Kullanımlarından bağımsız olarak sayılar büyüleyici unsurlar haline gelir. Matematiksel ilişkileri, doğanın kendisini destekleyen muazzam bir sistemin karmaşıklığını ifade eder.
Bazen göze çarpmayan ve geniş kapsamlı bu ilişkilerin çalışması, kimi zaman yüksek aritmetik olarak da anılan sayılar teorisidir. Sayı teorisyenleri… -2,-1,0,1,2 … olarak bildiğimiz tam sayıları mercek altına alır. Matematikçiler kısmen teorik kısmen deneysel olarak büyüleyici ve hatta beklenmedik matematiksel etkileşimleri keşfetmeye çalışırlar.
Sayılar Teorisinde Hangi İlişkiler İncelenir?
Aslında tam sayıları ilişkilerine dayanarak farklı sayı tiplerine sınıflandırıyoruz. Elbette, eşit miktarda bölünemeyen tek sayılar (1,3,5…) ve bölünebilen çift sayılar (2,4,6…) vardır. Bir sayının kendisi ile çarpılmasıyla ortaya çıkan karesel sayılar vardır. Örneğin; 2×2=4 ve 3×3=9, 4 ve 9 birer karesel sayıdır. 1(1×1=1) ve 9801(99×99=9801) de öyle. Bu sayıları ayrıca 22, 32, 12 ve 992 olarak gösteriyoruz.
Şimdi, bu örneğe bir başka entrika ekleyelim. Bazı durumlarda karesel sayıları başka karesel sayılar elde etmek için toplayabiliriz ve Pisagor teoremini (a2+b2=c2) sağlayan bu sayılara Pisagor üçlüsü denir. Örnek olarak 32+42=52 ya da 3,4,5. Sayılar teorisi, bu tür matematiksel ilişkilerin analiz edilmesi ile ilgilendiği kadar onlar hakkında yeni sorular sormayı da içerir. Fakat sadece sayılar teorisi nedir mi? Bir ispatı formüle etmek için neler yapılır? Ve neden bazı matematiksel sorular yüzyıllar boyunca cevapsız kalmaya devam ediyor?
Sayılar Teorisinde Cevapsız Kalan Sorular
Matematik dünyası hepsi kendine ait özelliklere sahip olan çok çeşitli sayı tipleri sunar. Matematikçiler sayılar ve sayı grupları arasındaki ilişkiler hakkında teoriler formüle eder. Teorilerini, aksiyomlarla (daha önce gerçek olarak kabul edilen ifadeler) ve teoremlerle (diğer teoremlere veya aksiyomlara dayalı ifadeler) desteklerler.
Parlak ve yeni bir matematiksel teori inşa etmenin ilk adımı ise sayı ilişkileri hakkında teorik bir soru sormaktır. Örneğin; iki küpün toplamı bir küp olabilir mi? Yukarıdaki Pisagor üçlüsünü hatırladınız mı? (3,4,5) gibi bu sayı üçlüsü a2+b2=c2 denklemini çözer. Peki ya a3+b3=c3?
Matematikçi Pierre de Fermat da küpler hakkında aynı soruyu sordu. 1637’de satır satır özenli bir mantık ile hiç şüphe bırakmadan iki küp toplamının bir küp olamayacağını gösteren matematiksel bir kanıt geliştirdiğini öne sürdü. Buna Fermat’ın Son Teoremi diyoruz. Ne yazık ki, notlarına tam kanıt sunmak yerine, Fermat sadece şunu yazdı: ” Bu önermenin gerçekten harika bir gösterimi var fakat kenar boşluğu bunu yazmak için çok dar”
Devam eden üç buçuk asırdan daha fazla bir süre boyunca dünyadaki matematikçiler Fermat’ın kanıtını yeniden keşfetmek için beyhude bir çaba gösterdiler. Bu arayışı sürdüren neydi? Akademik gurur ve yalnızca soyut matematik sevgisi dışında hiçbir şey.
Daha sonra 1993’te, Fermat zamanında henüz keşfedilmemiş olan bilgisayarlı matematik sayesinde İngiliz matematikçi Andrew Wiles 356 yıllık teoremi kanıtlamayı başardı. Uzmanlar, Fermat’ın bilgisayar öncesi çağda bu kadar olağanüstü bir kanıtı oluşturup oluşturmayacağını ya da hatalı olduğunu tartışmaya devam ediyorlar.
Sayılar teorisindeki diğer sorular, sayılar ve sayı gruplarındaki çeşitli algısal ya da teorik örüntülerle ilgilidir. Her şey akılcı düşüncenin en önemli yönüyle başlar: örüntü tanıma. Brown Üniversitesi’nden matematikçi Profesör Joseph H. Silverman sayılar teorisinin 5 temel basamağını düzenledi.
Sayılar Teorisinin 5 temel Basamağı
- Matematiksel veya soyut verileri toplamak
- Verileri incelemek ve örüntü ya da ilişkiler hakkında araştırma yapmak
- Bu ilişkileri açıklayan bir varsayım oluşturmak (genellikle bir denklem şeklinde)
- Varsayımı ilave verilerle test etmek
- Varsayımın doğru olduğunu gösteren bir ispat tasarlamak. İspat bilinen gerçeklerle başlamalı ve istenen sonuç ile bitmeli.
Bu nedenle, Fermat’ın son teoremi gerçekten 365 yıllık bir varsayımdı ve yalnızca 1993’te doğru bir teorem oldu. Diğerleri, mesela Öklid’in asal sayıların sonsuzluğu ispatı M.Ö. 300’den beri sağlam bir matematiksel akıl yürütme modeli olarak kaldı. Hem yeni hem de eski diğer sayı teorisi varsayımları halen ispatlanamadı.
İnsan anlayışının sonlu olduğu kadar, sayılar sonsuzdur. Bu yüzden sayılar teorisi ve çeşitli alt alanları matematik severlerin aklını çağlar boyunca cezbetmeye devam edecektir. Eski problemler düşebilir fakat yeni ve daha çetrefilli varsayımlar ortaya çıkacaktır.
Elif Köse
Çeviri Kaynağı: What Is Number Theory?; http://science.howstuffworks.com
Matematiksel
