Günlük yaşamda, bazı etkinliklerimiz bir şeyi optimize etmeye yöneliktir. İşleri minimum çabayla veya mümkün olduğunca çabuk yapmaya çalışırız. Dikkat çekici biçimde bir çok doğal fenomen de aynı mantıkla hareket eder.
“Hareket yasaları ve ondan türetilenler veya başka şekilde gözlenenler esasında doğanın aynı esaslarına dayanır. Hayvanların hareketlerini, bitkilerin büyümelerini gözlemlediğimizde hepsi en az eylem ihtiyacının bir sonucudur.” – Pierre Louis Maupertuis.
Hareketin var olduğu her yerde doğanın temel prensiplerinden birini görmekteyiz. Bu, fizik biliminin tüm alanlarında temel ve birleştirici bir ilke olan en az eylem ilkesidir. Klasik fiziğin en kapsamlı ve en düzenli hali. Peki, nasıl bir hareketten bahsediliyor?
Bugün bakıldığında Maupertuis’un dediğinden çok daha fazlası ve çok daha ihtişamlı bir görüntü mevcut. Çünkü artık bilim adına çok daha fazlasını biliyoruz. Parçacıkların ve ışığın hareketinden uzaydaki cisimlerin hareketine kadar, makro ve mikro evrenlerin farklı varyasyonlarla ortak bir noktada buluştuğu bir ilke, en az eylem ilkesi.
En Az Eylem İlkesi Nedir?
Uzayda bir doğru oluşturmak için gereken bilgiler ile hareket problemi iki farklı yaklaşımla çözülecektir. Birinci yaklaşıma göre başlangıç koşullarını bilmek gerekecektir. Yani ilk andaki hızı ve konumu gibi bilgiler bize lazımdır. İkinci yaklaşım ise bilinen iki nokta sayesinde hareketin tanımlanması ile ilgilidir. En az eylem prensibi (principle of least action) “ iki nokta arasındaki yol nasıl olmalıdır?” problemine cevap verir.
Bunun için en az değişim gösteren mesafenin, diğer bir deyiş ile en kısa yolun bulunması gerekli olduğunu bize söyler. Bunun için çeşitli varyasyon hesaplamalarını kullanmaktadır. En başta da eylemsizlik yani durağan eylemin açıklaması yapılmalıdır. Bunun en sade hali ile aşağıdaki şekilde ifade edilmektedir.
Matematiğine girmeden ancak varyasyon fonksiyonlarının farklı olduğunu belirterek eylem ilkesine çeşitli alanlardan örnekler verilebilir. Antik Mısır’da iki yer arasındaki mesafenin hesaplanması için kullanılırken; Fermat’ın yaptığı çalışmalar ışığın iki nokta arasında seçeceği yolun en kısa süreli yol olduğu gösterdi. Newton hareket denklemlerine alternatif ve daha simetrik bir bakış açısı getiren Lagrange ve Hamilton, klasik mekanik, klasik elektromanyetik teori gibi konularda eylem ilkesi ile hareket problemlerini daha hızlı çözülebilir hale getirdiler.
En Az Eylem İlkesi Uygulamaları
Özellikle Hamilton’un çalışmaları sayesinde bir asır sonra özel ve genel görelilikte, kuantum mekaniğinde ve parçacık fiziğinde en az eylem ilkesinin uyumluluğu gösterildi. Elektronların rölativistik davranışı ya da Schrödinger’in dalga denklemi hesaplamalarında kullanıldı.
Aynı zamanda bu ilke, kuantum kuramı ile birlikte kimyada bildiğimiz her şeyin özetiyken, biyolojide kas yapısı ve hareketinden, hücresel olaylara kısaca doğanın davranışına dair bildiğimiz her şeyde durağan eylem ilkesi ile karşılaşırız.
“Lisedeyken fizik öğretmenim, bir gün fizik dersinden sonra beni çağırdı ve ‘Sıkılmış görünüyorsun; sana ilginç bir şey söylemek istiyorum’ dedi ve o zamandan beri her zaman büyüleyici bulduğum bir şey söyledi. Konu her ortaya çıktığında üzerinde çalışıyorum.…”
Richard Feynman; En az eylem ilkesi üzerine; (Tong D., Classical Dynamics)
Feynman daha sonra en az eylem ilkesine kendi çalışmalarında da yer vererek varlığını kuantum elektrodinamiği çalışmalarında göstermiştir. Ona göre eylem prensibi, Newton yasalarından çok daha kapsamlı bir ilkeydi. Çünkü doğanın davranışına dair sade ve çok daha kapsamlı bir matematiksel gösterime sahipti.
Sonucunda, yapılan matematiksel çalışmalar sayesinde görüyoruz ki farklı uzaylarda (Öklid uzayı, faz uzayı, matris uzayı, Hilbert uzayı vs) ve eğri uzay geometrisinde, Lie cebrinde bu prensibin geçerliğini gösterebilmemiz mümkün.
Sonuç Olarak;
Bu ilke hareket yasalarının yanı sıra başka fiziksel kavramların açıklanması için de kullanılıyor. Varyasyon fonksiyonları aracılığıyla metriğin, enerjinin, momentumun ve açısal momentumun korunumları ya da korunumu bozan unsurlarını göstermek mümkün olur.
Sonuç olarak bildiğimiz fizik yasaları ve doğanın davranışına göre, her zaman herhangi iki nokta arasındaki en kısa mesafenin seçildiğini, hareketin olduğu her yerde en az eylem ilkesinin varlığını görüyoruz.
Kaynakça:
- Goldstein, Herbert & Poole, Charles & Safko, John. (2001). Classical Mechanics (3rd Edition)
- The Principle of Least Action; https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_19.html
- N. S. Manton; The Principle of Least Action in Dynamics; Bağlantı: https://www.damtp.cam.ac.uk/
- Explaining the Principle of Least Action: Physics Mini Lesson; Bağlantı: https://www.youtube.com/
Matematiksel
