Fizik

Doğanın En Temel Davranışı: En Az Eylem İlkesi

“Hareket yasaları ve ondan türetilenler veya başka şekilde gözlenenler esasında doğanın aynı esaslarına dayanır. Hayvanların hareketlerini, bitkilerin büyümelerini gözlemlediğimizde hepsi en az eylem ihtiyacının bir sonucudur.” -Pierre Louis Maupertuis. Hareketin var olduğu her yerde doğanın temel prensiplerinden birini görmekteyiz; en az eylem ilkesi ya da durağan eylem ilkesi. Klasik fiziğin en kapsamlı ve en düzenli hali. Peki, nasıl bir hareketten bahsediliyor? Bugün bakıldığında Maupertuis’un dediğinden çok daha fazlası ve çok daha ihtişamlı bir görüntü mevcut, çünkü artık bilim adına çok daha fazlasını biliyoruz. Parçacıkların ve ışığın hareketinden uzaydaki cisimlerin hareketine kadar, makro ve mikro evrenlerin farklı varyasyonlarla ortak bir noktada buluştuğu bir ilke, en az eylem ilkesi.

En Az Eylem İlkesi nedir?

Uzayda bir doğru oluşturmak için gereken bilgiler ile hareket problemi iki farklı yaklaşımla çözülebilir. Birinci yaklaşıma göre başlangıç koşullarını bilmek gereklidir yani ilk andaki hızı ve konumu gibi bilgiler; ikinci yaklaşım ise bilinen iki nokta sayesinde hareketin tanımlanmasıdır. En az eylem prensibi (principle of least action) “ iki nokta arasındaki yol nasıl olmalıdır?” problemine en az değişim gösteren mesafenin, diğer bir deyiş ile en kısa yolun bulunması olduğunu söyler. Bunun için çeşitli varyasyon hesaplamalarını kullanmaktadır. Durağan eylemin açıklaması, en sade hali ile aşağıdaki şekilde ifade edilir:

En az Eylem İlkesi Uygulamaları

Matematiğine girmeden ancak varyasyon fonksiyonlarının farklı olduğunu belirterek eylem ilkesine çeşitli alanlardan örnekler verilebilir: Antik Mısır’da iki yer arasındaki mesafenin hesaplanması için kullanılırken; Fermat’ın yaptığı çalışmalar ışığın iki nokta arasında seçeceği yolun en kısa süreli yol olduğu gösterdi. Newton hareket denklemlerine alternatif ve daha simetrik bir bakış açısı getiren Lagrange ve Hamilton, klasik mekanik, klasik elektromanyetik teori gibi konularda eylem ilkesi ile hareket problemlerini daha hızlı çözülebilir hale getirdiler.

Özellikle Hamilton’un çalışmaları sayesinde bir asır sonra özel ve genel görelilikte, kuantum mekaniğinde ve parçacık fiziğinde en az eylem ilkesinin uyumluluğu gösterildi. Elektronların rölativistik davranışı ya da Schödinger’in dalga denklemi hesaplamalarında kullanıldı. Aynı zamanda bu ilke, kuantum kuramı ile birlikte kimyada bildiğimiz her şeyin özetiyken, biyolojide kas yapısı ve hareketinden, hücresel olaylara kısaca doğanın davranışına dair bildiğimiz her şeyde durağan eylem ilkesi ile karşılaşırız.

“Lisedeyken fizik öğretmenim, bir gün fizik dersinden sonra beni çağırdı ve ‘Sıkılmış görünüyorsun; sana ilginç bir şey söylemek istiyorum’ dedi ve o zamandan beri her zaman büyüleyici bulduğum bir şey söyledi. Konu her ortaya çıktığında üzerinde çalışıyorum.…”

Richard Feynman; En az eylem ilkesi üzerine; (Tong D., Classical Dynamics)
Feynman fizik dersleri(Kaynak-3)

Feynman daha sonra en az eylem ilkesine kendi çalışmalarında da yer vererek varlığını kuantum elektrodinamiği çalışmalarında göstermiştir. Ona göre eylem prensibi, Newton yasalarından çok daha kapsamlı bir ilkeydi çünkü doğanın davranışına dair sade ve çok daha kapsamlı bir matematiksel gösterime sahipti. Yapılan matematiksel çalışmalar sayesinde görüyoruz ki farklı uzaylarda (Öklid uzayı, faz uzayı, matris uzayı, Hilbert uzayı vs) ve eğri uzay geometrisinde, Lie cebrinde bu prensibin geçerliğini gösterebilmemiz mümkün.

Bu ilke hareket yasalarının yanı sıra başka fiziksel kavramların açıklanması için de kullanılıyor. Varyasyon fonksiyonlarını kullanarak metriğin, enerjinin, momentumun ve açısal momentumun korunumları ya da korunumu bozan unsurları gösterilebilir. Sonuç olarak bildiğimiz fizik yasaları ve doğanın davranışına göre, her zaman herhangi iki nokta arasındaki en kısa mesafenin seçildiğini, hareketin olduğu her yerde en az eylem ilkesinin varlığını görüyoruz.

İrem ŞALK

Kaynakça:

  1. Goldstein, Herbert & Poole, Charles & Safko, John. (2001). Classical Mechanics (3rd Edition)
  2. https://cds.cern.ch/record/101498/files/Thesis-1942-Feynman.pdf
  3. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_19.html
  4. Suskind, L.(2018). Kuramsal Başlangıç. İstanbul: Alfa Yayınları.

Matematiksel

İrem Şalk

Çocukluğumda matematiğe ve lise ile birlikte ise fiziğe ilgi duymaya başladım. Şu an İTÜ-Fizik mühendisliği 4. Sınıf öğrencisiyim. Hayal etmeyi ve yeni şeyler keşfetmeyi sevmemin; doğa ve sanata olan düşkünlüğümün temelinde evrenin bu köşesinde anlamaya çalıştığımız doğa bilimlerini görüyorum. Bu yüzden, benim doğa da gördüğüm hayran bırakacak güzelliği, kaosu ve sadeliği, belirlenemez ve belirlenebilir davranışları imkanım olduğu kadar başkaları ile paylasabilmek için yazılar yazma kararı aldım. Hep birlikte yüzümüzü aydınlığa ve bilime dönebilmemiz umuduyla.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.