Bir Çoğumuzu Şaşırtan Eksik Kare Bulmacasının Çözümü Nedir?

Eksik Kare Bulmacası, ünlü bir geometrik yanılsamadır. İlk şekilde dört farklı parçadan oluşan bir dik üçgen görürüz. Sonra aynı parçalar yer değiştirir ve yine aynı üçgeni oluşturuyormuş gibi görünür. Ancak bu kez üçgenin içinde boş bir kare ortaya çıkar.

Bu boşluk nereden gelir? Parçalardan biri değişmiş olamaz. Sadece yer değiştirerek toplam alanın artması da mümkün değildir. O hâlde sorun, şeklin bize ilk bakışta gösterdiği şeyde saklıdır.

Aslında matematik öğretmenleri bu bulmacadan hoşlanacaktır. Çünkü bu bulmaca bize akıl yürütme ve eleştirel düşünme becerilerini öğretme şansını da verir. Öğrencilerin çoğu matematik dersini kural izlemek ve işlem pratiği yapmak olarak görür. Oysa matematikte en az bunlar kadar önemli olan şey, öğrencilerin matematiksel düşünmeyi öğrenmesidir.

Eksik Kare Bulmacasının Çözümü Nedir?

Bulmacanın anahtarı, 13’e 5 ölçülerindeki şekillerin aslında gerçek birer üçgen olmamasıdır. Çünkü hipotenüs gibi görünen uzun kenar düz değildir, çok hafif biçimde bükülür. Verilen parçalarla kusursuz bir 13’e 5 dik üçgen oluşturmak mümkün değildir.

Bunu parçaların kenar oranlarına bakarak anlayabiliriz. Şekildeki büyük üçgenin dik kenar oranı 13’e 5, yani 2,6’dır. Orta büyüklükteki üçgende bu oran 8’e 3, yaklaşık 2,667’dir. Küçük üçgende ise 5’e 2, yani 2,5’tir. Bu oranlar aynı olmadığı için üçgenler benzer değildir. Dolayısıyla bu parçalar yan yana geldiğinde tek ve düz bir hipotenüs oluşturmaz.

Dışarıdan baktığımızda büyük şeklin dik kenarları 13 ve 5 birim gibi görünür. Bu durumda oran 13’e 5, yani 2,6 olur. Ancak parçaların içindeki üçgenler aynı orana sahip değildir. Orta büyüklükteki üçgenin dik kenar oranı 8’e 3, yaklaşık 2,667’dir. Küçük üçgende ise bu oran 5’e 2, yani 2,5’tir. Bu oranlar birbirine eşit olmadığı için üçgenler benzer değildir.

Üçgenler benzer olmadığında, eğimli kenarları aynı doğru üzerinde birleşmez. Buna rağmen çizimde bu kenarlar tek bir düz hipotenüs gibi görünür.

Sarı, kırmızı, mavi ve yeşil parçaların toplam alanı 32 birim karedir. Fakat şekil 13 birim genişliğinde ve 5 birim yüksekliğinde bir dik üçgen gibi algılandığında, alanın 32,5 birim kare olması gerektiği izlenimi doğar. Oysa ortada gerçekten 13’e 5 ölçülerinde bir üçgen yoktur. Bu nedenle “fazladan” ya da “eksik” gibi görünen alan, parçaların alanının değişmesinden değil, şeklin üçgen sanılmasından kaynaklanır.

İki düzenlemede de uzun kenar çok az eğrilir, ancak bu eğrilik farklı yönlerdedir. İlk düzenlemede hipotenüs gibi görünen kenar bir yönde, ikinci düzenlemede ise ters yönde bükülür. Bu iki küçük fark üst üste geldiğinde, toplamda bir birim karelik alan ortaya çıkar. Bulmacada boş kare olarak gördüğümüz alan tam olarak budur.

Eksik Kare Bulmacası Türünün Tek Örneği Değildir!

Aynı türden başka bir bulmacada, animasyonda gösterildiği gibi, dört eş dörtgen ve küçük bir kare vardır. Bu parçalar birlikte daha büyük bir kare oluşturur. Dörtgenler kendi merkezleri etrafında döndürüldüğünde küçük karenin bulunduğu boşluğu doldurur. Buna rağmen şeklin toplam alanı değişmemiş gibi görünür.

Bu görünürdeki paradoks, yeni büyük karenin kenar uzunluğunun başlangıçtaki büyük karenin kenar uzunluğundan biraz daha küçük olmasıyla açıklanır. Büyük karenin kenar uzunluğu a, her bir dörtgende karşılıklı iki kenar arasındaki açı θ olsun. Bu durumda iki alan arasındaki oran sec²θ − 1 ile verilir. θ = 5° için bu değer yaklaşık 1,00765’tir. Bu da yaklaşık yüzde 0,8’lik bir farka karşılık gelir.

Sonuç Olarak;

Eksik kare bulmacası bize önemli bir şeyi hatırlatır. Çizimler çok ikna edici görünebilir, ama tek başına kanıt sayılmaz. Bazen bir şekil, küçük bir farkı gizleyebilir ya da bizi yanlış bir varsayıma yönlendirebilir. Bu bulmacada da gözümüz uzun kenarı düz bir hipotenüs gibi algılar. Oysa dikkatli hesap yaptığımızda şeklin gerçek bir üçgen olmadığını görürüz.

Bu yüzden çizimler matematikte güçlü bir başlangıç noktasıdır, ama son söz değildir. Onları bir mikroskop gibi düşünebiliriz. Gerçeği oluşturmazlar, fakat bazı ayrıntıları daha görünür hâle getirirler. Doğruya ulaşmak için çizimin gösterdiğini akıl yürütme, ölçme ve hesaplama ile doğrulamamız gerekir.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• The ‘Missing Square Puzzle’ Is Completely Mesmerizing. Can You Solve It?; yayınlanma tarihi: 25 Mayıs 2022; Kaynak site: Popular Mechanics. Bağlantı: The ‘Missing Square Puzzle’ Is Completely Mesmerizing. Can You Solve It/
• ^ Martin, Gardner (1956). Mathematics Magic and Mystery. Dover. pp. 139–150.

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel