Sorular ve Bulmacalar

Bir Çoğumuzu Şaşırtan Eksik Kare Bulmacasının Çözümü de Şaşırtıcı

Missing square puzzle yani eksik kare bulmacası olarak bilinen kapak görselinde kullandığımız bulmacaya ait videolara bir yerlerde rastlamış olmanız olasıdır. Bu bulmacada en başta dört farklı şeklin birleşiminde oluşan bir dik üçgen görürsünüz. Daha sonrasında bu üçgenler hareket ettirilerek yerleri değiştirilir. Bunun sonucunda yeni yerleşim biçiminde tam ortada bir eksik kare kalır. Aşağıdaki örnekte de bunu bir kere daha görebilirsiniz.

İşte bu noktada ister istemez bunun nasıl olduğu akla gelir. Sonuçta dört parçanın sadece yerini değiştirdik. Bu nedenle başlangıçtaki parçaların kapladığı alan ile şimdiki alanın birbirine eşit olması gerekir. Ancak bir biçimde yeni üçgenimizde bir küçük kare hiç yoktan ortaya çıkmış gibidir.

Aslında matematik öğretmenleri bu bulmacadan hoşlanacaktır. Çünkü bu bulmaca bize akıl yürütme ve eleştirel düşünme becerilerini öğretme şansını da verir. Bu gibi bulmacaların çözümünü anlamak, kalıpların dışında düşünme becerisi gerektirir. Dört şeklin de öncesi ve sonrasında aynı olduğunu biliyoruz, ancak büyük dik üçgenin de aynı boyut ve şekilde kaldığını varsaydık. Bu varsayım aslında bizim ilk hatamızdı!

İkinci hatamız ise daha ilginçtir. Çünkü iki dik üçgen de aslında bir üçgen bile değildir. Hem öncesi hem de sonrasında, üçgenin varsayılan hipotenüsü yani en uzun kenarı düz bir çizgi değildir. Bunun nedenini anlamak için benzerlik denen bir geometri kavramına ihtiyacımız var.

Eksik Kare Bulmacasının Çözümü Nedir?

Martin Gardner’a göre bu özel bulmaca 1953’te New York’lu amatör bir sihirbaz Paul Curry tarafından icat edildi. Bununla birlikte, benzer bulmacalar aslında 16. yüzyılın başından beri bilinmektedir. Bu çok zekice tasarlanmış bulmacayı gelin şimdi yakında inceleyelim.

İki şekil benzer ise, açı ölçüleri aynı ve kenar uzunlukları orantılıdır. Aşağıda, kenar uzunlukları 20, 48 ve 52 olan gerçek bir dik üçgen var. İstersek içinde kesik çizgilerle gösterilen yerden iki tane daha dik üçgen oluşturabiliriz.

Bu dik üçgenleri de aşağıda görüyorsunuz. Orijinal dik üçgenimizin dik kenarlarının birbirine oranı 48:20 yani 2,4:1 kadardır. Ondan kestiğimiz parçalardan oluşan diğer dik üçgenlerimizin dik kenarlarının birbirine oranı 24:10 yani 2,4:1 ve 12:5 yani 2,4:1 kadardır. Buradan da anlıyoruz ki bu üç üçgen birbirine benzerdir. ( Açıların da birbirinin aynısı olduğuna dikkat ediniz.)

Şimdi eksik kare bulmacamızdaki üçgenlere bakalım. Şekli bir kere daha hatırlayalım. Sonra da tek tek üçgenleri inceleyelim.

eksik kare bulmacası

Aşağıdaki üçgenlerde kenarlara ait kutucukları sayarak sizin de göreceğiniz gibi, dik kenarlarının birbirine oranı büyük üçgen için 13:5 (2.6), orta üçgen için 8:3 (2.667) ve küçük üçgen için 5:2 (2.5) şeklindedir. Üçgenlerin kenarlarının oranları aynı değildir. Bu da, üçgenlerin benzer olmadığı anlamına gelir. Bunun bir diğer anlamı ise açılarının aynı olmadığı biçiminde olacaktır.

Sonuçta bu üçgenleri bir araya getirdiğimizde, eşit olmayan açılar nedeniyle gerçek bir hipotenüs ortaya çıkmaz. Bulmacanın başında gösterilen elde ettiğimiz şeklin hipotenüsü aslında aşağıda solda, sonradan elde ettiğimiz üçgende ise sağdadır. Elbette bu çizim sizin farkı görebilmeniz için biraz abartılmış durumdadır. Gerçekte bu fark çok az olduğu için bulmacaya baktığımız zaman anlayamayız.

İkinci üçgendeki dışa doğru taşan kısım aslında bize bulmacanın cevabını verir. Birinci üçgendeki içe doğru bükülme ile ikinci üçgendeki dışa doğru bükülmenin toplamı kabaca bir birim kare yapar. Bu da bizim neden fazladan bir kareye sahip olduğumuzun cevabı olacaktır.

Sonuç Olarak;

Bunun gibi bulmacalar üzerinde çalışmak matematiksel akıl yürütmeyi geliştirir. Belirli bir argümanda mevcut olan tüm varsayımları eleştirel bir gözle gözden geçirmemiz gerektiğini bize anımsatır. Herhangi bir matematiksel argümanı değerlendirirken bu yaklaşımı kullanın. Birçok yerde matematiksel hataların ortaya çıktığını kolayca fark edeceksiniz.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu