Geometri

Dört Renk Teoremi Matematiği Nasıl Değiştirdi?

Teknolojinin gelişimi ile hayatımıza Google haritalar girse de meraklıları için halen haritalar önemli öğrenme araçlarındandır. Haritalar aynı zamanda dört renk teoremi sayesinde matematikçilerin özel ilgi odağıdır. Dört renk teoreminin ne olduğunu kolayca anlamanın bir yolu dünya haritasına bakmaktır. Siyasi haritalarda ülkeler kolay ayırt edilmek için farklı renklerde boyanır. Burada dikkat edilmesi gereken en bariz kural komşu iki ülkenin aynı renge boyanmamasıdır. Dört renk teoremi tam olarak da bununla ilgilidir. Bu teoremin güzelliği, karmaşıklıklarına veya sınır çizgilerinin yoğunluğuna bakılmaksızın tüm haritalara uygulanması gerçeğinde yatmaktadır. Detaylara geçmeden önce teoremin geçmişini kısaca gözden geçirelim.

Kaynaklara göre dört renk teoremi ile ilgili ilk soru 23 Ekim 1852’de Francis Guthrie’nin aklına geldi. Kendisi bu soruyu İngiltere haritasını renklendirmeye çalışırken sadece dört farklı renge ihtiyaç duyulduğu fark etmişti. O sırada Guthrie’nin erkek kardeşi, Londra Üniversitesi’nde ünlü matematikçi August De Morgan’ın öğrencisiydi. Mantık konusundaki çalışmaları nedeniyle kendi alanında ünlü biri olan De Morgan, soruyu cevaplayamadı ve O da soruyu meslektaşı Hamilton’a sordu. Fakat sorunun cevabını Hamilton da bilmiyordu. Francis Guthrie’nin sorusu şuydu: Her türlü haritanın en fazla dört renk kullanarak boyanabileceğini ispatlayabilir miyiz?

Dört Renk Teoremini İspat Etme Girişimleri

Dört Renk teoremi

Zamanla soru Avrupa ve Amerika’nın matematik camialarında bilinir oldu. Viktorya dönemi bilimcisi Galton’un el atmasıyla sorunun şöhreti daha da arttı. Ancak hiç kimse önemli bir ilerleme kaydetmedi. 1878’de, Arthur Cayley (1821-1895), soru ile ilgilenmeye başladı. 1879’da haritaların renklendirilmesi üzerine kısa bir makale yayınladı. Makalesinde bir ispat girişimindeki bazı zorlukları açıkladı ve soruna yaklaşma şekline bazı önemli katkılarda bulundu. 

Bir ara Cayley’in öğrencisi Alfred Bray Kempe de bir ispat denemesine girişti ancak Kempe’nin ispatı uzundu ve teknik ustalık gerektiri­yordu. Birkaç kişi ikna olmamışsa da genel kabul görmedi. Zaten 10 yıl gibi bir zaman içinde de Percy Heawood, Kempe’nin argümanında bir hatayı bulunca problemin çözüldüğüne dönük hayaller rafa kalktı. İspatın tamamlanması için 80 yılın daha geçmesi ve süper bilgisayarların yardımı gerekecekti.

Bu kadar basit olan problem, baştan çıkarıcı derecede zor olduğunu kanıtladı. 1860’da De Morgan sorunu ve kanıtını Amerika Birleşik Devletleri’ne götürdü. Amerika’da ünlü bir matematikçi ve astronom Benjamin Price (1809-1880), bu varsayımı araştırmak için mantıksal yöntemler geliştirmeyi seçti. De Morgan, her biri diğer üçüne dokunan dört bölgeli bir haritada, birinin tamamen diğerlerinin içine alındığı gerçeğini kullandı. Bunu ispatlamanın bir yolunu bulamadığı için, bunu bir aksiyom, ispatının temeli olarak kullandı.

Dört Renk Teoreminin Çözümü

Sonunda Guthrie’nin sorusunu sormasından 124 yıl sonra, Illinois Üniversitesi’nde matematikçi olan Kenneth Appel ve Wolfgang Haken tarafından 1976’da bir kanıt üretildi. Ancak bu sorunun cevabını IBM 370 bilgisayarlarının yardımıyla bulmuşlardı. Sonuçta küçük bir çocuğun bile anlayabileceği, öte yandan bazı en büyük matematikçileri yıllarca zorlayan soru çözülmüştü, ama bu durumdan matematikçiler pek de mutlu değildi. Sorun, ispatın bilgisayarla yapılmış olmasından kaynaklanıyordu.

Bu çözüm geleneksel matematiksel ispat biçiminin dışında kalıyordu. Bir ispatın bilgisayarla yapılması haddi aşmak demekti. “Kontrol edilebilirlik” sorunu doğuyordu. İspatın dayandığı binlerce satırı kim kontrol edebilirdi? Bilgisayar kodlarında hata olağan bir durumdu. Ve böyle bir hata tüm ispatı geçersiz kılabilirdi. Hepsi bu da değil.

Matematikçileri cezbeden şey işin bilinmez kısmıydı ve bir makine çıkıp size sadece evet cevabını veriyordu. Çözümün bir güzelliği, estetiği yoktu. Ve bu matematiksel açıdan kötü bir ispattı. 1976’dan bu yana kontrol edilmesi gereken düzenlemeler yarı yarıya azaltıldı. Bilgisayarlar ise çok daha hızlandılar. Ama matematik dünyası daha kısa ve geleneksel yapıda bir matematikçinin ispatını halen beklemekte…

Göz atmak isterseniz;

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.