Teknolojinin gelişimi ile hayatımıza Google haritalar girse de meraklıları için haritalar halen önemli öğrenme araçlarındandır. Aslına bakarsanız haritalar aynı zamanda dört renk teoremi sayesinde matematikçilerin de özel ilgi odağıdır.
Dört renk teoreminin ne olduğunu kolayca anlamanın bir yolu aslında sadece dünya haritasına bakmaktır. Sonucunda siyasi haritalarda ülkeler farklı renklerde boyalıdır. Ancak burada dikkat edilmesi gereken en bariz kural komşu iki ülkenin aynı renge boyanmamasıdır. Dört renk teoremi tam olarak da bununla ilgilidir. Aşağıda tam olarak dört renkle renklendirilmiş bir dünya haritası örneği görüyorsunuz.
Dört Renk Teoremi İle Nasıl Tanıştık?
Kaynaklara göre dört renk teoremi ile ilgili ilk soru 23 Ekim 1852’de, Güney Afrikalı bir matematikçi ve botanikçi Francis Guthrie’nin aklına geldi. Kendisi İngiltere haritasını renklendirmeye çalışırken sadece dört farklı renge ihtiyaç duyulduğu fark etmişti. O sırada Guthrie’nin erkek kardeşi de, Londra Üniversitesi’nde ünlü matematikçi August De Morgan’ın öğrencisiydi. Doğal olarak bu soru sonrasında da ona ulaştı.
Ancak mantık konusundaki çalışmaları nedeniyle kendi alanında ünlü biri olan De Morgan, soruyu cevaplayamadı. O da soruyu İrlandalı bir matematikçi olan William Hamilton’a sordu. Fakat sorunun cevabını Hamilton da bilmiyordu. Francis Guthrie’nin sorusu şuydu. Her türlü haritanın en fazla dört renk ile boyanacağını ispat etmek mümkün mü?
Dört Renk Teoremini İspat Etme Girişimleri
Zaman içinde bu soru diğer matematikçilerin de ilgi odağına girdi. Francis Galton’un el atmasıyla sorunun şöhreti daha da arttı. Ancak hiç kimse önemli bir ilerleme kaydetmedi. 1878’de, Arthur Cayley (1821-1895), soru ile ilgilenmeye başladı. 1879’da haritaların renklendirilmesi üzerine kısa bir makale yayınladı. Ancak makalesinde bir ispat vermekten ziyade ispat etmenin neden zor olduğunu açıkladı.
Bir ara Cayley’in öğrencisi Alfred Bray Kempe de bir ispat denemesine girişti. Aslında başardı ancak ispatı çok uzundu. Birkaç kişi ikna olsa da genel kabul görmedi. Zaten 10 yıl gibi bir zaman içinde de Percy Heawood, Kempe’nin argümanında bir hatayı bulunca problemin çözüldüğüne dönük hayaller rafa kalktı. Ancak bu esnada bir gelişme oldu. Kendisi dört renk olmasa da her siyasi haritanın 5 renge boyanabileceğini kanıtladı. Ama 4 rengin yetip yetmeyeceği uzun süre bilinemedi.
Kısacası matematikçiler çok denediler. Çizdikleri her haritayı 4 renge boyayabiliyorlardı. Ama bunu matematiksel olarak kanıtlayamıyorlardı. Aslında bunu yapabilmeleri için 80 yılın daha geçmesi ve süper bilgisayarların yardımı gerekecekti. Ancak ne yazık ki o sıralarda onların bunu bilmesi mümkün olamazdı.
Dört Renk Teoreminin Çözümü Matematik Camiasını Karıştıracaktı
Sonunda Guthrie’nin sorusunu sormasından 124 yıl sonra sorunun çözümü yapıldı. Çözüm 1976 yılında, Illinois Üniversitesi’nde matematikçi olan Kenneth Appel ve Wolfgang Haken’den geldi. Ancak bir sorun vardı. Bu sorunun cevabını IBM 370 bilgisayarlarının yardımıyla bulmuşlardı. Appel ve Hakel yüzlerce sayfa süren bir kanıtla, bu çözüme ulaşmışlardı.
Soru çözülmüştü ama matematikçiler çok da mutlu değildi. Bunun temel nedeni sorunun bir bilgisayar tarafından çözülmesiydi. Bu çözüm geleneksel matematiksel ispat biçiminin dışında kalıyordu. Ayrıca “Kontrol edilebilirlik” sorununu doğuyordu. Sonucunda bu ispatın dayandığı binlerce satırı kimsenin kontrol etmesi olası değildi. Bilgisayar kodlarında hata olağan bir durumdu. Ve böyle bir hata tüm ispatı geçersiz kılabilirdi. Ancak bu bahanenin arka planında başka temel başka bir neden daha vardı.
4-renk teoreminden bugüne bilgisayar yardımıyla ispatlanan başka tahminler de oldu. 2016 Mayıs ayında Marijn Heule, Oliver Kullmann ve Victor Marek tarafından verilen “Pisagor üçlüleri problemi”nin çözümü, buna başka bir örnektir. Bu çözümün ispatı ise 200 terabit hacmindedir.
Matematikçileri cezbeden şey işin bilinmez kısmıydı. Ancak bir makinenin çıkıp size sadece evet cevabını vermesinin güzelliği ve estetiği yoktur. Ve bu matematiksel açıdan bu kötü bir ispattır. Bugüne bu teoremi bilgisayar kullanmadan kanıtlayabilen çıkmadı. Matematik dünyası dört renk problemi için hala daha kısa ve geleneksel yapıda bir matematikçinin ispatını bekliyor.
Göz atmak isterseniz;
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Four color theorem; https://en.wikipedia.org/wiki/Four_color_theorem
- The Four Color Theorem; https://www.mathpages.com
- Myths of maths: The four colour theorem; Yayınlanma tarihi: 23 Mart 2020; Bağlantı: https://plus.maths.org
Dip Not:
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım
Matematiksel
