Geometri

Dört Renk Teoremi Matematiği Nasıl Değiştirdi?

Teknolojinin gelişimi ile hayatımıza Google haritalar girse de meraklıları için halen haritalar önemli öğrenme araçlarındandır. Haritalar aynı zamanda dört renk teoremi sayesinde matematikçilerin özel ilgi odağıdır. Dört renk teoreminin ne olduğunu kolayca anlamanın bir yolu dünya haritasına bakmaktır. Siyasi haritalarda ülkeler farklı renklerde boyalıdır. Burada dikkat edilmesi gereken en bariz kural komşu iki ülkenin aynı renge boyanmamasıdır. Dört renk teoremi tam olarak da bununla ilgilidir.

Bu teoremin güzelliği, karmaşıklıklarına veya sınır çizgilerinin yoğunluğuna bakılmaksızın tüm haritalara uygulanması gerçeğinde yatmaktadır. Detaylara geçmeden önce teoremin geçmişini kısaca gözden geçirelim.

Kaynaklara göre dört renk teoremi ile ilgili ilk soru 23 Ekim 1852’de Francis Guthrie’nin aklına geldi. Kendisi bu soruyu İngiltere haritasını renklendirmeye çalışırken sadece dört farklı renge ihtiyaç duyulduğu fark etmişti. O sırada Guthrie’nin erkek kardeşi, Londra Üniversitesi’nde ünlü matematikçi August De Morgan’ın öğrencisiydi. Mantık konusundaki çalışmaları nedeniyle kendi alanında ünlü biri olan De Morgan, soruyu cevaplayamadı. O da soruyu meslektaşı Hamilton’a sordu. Fakat sorunun cevabını Hamilton da bilmiyordu. Francis Guthrie’nin sorusu şuydu. Her türlü harita en fazla dört renk kullanarak boyanabileceğini ispatlayabilir miyiz?

Dört Renk Teoremini İspat Etme Girişimleri

Dört Renk teoremi

Zamanla soru Avrupa ve Amerika’nın matematik camialarında bilinir oldu. Viktorya dönemi bilimcisi Galton’un el atmasıyla sorunun şöhreti daha da arttı. Ancak hiç kimse önemli bir ilerleme kaydetmedi. 1878’de, Arthur Cayley (1821-1895), soru ile ilgilenmeye başladı. 1879’da haritaların renklendirilmesi üzerine kısa bir makale yayınladı. Makalesinde bir ispat girişimindeki bazı zorlukları açıkladı.

Bir ara Cayley’in öğrencisi Alfred Bray Kempe de bir ispat denemesine girişti. Ancak ispatı uzundu ve teknik ustalık gerektiri­yordu. Birkaç kişi ikna olsa da genel kabul görmedi. Zaten 10 yıl gibi bir zaman içinde de Percy Heawood, Kempe’nin argümanında bir hatayı bulunca problemin çözüldüğüne dönük hayaller rafa kalktı. Ancak bu esnada her siyasi haritanın 5 renge boyanabileceğini kanıtladı. Ama 4 rengin yetip yetmeyeceği uzun süre bilinemedi.

Beş renk teoremini kanıtlanması oldukça kolaydır. Percy John Heawood Kempe’nin çalışmasına dayanan beş renk teoremini kanıtlamıştı. Beş renkli bir harita örneği. Kaynak: https://en.wikipedia.org/

Kısacası matematikçiler çok denediler. Çizdikleri her haritayı 4 renge boyayabiliyorlardı. Ama bunu matematiksel ola­rak kanıtlayamıyorlardı. Aslında bunu yapabilmeleri için 80 yılın daha geçmesi ve süper bilgisayarların yardımı gerekecekti. Ancak ne yazık ki bunu bilmiyorlardı.

Dört Renk Teoreminin Çözümü

Sonunda Guthrie’nin sorusunu sormasından 124 yıl sonra soru çözülebildi. Çözüm 1976 yılında, Illinois Üniversitesi’nde matematikçi olan Kenneth Appel ve Wolfgang Haken’den geldi. Ancak bir sorun vardı. Bu sorunun cevabını IBM 370 bilgisayarlarının yardımıyla bulmuşlardı. Ap­pel ve Hakel yüzlerce sayfa süren bir kanıtla, her haritanın bir bölümün 1936 tane haritadan birine benzeyen bir parçası olması gerektiğini kanıtladılar. Bu parçalar öyle parçalardı ki, eğer harita 4 renge boyanamıyorsa, bu parçalar da 4 renge boyana­mayacaktı. Ama bilgisayar yardımıyla bu 1936 haritanın her bi­rinin 4 renge boyanabileceği kanıtlandı.

4 farklı renk ile boyanmış bir harita örneği

Sonuçta küçük bir çocuğun bile anlayabileceği, öte yandan bazı en büyük matematikçileri yıllarca zorlayan soru çözülmüştü. Ama bu durum matematikçileri pek de mutlu etmedi. Sorun, ispatın bilgisayarla yapılmış olmasından kaynaklanıyordu.

Bu çözüm geleneksel matematiksel ispat biçiminin dışında kalıyordu. Bir ispatın bilgisayarla yapılması haddi aşmak demekti. “Kontrol edilebilirlik” sorunu doğuyordu. İspatın dayandığı binlerce satırı kim kontrol edebilirdi? Bilgisayar kodlarında hata olağan bir durumdu. Ve böyle bir hata tüm ispatı geçersiz kılabilirdi. Hepsi bu da değil.

Matematikçileri cezbeden şey işin bilinmez kısmıydı. Ancak bir makine çıkıp size sadece evet cevabını veriyordu. Çözümün bir güzelliği, estetiği yoktu. Ve bu matematiksel açıdan kötü bir ispattı. Bugüne bu teoremi bilgisayar kullanmadan kanıtlayabilen çıkmadı. Matematik dünyası dört renk problemi için hala daha kısa ve geleneksel yapıda bir matematikçinin ispatını bekliyor.

Göz atmak isterseniz;

Kaynaklar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu