İlginç Sorular ve Bulmacalar

Hanoi Kulesi: Kıyamet Ne Zaman Kopacak?

Hanoi kulesi, 1883 yılında E. Lucas tarafından icat edilmiş bir bulmacadır. Bu bulmacadaki amaç, sol tarafta üst üste duran diskleri, her seferinde bir disk hareket ettirmek kaydıyla, sağ tarafa taşımaktır. Bu sırada hiçbir disk, kendinden küçük olanın üstüne konulamaz. Mümkün olan en az hamle sayısıyla oyun tamamlanmalıdır. Hedefe ulaşmak için gereken hareketler, bir özyineleme örneğidir. İlk diskin taşınması bir hareket gerektirir, ancak sonraki her disk, önceki diskin iki katı hareket sayısı gerektirir.

Bu kule hakkında ilginç bir de hikaye vardır. Bu hikaye W.W. Rouse Ball ve H.S.M. tarafından kaleme alınan Mathematical Recreations and Essays adlı kitapta yer almaktadır.

Hanoi Kulesi Efsanesi

Efsaneye göre Brahma tapınağında 64 adet farklı boyutlarda altından diskler bulunmaktaymış. Tapınağı gelenlere, bir oyun oynayıp kuralına göre oyunu bitirirlerse, tüm bu altın diskleri götürebilecekleri söylenirmiş. Oyunda öyle zor değilmiş. Altın disklerin birinci çubuktan üçüncü çubuğa aktarımını istiyorlarmış. Bunu yaparken de sadece bir şartları varmış: Birinci çubuktan üçüncü çubuğa diskleri taşırken büyük bir disk kendinden küçük diskin üzerine gelmeyecek.

Rahiplerin bildiği ama oyunu oynayanların bilmediği bu problemin çözümü için 18,446,744,073,709,551,615 hamle gerektiği elbette. Hareketleri yaparken geçecek en iyimser tahmini süre 500 milyar yıl. Çözümün mantığını kısaca anlatmamız gerekirse…

Hanoi Kulesi Nasıl Çözülür?

Bir disk için pek de anlatılacak bir şey yok. Tek hamle. İki disk için de basit bir deneme yanılma mantığı ile 3 hamle de doğru cevaba ulaşmanız mümkün. Bu arada bir diskte, ilk hamlemiz sağ sütuna oldu. İki diskte ise ilk hamlemiz orta sütuna oldu. Üç diskte ise ilk hamlemiz sağ sütuna olacak. Bu sıralama önemli.

Hanoi Kulesi

Şimdi üç disk için düşünelim. Görseldeki adımları incelerseniz çözümü rahatça kavrayabilirsiniz. Üç disk için bu problem 7 adımda çözülür. Üç diskli problemin çözümünde, ilk hamlenin, bir diskli problemin çözümü, üçüncü hamlenin de iki diskli problemin çözümü olduğuna dikkat edin. Üç disk problemi, yedi basamakta çözüldüğüne göre, dört disk problemini çözerken, yedinci basamakta üç disk problemini çözmüş olmalıyız. Şimdi dört disk için düşünelim.

Önce yapmamız gereken ilk hamleyi bulmak. Bir diskte sağda, iki diskte ortada, üç diskte sağda başlamıştık. Öyleyse dört diskte ortada başlamalıyız. Çünkü en küçüğü ortaya alırsak, bir büyüğünü en sağa alıp, küçüğü de onun üstüne alarak, üç hamlede iki disk problemini çözmüş oluruz. Bundan sonra işlem üç disk problemini çözmek olur. Görseli incelersek sorunun 15 adımda çözülebildiğini görebilirsiniz.

Hanoi Kulesi

İşi formüle döktüğümüz vakit ortaya çıkan ilginç bir algoritma olacaktır. Üç disk probleminde, ilk 3 hamle ile iki disk problemi çözülür, 1 hamle ile büyük disk hedefe konulur, sonraki 3 hamle ile iki disk üstüne eklenir. Yani yapılan işlem sayısı 3 + 1 + 3 =7 dir.

Dört disk probleminin çözümü 15 hamlede gerçekleşti. Üç diski ortada toplamamız 7 hamle almıştır, bundan sonraki 1 hamle, dördüncü diske sağa almaktır. Sonraki hamle ise, 7 hamlede üç diski, bu en büyük diskin üzerine almaktır. Yani yapılan işlem sayısı 7 + 1 + 1 =15 tir.

Buradan yola çıkarak basit bir mantıkla beş disk için 31, altı disk için 63 hamle gerektiğini bulabiliriz. Bu aktarımı formüle dökersek 2n-1 elde ederiz. n yerine 64 sayısını yerleştirdiğimizde elde edeceğimiz sonuç 18446744073709551615 tir.

Efsaneye geri dönersek…

Rahiplerin anlatmak istediği 64 diski yer değiştirecek zamanın milyarda biri kadar bir süre bile dünyada kalmayacak insanın hırslarının büyüklüğü müdür? Yoksa boş işlerle hayatın geçtiğini mi vurgulamaya çalıştılar. Bilinmez. Efsanenin altında hangi felsefi öğreti olursa olsun kaçınılmaz bir gerçek karşımızda durmaktadır: Matematik bilmenin zorunluluğu.

Sonu pek parlak değil aslında bu efsanenin. İnanışa göre 64 altın diskin yeri değiştiğinde geçecek süre aynı zamanda dünyanın sonunun habercisidir. Son altın diski koyan birileri olsa da, para yine mutluluk getirmeyecektir.

Okuma Önerilerimiz:

İleri Okumalar: http://mathworld.wolfram.com/TowerofHanoi.html

Matematiksel 

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.