Günlük Hayatımızda Matematik

Arrow’un İmkansızlık Teoremine Göre Adaletli Bir Seçim Yoktur!

Gelin bu yazımızda seçimleri matematiksel bir bakış açısıyla ele alalım. Ülkemizde ve bir çok ülkede seçim sistemi genellikle en çok oy alan adayın seçilmesi ile sonuçlanır. Peki, uygulanan bu seçim sistemi gerçekten adaletli midir dersiniz? Biz oyumuzu veririz, en çok oy alan da seçimi kazanır, elbette adaletli diye düşünebilirsiniz. Eğer seçimde iki aday varsa evet haklısınız. Ancak 3 veya daha fazla aday var ise, en çok oyu alanın seçimi kazanması yeteri kadar adil olmayacaktır.

Konuyu daha iyi açıklamak adına bir örnek verelim. 100 kişinin katıldığı bir seçimde Ali 40, Ahmet 35, Ayşe 25 oy aldı diyelim. Bu durumda Ali seçimi kazanmıştır. Ancak öte tarafta da unutmayalım ki 100 kişiden 60 kişi de Ali’ye oy vermedi.

Demokraside yeni bir hükümet kurma zamanı geldiğinde seçim yapılır. Bunun içinde halk oy kullanmak için sandık başına gider. Milyonlarca oy pusulası daha sonra bir sonraki seçilmiş yetkilinin kim olduğunu belirlemek için sayılır. Ancak her tür oylama sistemi, adaletini sorgulanabilir kılan sorunlarla karşılaşır.

Kısacası üç veya daha fazla adayın bulunduğu hiçbir seçimde adalet yoktur. Bu yorum bize ait değil. Aslında matematiksel iktisatçı Kenneth Arrow’a ve onun 1952 yılında ispatladığı ünlü Arrow’un İmkansızlık teoremine ait.

Oylama Paradoksu Diğer Adıyla Arrow İmkansızlık Teoremi Nedir?

20. yüzyılın en parlak ekonomik zekalarından biri ve Nobel Ödülü alan en genç ekonomist olan Kenneth J. Arrow, adil oylama sistemleri üzerinde yoğun bir şekilde çalıştı.

Mükemmel bir oylama sistemi var mı? 1950’lerde ekonomist Kenneth Arrow kendine bu soruyu sordu ve cevabın en azından hayal ettiği ortamda hayır olduğunu buldu. Adaletli ve tatminkar sonuçların elde edilebilmesi için çoğunluk tercihlerinin ön planda tutulması bu teoremin motivasyon kaynağı idi. Arrow, bir sistemin adilliğini belirlemek için yerine getirilmesi gereken bir dizi makul kriter ortaya koydu. Arrow imkansızlık teoremine göre, bir oylama sisteminin demokratik bir anlam ifade etmesi için aşağıdaki koşulların her birini karşılamalı idi.

Demokratik Bir Seçimin Mümkün Olması için Gereken Kriterler

  • Diktatörlerin olmaması gerekir. Seçmenlerin tercihleri herhangi bir biçimde etkilenmemelidir.
  • Tüm seçmenler x adayını y adayına tercih ederse, o zaman x nihai sonuçta y’nin üzerine çıkmalıdır. Diğer bir deyişle sonuç oybirliğini kriteri sağlanmalıdır.
  • Tercihler “geçişli” olmalıdır. Yani A’yı B’ye ve B’yi C’ye tercih ediyorsanız, A’yı aynı zamanda C’ye de tercih etmelisiniz. Bu senaryoda, açıklanamayan bir nedenle C’yi A’dan daha çok tercih ediyorsanız bu tercihler “geçişsiz” hale gelir.
  • Oylar bağlantılı olmamalıdır. Eğer A adayı B adayına tercih ediyorsanız, tercihleriniz C adayı nedeniyle değişmemelidir.
  • Oylama, tüm bireysel tercihleri ​​hesaba katmalıdır.

Yukarıda okuduğunuz kriterler aslında oldukça açık ve makul görünmektedir. İdeal bir senaryoda, temsilcilerimizi seçmek için kullandığımız oylama sistemi bu kriterleri karşılamalıdır. Ancak acaba gerçek böyle mi? Bunu anlamak için gelin en popüler oylama yöntemimizi analiz edelim.

Çoğulluk Yöntemi

Bu, oy vermenin en basit şeklidir. Her seçmen, oy pusulasında adaylardan sadece birini tercih ettiğini belirtir. Daha sonra en çok oyu alan aday kazanan ilan edilir. Ancak bu oylama sisteminde alakasız alternatiflerin bağımsızlığı yoktur. A, B ve C’nin oy pusulasında olduğunu düşünün. A oyların %40’ını, B %35’ini ve C %25’ini alsın.

Çoğulculuk yöntemine göre, A açık ara kazanandır. Ancak, C yarıştan çekilseydi ve tüm seçmenleri A yerine B’ye oy verecek olsaydı, bu durum dengeleri değiştirirdi. Ek olarak, seçmenler A’yı B’ye ve B’yi C’ye göre daha çok beğenebilir. Ancak bu C’yi A’ya göre daha çok beğenecekleri anlamına gelmez. Dolayısıyla tercihler geçişli olmayabilir.

Yazımız kapsamında ele almadığımız başka oylama sistemleri de vardır. Ancak onları da incelediğimiz zaman benzer sorunlar ile karşılaşmamız olasıdır.

Arrow İmkansızlık Teoremi İçin Bir Örnek

Yukarıdaki açıklamalar zorlayıcı oldu ise bir örnek verelim. Diyelim ki üç projenin oylanması gerekiyor. Bu projeler bir kere daha A; B; ve C biçiminde olsun. Oy kullanacak 99 kişi var. Oylama yapıldı ve sonuçların aşağıdaki gibi olduğu görüldü.

  • A > B > C (1/3’ü A’yı B’ye ve yine 1/3’ü B’yi C’ye tercih eder)…..33 oy
  • B > C > A (1/3’ü B’yi C’ye ve yine 1/3’ü C’yi A’ya tercih eder)…..33 oy
  • C > A > B (1/3’ü C’yi A’ya ve yine 1/3’ü A’yı B’ye tercih eder)…..33 oy

Bu durumda;

  • 66 seçmen A’yı B’ye tercih ediyor
  • 66 seçmen B’yi C’ye tercih ediyor
  • 66 seçmen C’yi A’ya tercih ediyor

Dolayısıyla seçmenlerin üçte iki çoğunluğu A’yı B’ye; B’yi C’ye ve C’yi A’ya tercih ediyor. Gördüğünüz gibi ortaya bir paradoksal sonuç çıktı. Harvard Üniversitesi ve Stanford Üniversitesi’nde uzun bir öğretmenlik kariyerine sahip olan Arrow, teoremi doktora tezinde tanıttı. Daha sonra 1951 tarihli Social Choice and Individual Values ​​adlı kitabında popüler hale getirdi. A Difficulty in the Concept of Social Welfare başlıklı orijinal makale, kendisine 1972’de İktisadi Bilimlerde Nobel Ödülünü kazandırdı.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu