Gezegenlerin hareketini açıklayan Johannes Kepler farklı bir mesele üzerine de düşünmüştü. Kepler gökyüzünün sırlarını çözmeye çalışırken aynı zamanda şarap fıçıları hakkında da kafa yordu.
Şimdi şu durumu düşünelim. Bir üretici belirli bir ürünü silindir biçimindeki konserve kutularında ve sabit bir hacimde satışa sunmak istesin. Bu durumda üretici kutunun geometrik biçimine karar vermek zorundadır. Kutu uzun ve ince mi olmalıdır, geniş ve basık mı, yoksa bu iki uç biçimin arasında bir oran mı tercih edilmelidir?
Ürünün içeriği aynı kalsa da kutunun şekli üretim maliyetini doğrudan etkiler. Çünkü farklı silindir biçimleri farklı yüzey alanlarına sahiptir. Yüzey alanı büyüdükçe daha fazla metal kullanmak gerekir. Bu da üretim maliyetinin artması anlamına gelir.
Bu nedenle şu soru ortaya çıkar: Belirli bir hacmi içeren bir silindir için yüzey alanını en aza indiren biçim hangisidir?
Matematik bu soruya oldukça zarif bir yanıt verir. En küçük yüzey alanına sahip silindir, yüksekliği taban çapına eşit olan silindirdir. Başka bir deyişle, silindirin yan görünümü bir kare oluşturur. Diferansiyel hesap yöntemleri kullanılarak bu sonucun kolaylıkla gösterilmesi mümkündür.
Bu tür optimizasyon problemleri yalnızca modern üretim süreçlerinde ortaya çıkmış değildir. Johannes Kepler de benzer bir soruyla ilgilenmiştir. Kepler, şarap fıçılarıyla ilgili bir problem üzerinde çalışmış ve belirli ölçüler altında en büyük hacmi sağlayan fıçı biçimini araştırmıştır.
Kepler Neden Bir Şarap Fıçısının Hacmini Hesaplamak İstemişti?
Kepler’in bu konuya yönelmesine ilham veren olay ise 1600’lü yılların başında, Avusturya’da Susanna Reuttinger ile evlenmeye hazırlandığı dönemde yaşanmıştır. Düğün hazırlıkları sırasında bir fıçı şarap sipariş etmişti. Ancak teslim edilen şarabın miktarını kontrol etmek istediğinde, şarap tüccarının kullandığı hacim ölçme yöntemi Kepler’e pek güvenilir görünmedi.
17. yüzyılda bir şarap fıçısının hacmini tahmin etmek için kullanılan yaygın yöntem oldukça basitti. Fıçı yan yatırılır ve musluk deliğinden fıçının karşı kenarına kadar olan mesafe bir ölçü çubuğuyla ölçülürdü. Daha sonra hazırlanan bir tabloya bakılarak bu uzunluğa karşılık gelen hacim bulunurdu.
Kepler bu yöntemin mantıklı olmadığını fark etti. Çünkü farklı biçimlerdeki fıçılar aynı ölçüye sahip olsa bile çok farklı hacimlere sahip olabilirdi. Bu nedenle Kepler en iyi fıçı biçimini araştırmaya başladı. Önce fıçıları silindir olarak düşündü. Daha sonra ölçü çubuğuyla belirlenen uzunluk sabitken hangi silindirin en büyük hacmi vereceğini hesapladı.
Kepler sonunda elde ettiği sonuçları 1615 yılında Nova Stereometria Doliorum Vinariorum (Şarap Fıçılarının Yeni Katı Geometrisi) adlı eserinde yayımladı. Sonuç ilginçtir. En büyük hacmi veren silindirin yüksekliğinin genişliğine oranı √2 : 1’dir. Yani kesit şekli bir A4 kâğıdının oranıyla aynıdır.
Kepler daha sonra çevresindeki fıçıları inceleyerek gerçekte hangi biçimlerin kullanıldığını araştırdı. Bazı bölgelerde yapılan fıçıların ölçüleri, bu en büyük hacmi sağlayan değere oldukça yakındı. Görünüşe göre Rönesans dönemindeki üreticiler gösterişli ambalajlardan çok verimliliğe önem veriyordu.
Kepler Şarap Fıçısının Hacmini Nasıl Hesapladı?
Kepler bu soruyu, diferansiyel hesabın henüz geliştirilmediği bir dönemde ele aldı. Günümüzde ise aynı problemi türev ve integral kavramları yardımıyla sistemli ve açık bir biçimde çözebiliyoruz.
Bir şarap fıçısının hacmini belirlemek için Kepler oldukça sezgisel bir yöntem kullandı. Fıçıdaki şarabın, üst üste yerleşmiş çok sayıda ince tabakadan oluştuğunu varsaydı. Her bir tabakayı da ince bir silindir dilimi gibi düşündü.
Toplam hacmi elde etmek için bu ince dilimlerin hacimlerini tek tek hesaplayıp toplamayı önerdi. Dilimler ne kadar ince olursa, elde edilen sonuç da o kadar doğruya yaklaşacaktı.
İntegral hesabına aşina olanlar, Kepler’in yaklaşımının günümüzde kullandığımız yöntemle büyük benzerlik taşıdığını fark edecektir. Bir fonksiyonun integralini hesapladığımızda, aslında o fonksiyona karşılık gelen eğrinin altında kalan alanı belirleriz.
Bu işlemi gerçekleştirmek için eğriyi çok sayıda dar dikdörtgene ayırırız. Bu dikdörtgenlerin tabanları son derece küçük seçilir. Dikdörtgenler ne kadar ince olursa, elde edilen sonuç da gerçek alana o kadar yaklaşır. Her bir dikdörtgenin alanı iki kenarının çarpımıyla bulunur. Daha sonra bu küçük alanlar toplanır ve böylece eğrinin altındaki toplam alan elde edilir. Bu düşünce, Kepler’in fıçı hacmini belirlemek için kullandığı yöntemle aynı temel fikre dayanır.
Sonuç olarak
Matematik tarihçileri Nova Stereometria Doliorum Vinariorum adlı eseri kalkülüsün gelişiminde önemli bir adım olarak değerlendirir. Ancak bu çalışmanın değerini takdir edenler yalnızca tarihçiler değildir.
Eserin 17. yüzyılın başlarında Avusturya’nın Linz kentinde basılan ilk baskısı koleksiyonerler için de oldukça kıymetlidir. Nitekim bu baskılardan bir kopya 2019 yılında 32.500 dolara satılmış ve esere duyulan ilginin somut bir göstergesi olmuştur.
Yazının devamında göz atmak isterseniz: Johannes Kepler Evlilik Sorununu Matematik Yardımı İle Nasıl Çözdü?
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
