Geometri

Arşimet Tüketme Yöntemi ve İlginç Bir Alan Hesaplaması

Geometrinin varoluş nedeni temelde alan hesaplarıdır. Hepimizin bildiği gibi hesaplanacak olan alan bir dikdörtgen ya da üçgen ise bu pek zorlu bir görev değildir. Ancak daha karmaşık şekiller için daha farklı tekniklere ihtiyaç vardır. Antik Yunan’da bunun için pek çok farklı yöntem geliştirilmiştir. Bunlardan en etkileyici olanlarından birisi de Arşimet tüketme yöntemi olarak bilinir.

Arşimet Quadrature of a Parabola (Parabolün Dörtgenleştirilmesi) adlı eserinde herhangi bir parabol kirişi çizilerek oluşturulan kesiminin alanını bulmak için Knidoslu Eudoxus’a atfedilen tüketme yöntemini kullandı. Arşimet önce aşağıda gösterildiği gibi parabolün içine büyük bir üçgen çizdi, sonra bunun her iki tarafına da başka bir üçgen çizdi. Bu küçük üçgenlerin her iki tarafına, daha da küçük bir üçgen çizdi ve bu şekilde, her üçgenin üç noktası da her zaman parabol üzerinde olacak şekilde devam etti.

Parabolün Dörtgenleştirilmesi

Parabolün içine çizilen üçgenin diğer iki kenarı yeni iki kesim oluşturur; üçgen dizilerinin birleşimi şeklinde çizilen kirişler çokgeninin oluşturmak için istenildiği kadar devam ettirilen süreçle diğer üçgenlerin her biri aynı şekilde içine çizilir. Arşimet bu şekilde kirişle ayrılan kesimin alanının oluşturulan ilk üçgenin alanına oranını 4/3 olarak bulmuştur. Şimdi bu sürece daha yakından tanık olalım.

Arşimet Tüketme Yöntemi

Tanım: Parabol üzerinde alınan iki nokta ile bu noktalardan parabole çizilen teğetlerin kesişim noktasıyla birlikte oluşturulan üçgene Arşimet üçgeni denir.

Şekil 1

İspatımız tamamen bu üçgenlere dayanmaktadır. Parabol kesiminin alanını tüketmek için çizeceğimiz üçgenlerin her biri Arşimet üçgeni olacaktır. Bundan dolayı Arşimet üçgeninin ne olduğunu tam olarak bilmek gerekiyor. Şekil 1 de PQR, AOP ve OBQ üçgenleri birer Arşimet üçgenleridir. Üzerinde çalışacağımız şekil Parabol olduğu için bunun da tanımını vermek de fayda var.

Tanım: Düzlemde bir F noktasına ve bir d doğrusuna eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi. F noktasına parabolün odağı, d doğrusuna parabolün doğrultmanı denir.

Şekil 2

Parabolün çizilmesi

Geogebra programında parabol çizmek istenirse; Bir d doğrusu (doğrultman) çizilir ardından bir F (odak) noktası belirlenir. Sonrasında d doğrusu üzerinde herhangi bir A noktası alınır. AF doğru parçasının orta dikmesi ile A dan geçen ve d doğrusuna dik olan doğrunun kesiştiği P noktalarının geometrik yeri bir parabol belirtir. Şekil 3 de bu aşamaları görebilirsiniz.

Şekil 3

  • PQR Arşimet üçgeni çizilsin.
  • Doğrultman doğrusuna PA ile QB dik doğru parçaları çizilsin.
  • PR ve QR doğru parçaları AF ile BF doğru parçalarının kenar orta dikmeleridir. Dolayısıyla ABF üçgeninin çevrel çemberinin merkezi R noktasıdır. R den AB ye çizilecek dik doğru AB ve PQ yi iki eşit parçaya ayırır. Aynı zamanda da x eksenine paralel olur. Sonuç: Arşimet üçgenlerinde teğetlerin kesişim noktasından geçen ve x eksenine paralel çizilen doğru parabole ait kirişi iki eşit parçaya ayırır.
Şekil 4
  • RM doğru parçasının parabolü kestiği nokta O olsun. O dan Parabole çizilen teğet doğrusu ile birlikte iki tane daha yeni PDO ve OEQ Arşimet üçgenleri oluşur. Bir önceki maddede vardığımız sonuca göre bu yeni oluşan üçgenlerin D ve E noktalarından x eksenine çizeceğimiz paralel doğrular PO ve OQ doğru parçalarını iki eş parçaya ayırır. Benzerlik teoreminden D noktası PR doğru parçasının E noktası da RQ doğru parçasının orta noktası olur. Yine benzerlikten DE doğru parçası PQ doğru parçasına paralel olur.
Şekil 5

Parabolün içinde oluşan POQ üçgeninin alanı PQR üçgeninin alanının yarısıdır. Lise geometri bilgisine aşina olanlar için bu gösterilmesi kolay bir sonuçtur. A(POR)=A(POM) dır. Dolayısıyla A(PRM)=2.A(POM) olur. Alt kısmı da bunun aynısı olacağından A(PQR)=2.A(POQ) dır. Sonuç: Arşimet üçgeninin alanı kendisiyle aynı taban sahip ve parabol kesiminin içinde kalan üçgenin alanının iki katıdır.

Şekil 6

Parabolün Alanı

Şekil 7

Bir kez yapılan her zaman yinelenebilir sözü gereği bu işlemi sonsuza kadar devam ettirirsek, yani Parabol kesiminin alanını tüketirsek; Alan=S+2.\frac{S}{8}+4.\frac{S}{64}+8.\frac{S}{512} yani Alan=S+\frac{S}{8}+\frac{S}{16}+\frac{S}{64} biçiminde olacaktır. Bu sonsuz toplamı seri yakınsak olduğu için bulabiliriz. Bu durum da sonucumuz Alan=S.(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{4^{3}}+...) olacak ve buradan da Alan=S.\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4S}{3} çıkacaktır. Bunu şöyle yorumlayabiliriz. Bir Parabol kesiminin alanı içine çizilen en büyük alanlı üçgenin alanının 4/3 katıdır.

Arşimet’in parabol’ün alanını hesaplamak için kullandığı tükenme yöntemi klasik çağının en etkileyici hesaplama yöntemlerinden birisidir. Bulduğu kanır onun matematiksel sonsuzluğun ilk “modern” görüşünü de temsil etmektedir.

KAYNAKÇA

  • Matematik Tarihi Giriş, David M. Burton
  • 24 Denklemde Matematiğin Hikayesi, Dana Mackenzie
  • 100 great problems of Elementary Mathematics Their History and Solutions, Heinrich Dörrie
  • Archimedes’ squaring of a parabola | Famous Math Problems 6 | NJ Wildberger https://www.youtube.com/watch?v=tdvII0x0Y58

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.