Parabolün Kareleştirilmesi

Arşimet Quadrature of a Parabola adlı eserinde herhangi bir parabol kirişi çizilerek oluşturulan kesiminin alanını bulmak için Knidoslu Eudoxus’a atfedilen tüketme yöntemini kullandı.

Arşimet parabol kesiminin içine kesimle aynı tabana ve eşit yüksekliğe sahip bir üçgen çizerek, kesimin alanını “tüketmeye” başlar.

Parabolün içine çizilen üçgenin diğer iki kenarı yeni iki kesim oluşturur; üçgen dizilerinin birleşimi şeklinde çizilen kirişler çokgeninin oluşturmak için istenildiği kadar devam ettirilen süreçle diğer üçgenlerin her biri aynı şekilde içine çizilir.

Arşimet bu şekilde kirişle ayrılan kesimin alanının oluşturulan ilk üçgenin alanına oranını 4/3 olarak bulmuştur.

Şimdi bu sürece daha yakından tanık olalım:

Tanım: Parabol üzerinde alınan iki nokta ile bu noktalardan parabole çizilen teğetlerin kesişim noktasıyla birlikte oluşturulan üçgene Arşimet üçgeni denir.

Şekil 1

İspatımız tamamen bu üçgenlere dayanmaktadır. Parabol kesiminin alanını tüketmek için çizeceğimiz üçgenlerin her biri Arşimet üçgeni olacaktır. Bundan dolayı Arşimet üçgeninin ne olduğunu tam olarak bilmek gerekiyor. Şekil 1 de PQR, AOP ve OBQ üçgenleri birer Arşimet üçgenleridir.

Üzerinde çalışacağımız şekil Parabol olduğu için bunun da tanımını vermek de fayda var.

Tanım: Düzlemde bir F noktasına ve bir d doğrusuna eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi. F noktasına parabolün odağı, d doğrusuna parabolün doğrultmanı denir.

Şekil 2

Parabolün çizilmesi:

Geogebra programında parabol çizmek istenirse; Bir d doğrusu (doğrultman) çizilir ardından bir F (odak) noktası belirlenir. Sonrasında d doğrusu üzerinde herhangi bir A noktası alınır. AF doğru parçasının orta dikmesi ile A dan geçen ve d doğrusuna dik olan doğrunun kesiştiği P noktalarının geometrik yeri bir parabol belirtir. Şekil 3 de bu aşamaları görebilirsiniz.

Şekil 3

Artık ispata geçebiliriz:

Şekil 4-5 ve 6 üzerinden takip ederek gitmeye çalışınız. 

  • PQR Arşimet üçgeni çizilsin.
  • Doğrultman doğrusuna PA ile QB dik doğru parçaları çizilsin.
  • PR ve QR doğru parçaları AF ile BF doğru parçalarının kenar orta dikmeleridir. Dolayısıyla ABF üçgeninin çevrel çemberinin merkezi R noktasıdır. R den AB ye çizilecek dik doğru AB ve PQ yi iki eşit parçaya ayırır. Aynı zamanda da x eksenine paralel olur. Sonuç: Arşimet üçgenlerinde teğetlerin kesişim noktasından geçen ve x eksenine paralel çizilen doğru parabole ait kirişi iki eşit parçaya ayırır.
Şekil 4
  • RM doğru parçasının parabolü kestiği nokta O olsun. O dan Parabole çizilen teğet doğrusu ile birlikte iki tane daha yeni PDO ve OEQ Arşimet üçgenleri oluşur. Bir önceki maddede vardığımız sonuca göre bu yeni oluşan üçgenlerin D ve E noktalarından x eksenine çizeceğimiz paralel doğrular PO ve OQ doğru parçalarını iki eş parçaya ayırır. Benzerlik teoreminden D noktası PR doğru parçasının E noktası da RQ doğru parçasının orta noktası olur. Yine benzerlikten DE doğru parçası PQ doğru parçasına paralel olur.
Şekil 5

Parabolün içinde oluşan POQ üçgeninin alanı PQR üçgeninin alanının yarısıdır. Lise geometri bilgisine aşina olanlar için bu gösterilmesi kolay bir sonuçtur. A(POR)=A(POM) dır. Dolayısıyla A(PRM)=2.A(POM) olur. Alt kısmı da bunun aynısı olacağından A(PQR)=2.A(POQ) dır. Sonuç: Arşimet üçgeninin alanı kendisiyle aynı taban sahip ve parabol kesiminin içinde kalan üçgenin alanının iki katıdır.

Şekil 6
Şekil 7
  • Bir kez yapılan her zaman yinelenebilir sözü gereği bu işlemi sonsuza kadar devam ettirirsek, yani Parabol kesiminin alanını tüketirsek;

Bunu şöyle yorumlayabiliriz. Bir Parabol kesiminin alanı içine çizilen en büyük alanlı üçgenin alanının 4/3 katıdır.

Peki bu sonuca Arşimet nasıl ulaştı?

Antik Yunan’da herkesin başvurduğu bir ispat yöntemi olan reductio ad absurdum yani olmayana ergi yöntemi ile Arşimet bunun üstesinden gelmiştir. 

Parabol kesiminin alanı 4/3 birim kare değil mi diyorsun? (İçindeki üçgenin alanının 1 birim kare olduğunu kabul edelim)

Peki. O zaman 4/3 ten büyük ya da küçük olduğunu söylemek zorundasın. Şayet büyük diyorsan Arşimet sana parselleme yöntemiyle fazla yüksek bir tahmin yaptığını rahatlıkla kanıtlayacaktır.

Şayet küçük diyorsan aynı şekilde düşük tahmin yaptığını da gösterecektir. İki şekilde de kaybedecek ve sonucun 4/3 birim kare olduğunu kabul edeceksin.

Antik Yunanlıların sayısal kanıtlardan pek haz etmediğini hatırlayalım. Arşimet bunu aşağıda gösterildiği gibi geometrik olarak kanıtlamak durumundaydı:

Şekil 8

a ile işaretlenmiş L şeklindeki bölgenin alanının 1 birim kare olduğunu kabul edelim. O halde en büyük karenin kapsadığı alan 4/3 birim kare olacaktır. Çünkü en büyük kare 4 eşit çeyrek düzleme sahiptir ve bu çeyrek düzlemlerin sadece 3’ü a bölgesindedir. Büyük karenin içi a şeklinin küçük halleri eklenerek doldurulabilir. b, c, … en sonunda en sağ alt köşede küçük bir karelik yer artacaktır (d işaretli bölge). Bu parçaların toplam alanı alttaki eşitliğin sol tarafıyla ifade edilmektedir. Dolayısıyla eşitliğin sol tarafı ile sağ tarafı birbirine eşittir.

KAYNAKÇA

  • Matematik Tarihi Giriş, David M. Burton
  • 24 Denklemde Matematiğin Hikayesi, Dana Mackenzie
  • Temel Matematik Kavramların Künyesi, Z. Argün, A. Arıkan, S. Bulut, S. Halıcıoğlu
  • Matematik Terimleri Sözlüğü
  • 100 great problems of Elementary Mathematics Their History and Solutions, Heinrich Dörrie
  • Archimedes’ squaring of a parabola | Famous Math Problems 6 | NJ Wildberger https://www.youtube.com/watch?v=tdvII0x0Y58

Matematiksel

Hazırlayan: Aykut Çelikel

Avatar
İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.