Rengarenk Bir Çözümsüz Soru: Hadwiger-Nelson Problemi

Hadwiger-Nelson problemi “Düzlemde aralarındaki uzaklık 1 birim olan noktaların aynı renkte olmaması koşulu ile en az kaç renk kullanılarak bu noktalar boyanabilir?” biçimindedir. Başka bir deyişle “düzlemde aralarındaki uzaklık 1 birim olan noktalar aynı renk olmamak koşulu ile tüm düzlemdeki noktalar en az kaç renk ile boyanabilir.” sorusunu bize sorar.

İlk olarak 1950’de Princeton Üniversitesi matematikçilerinden Edward Nelson tarafından formüle edilen problem, hiçbir zaman kesin bir şekilde çözüme kavuşamadı. Aslında bu problem matematikçiler arasındaki meşhur “4 renk problemi” ile de alakalı. Şimdi gelin öncelikle Hadwiger-Nelson problemini anlamaya başlayalım.

Bir kağıt alın ve üzerine aralarındaki uzaklık bir birim olacak biçimde birkaç tane nokta çizin. Şimdi bu noktaların arasına bir çizgi çizin. Birleştirilen bütün noktaların arasındaki çizgiler eşit uzunlukta olduğu sürece birimin ne olduğunun önemi yok. Matematikçiler, buna birim mesafe grafiği adını verir. Sonuçta elde edeceğiniz aşağıdaki gibi bir şey olacaktır:

Şimdi tüm noktaları renklendirme zamanı. Kendinize şunu sorun: aynı kenarı paylaşan hiçbir köşe çiftinin aynı renge sahip olmayacağı herhangi bir grafiği boyamak için ihtiyaç duyacağım en az renk sayısı kaçtır? Öncelikle 2 sayısı ile başlayalım. Basit bir biçimde 2 rengin bunun için yeterli olmadığını görebilirsiniz. Aşağıdaki görselde de görebileceğiniz gibi 3. köşe eğer elinizde iki renk var ise sadece kırmızı ya da mavi olabilir.

Sadece üç renk ile boyanamayacak bir birim mesafe grafiği elde etmek kolay.

Hadwiger-Nelson problemi

Yukarıdaki grafik sadece üç renk ile boyanamaz ancak dört renk yeterli olacaktır. Siyah noktalar, desenin sonsuz bir düzlemde tekrar edilebileceğini ifade ediyor. Şimdi alt sınırı 4 olarak sabitlemiş olduk gelin biraz da üst sınıra bakalım. Aslında üst sınırın 7 olmasını 1950 yılında matematikçi John Isbell tarafından geliştirilen yöntem sayesinde biliyoruz. ( Nasıl yapıldığını öğrenmek isterseniz yazının sonundaki videoya göz atabilirsiniz.)

Aubrey de Grey ve Hadwiger-Nelson Probleminin Sınırlarının Daralması

Düzlemin kromatik rengi sorusunun üst sınırın 7 alt sınırın 3 olduğu gerçeği Mayıs 2018’de enteresan biri tarafından değiştirildi. Daha çok, insan ömrünü uzatmaya ilişkin çalışmalarıyla ve 1000 yıl boyunca yaşayacak ilk insanın şimdiden doğduğunu ileri sürmesiyle tanınan bir biyolog olan Aubrey de Grey, 68 yıllık Hadwiger-Nelson problemi için olası çözümleri daraltan bir makale yayımladı. De Grey makalesiyle cevabın kesinlikle 4 olmadığını gösterdi. Geriye sadece 5, 6 ya da 7 kaldı.

De Grey işe çok basit bir altıgen yapının 4 renkli olabileceği varsayımı ile başladı. Daha sonra bu yapıyı döndürerek ve genişleterek en son 4 renk ile boyanamayacak 20425 köşeli bir yapı elde etti. Daha sonra bu devasa yapıyı 1581 köşeye kadar indirgedi. Problemin çözümünün en ilginç yanı gördüğünüz bunca nokta, farklı 4 renk ile boyanamıyor yani en az 5 renk ile boyanabiliyor. Bu kadar köşenin yer aldığı yapıda 5. renk şeklin tam ortasında ve sadece 1 kez kullanılıyor.

1581 köşeli, farklı 4 renk ile boyanamayacak köşeleri arası 1 birim uzaklık olan yapı.

Matematikçilerin konu ile ilgili araştırmaları halen devam ediyor, 5 ve 6 için problem açık olarak duruyor. Daha fazla bilgi için aşağıdaki videoya göz atabilirsiniz. Video dili İngilizcedir.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu