Plastik Oran ve Harris Spirali İle Tanışalım

Altın oran adını artık aramızda duymayan yok. Estetik ve güzellik ölçütü olarak nitelendirilen biraz da abartılı bir üne sahip olan bu oran iddia edildiği kadar mucizeler ile ilişkili olmasa da yine de ilginç bir çok özelliği içeriğinde barındırır. Bu nedenle matematikçilerin her daim ilgisini çeker. Ancak altın oranın ünü aslında onun kardeşlerinden biri olan ve bir çok kişinin adını duymadığı plastik oranı gölgede bırakır. Bu yazıda önce kısaca altın oran hakkındaki bilgilerimizi güncelleyelim sonra da plastik oran ve Harris spirali ile tanışalım.

Altın oran kısaca ϕ sembolü ile gösterilmektedir ve x2 = x + 1 denkleminin çözümlerinden biri olan ( 1 + √ 5 ) / 2 ye eşittir. Denklemin diğer çözümü ( 1 – √ 5 ) / 2 ise 1 / ϕ sonucunu bize verecektir. Altın oranın en güzel özelliklerinden birisi öz benzerliğidir. Bunun için de altın dikdörtgen kavramını anlamanız gerekir.

Altın dikdörtgen kenarları altın oran ile uyumlu olan bir şekildir. Diğer bir deyişle bu dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarın yaklaşık 1.618 katı büyüklüğündedir. Altın dikdörtgenden bir kare çıkarırsanız geriye kalan kısım da altın orana uygun olacaktır. Bu işi yeterince tekrarlarsanız matematikçilerin en sevdiği şekillerden biri olan aşağıda da göreceğiniz bir altın bir spiral çizebilirsiniz.

Sol: Büyük dikdörtgenin kenarları altın oranla uyumludur. Bir kare (mavi) olan çıkarılırsa, kalan dikdörtgen yani yeşil dikdörtgen de altın oran ile uyumlu olacaktır. Sağda ise bu dikdörtgenler ile elde edilecek olan bir altın bir spiral yer alıyor.

Plastik Oran Nedir?

Cebirsel sayılar, katsayıları tamsayılar olan bir polinomun kökü olarak ifade edilebilen sayılardır. Örneğin tüm rasyonel sayılar aynı zamanda bir cebirsel sayıdır. Sonuçta hepsi nx-m=0 biçimindeki bir polinomun kökleridir. Bu noktada aslında bir matematikçi için, diğer cebirsel sayılarla altın oran örneğinde gördüğümüz gibi ilginç spiraller oluşturup oluşturamayacağınızı merak etmek doğal bir durumdur. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde (aksi takdirde, bu makaleyi yazmıyor olurduk), güzel resimlere yol açan başka sayılar da var. Bunlardan bir tanesi plastik oran olarak bilinmektedir.

Plastik oran, x3 = x + 1 denkleminin çözümünde karşımıza çıkar ve  ρ = 1.3247179… biçiminde bir açılama sahiptir. Tam karşılığı ise aşağıdaki formülde gördüğünüz gibidir. Kenar uzunlukları plastik orana uygun dikdörtgenler de çizebilirsiniz. Sonrasında bu şekillerden aynı altın oranda olduğu gibi bir kare çıkartırsanız geriye kalan dikdörtgenler yine plastik orana uygun olacaktır.

Plastik oran formülü

Ortaya çıkan her kareye iki yay çizip aynı parçalama işlemine devam edersek bu sefer ortaya daha ilgi çekici bir şekil çıkacaktır. ( Yaylar aynı hizada olacak şekilde seçilmelidir.). İşte bu şekil Harris spirali olarak bilinir.

Harris Spirali İle Tanışalım

En solda plastik oran ile uyumlu bir dikdörtgen görüyorsunuz. Ortada bu dikdörtgenden bir kare ve iki yeni gümüş dikdörtgen seçilmiş ve yaylar çizilmiş durumda. Sağda ise bu işlemin devam edilmesi sonucunda elde edebileceğimiz Harriss spiralini görebilirsiniz.

Matematikçiler genellikle yeni şeyler bulmayı severler. Bu bazen bir teorem olur bazen sadece bir çizim. Altın orandan ilham alan meraklı ve yaratıcı matematikçilerden birisi de Edmund Harris. Edmund Harris’de daha önce yukarıdaki plastik oran ile ilgili çalışmayı yapan kişi. Sonuçta da kimsenin çizmediği hoş bir fraktal eğri keşfetmiş ve bu eğriye adını vermiş durumda.

Görselde Edmund Harris’i görüyorsunuz. Günümüzde Harris spirali bir çok yerde karşınıza çıkabilir.

Gördüğünüz gibi altın oran matematikte varılacak son nokta değil tam tersine yaratıcı zihinler için bir başlangıç noktasıdır. Belki de polinom köklerine saklanmış başka etkileyici eğriler de vardır. Onları keşfetmek için de başka yaratıcı matematikçiler er ya da geç ortaya çıkacaktır. Kim bilir, belki de bunlardan birisi de siz bile olabilirsiniz. Neden olmasın? Ayrıca aşağıdaki yazılarımıza da göz atmak isteyebilirsiniz.



Kaynaklar ve İleri Okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz