Çay Yaprağı Paradoksu: Çay Çöpleri Neden Bardağın Ortasında Toplanır?

Günlük hayatımızda etrafımızda gerçekleşen ancak bize sıradan şeyler gibi gelen ve rutin yaşantımız içinde dikkat etmediğimiz pek çok fiziksel fenomen vardır. Ancak bu fenomenleri öğrenip ardından üzerinde düşünmeye başlarsak bilimin şaşırtıcı dünyasına dahil olabiliriz. Bu yazıda bunun bir örneğini görelim. Dikkat etmeniz gereken şey bir bardak çay içerken karşınıza çıkıyor.

Şimdi kendinize bir bardak, eski usul demlenmiş yani içinde hala çay taneciklerinin bulunduğu çay doldurun. Ardından karıştırın. Ne gözlemlediniz? Dikkat ettiyseniz çay tanecikleri karıştırdıktan sonra çayın ortasında kümelendi. Ancak normal koşullarda merkezkaç kuvveti olarak isimlendirilen başka bir fenomen nedeniyle bu taneciklerin kenarlarda birikmesi gerekiyordu.

Sonuçta, dönmeye başladığınız zaman dışarı doğru itildiğinizi hissederseniz. O zaman çayı karıştırdığımız zaman yaprakların da bardağın çeperinde birikmesini bekleriz. Gelgelelim ki, tam tersini gözlemliyoruz.

İşte yazımızın konusu bu. İngilizce adı ile Tea Leaf Paradox Türkçeye ise Çay Yaprağı Paradoksu olarak çevriliyor. Adında bir paradoks geçmesi sizi yanıltmasın. Ortada bir paradoks yok. Elbette fiziksel bir açıklaması var. Bu paradoksun çözümü ise 1926 yılında Albert Einstein tarafından verilmiştir.

Çay Yaprağı Paradoksu Neden Gerçekleşiyor?

Bunu anlamak için öncelikle yukarıdaki iki bardak kesitine göz atalım. İlk bardağımızda gördüğünüz gibi sıvının yüzeyi düz, diğerinde yani B bardağımızda yüzey kavisli olarak gösterilmiştir. Sizce bu bardaklardan hangisi bir karıştırma anını temsil etmektedir? Tahmin ettiğiniz gibi cevap ikinci bardaktır. Aslında bir sıvıyı karıştırmayı bıraktığımızda yüzeyi anında düzleşmez. Düzleşmeden önce bir süre bu biçimde kavisli kalır. 

Şimdi çayımızın içinde çok küçük bir parçacık olduğunu düşünelim. Aşağıdaki görselde beyaz renk ile gösterilen bu parçacığın konumuna dikkat edin. Gördüğünüz gibi aslında köşelerinin derinlikleri aynı değildir. Sonuçta sıvılarda derinlik basınç ile orantılıdır. Derinlik arttıkça tanecik üzerindeki basınç da artacaktır. İşte bu derinlik farkından dolayı da bu parçacık üzerindeki kuvvetler eşit olmayacaktır.

Bu nedenle, sıvı elemana etki eden net kuvvet F₁−F₂ biçimindedir. Bu da bu parçacığa dairesel hareketi için gerekli merkezcil ivmeyi sağlar. Bu durum elbette sıvıdaki tüm parçacıklar için geçerlidir. İşte bu dönme sonucunda sıvının akı­şında bir değişiklik ortaya çıkar.

Çayı karıştırdığınız zaman, sıvı döndüğü için bardağın çeperlerinde birikmeye başlayacaktır. Bu durumda çeperlerde sıvı daha yüksek olacaktır.

Sıvıdaki nesnelerin dairesel hareketteki merkezcil ivmesi rω² olarak ifade edilir. Burada r, nesnenin eksene olan mesafesi ve ω, açısal dönme hızıdır. ( Açısal hız, bir objenin birim zamandaki açısal olarak yer değiştirme miktarına verilen isimdir.) Aşağıdaki görselde dönme esnasında bu temsili nesnemize neler olduğunu daha yakından inceleyelim. Görselde h₁-h₂/x ile ifade edilen eğimdir. ( kırmızı çizgi). Eğer ω (açısal hız) sabitse, h₁-h₂/x eğimi artar bunun sonucunda kenarlar yükselir, orta daha çukur hale gelir.

Tanecikler Neden Ortada Toplanır?

Biraz önce de aktardığımız gibi, sıvıyı karıştırmayı bıraktığımızda yüzeyi anında düzleşmez. Düzleşmeden önce bir süre kavisli kalır. Şimdi karıştırmayı bıraktığımız anda iki farklı çay taneciğinin konumlarına göz atalım. Bunlardan bir tanesi dibe çökmüş olsun. Diğeri ise yüzeye daha yakın konumda. Sizce bu ikisi aynı açısal hızla mı dönmektedir?

Cevap hayır. Sıvılar ilginç özellikler gösterir. Çay bardağımızın kenarlarında ortaya çıkan sürtünme nedeniyle açısal hızları değişir. Basit bir deyişle, sıvı içindeki nesnemiz katı yüzeye ne kadar yakınsa, o kadar yavaş hareket eder. Yani bu kısımdaki sı­vının dönmekte olduğu açısal hız, kabın merkeze yakın kısımlarındaki sıvınınkine göre düşüktür. Bu nedenle q isimli nesnemiz, p’ye kıyasla daha yavaş hareket edecektir. Yani q isimli parçacığımızın dönüşünün açısal hızı p’den daha düşük olacaktır.

Bunun sonucunda dönme eksenine yönelik q üzerindeki net kuvvet, onu p’ye göre daha fazla eksene doğru itecektir. Karıştırmayı bıraktığımız anda bu parçacıkların hareketi yavaşlayacaktır. Ancak bu yavaşlama iki parçacık için aynı hızda olmayacaktır. Bu esnada kabın dibine daha yakın olan parçacıklar, uzakta olanlara göre eksene doğru daha fazla itilir. Bu süreç sonucunda da aşağıdaki görselde de gördüğünüz gibi çay yapraklarının merkeze yakın toplanmasını sağlayan girdaplar oluşur.

Aslında sıvıdaki çay yaprakları üzerinde birbirine zıt yönde iki tane kuvvet etki eder. Bir tanesi, dönmeden kaynaklıdır. Onları dışa iter diğeri ise basınç farkından dolayı içe çeker. Sürtünme sonucunda da bu kuvvetler dengede değildir. Bunun sonucunda da basınç ve merkezcil kuvvet farkından kaynaklanan girdaplar oluşur. Bu nedenle de yapraklar merkezde toplanır.

Sonuç Olarak;

Çay yapra­ğı parçaları bu dairesel hareket sonucu fin­canın ortasında bir yerde toplanırlar. Bu da bize çay yaprağı paradoksunun bir açıklamasını sağlar. Başlangıçta da not ettiğimiz gibi, 1926’da Albert Einstein bu davranış için ilk matematiksel açıklamayı yaptı ve nehir kıyılarının aşınmasını açıkladığı, Baer yasasını reddettiği makalesinde tanımladı. Onun bu çözümü, atmosfer hareketlerini ve erozyonu daha iyi anlamamızda da faydalı olmuştur.



Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu