SAYILAR

Kök 2 Sayısının Hikayesi

Yunanistan açıklarında fırtınalı bir gün. Tarih M.Ö. 520 civarı. Geminin arka tarafından bir adam açık denize atılıyor ve gemi uzaklaşıyor. Bu adamın adı Hippasus. Suçu mu? Dünyanın en tehlikeli matematiksel oranını keşfetmesi…

Sayıların babası” olarak bilinen Pisagor (M.Ö. 580 – 500) ve ona inananlar evrenin tam sayılardan yapıldığına inanıyordu. Pisagor’un sloganı, okulunun girişinin üzerine oyulmuştu. “All is number. “yani “Her şey sayıdır”.

Pisagor’a göre, doğal sayıları Tanrı yaratmıştır. 1 dışında tek sayılar erkek, çift sayılar dişidir. 1, sayıların içinde en kutsal olanıdır, bu açıdan 1 ne dişidir, ne de erkek. Her sayının kendine özgü özellikleri vardır. Mesela 10, olabilecek tüm geometrik boyutların toplamı olduğundan evrenin sayısıdır.

Ancak Pisagor’un korkunç bulmuş olduğu bir sayı vardı ve bu sayı giriş paragrafında anlatılan efsanenin doğmasına neden olmuştu. Tahmin ettiğiniz gibi kök 2 sayısından bahsediyoruz.

Kenarları 1 birim uzunluğunda olan karenin köşegeni kök 2 birim uzunluktadır. Yani yaklaşık 1.4142.

Bugün için size bu sayı garip gelmeyebilir ancak o dönemde durum farklıydı. İşte bu nedenle irrasyonel sayı olarak adlandırıldı bu sayı.

Kök 2 sayısı irrasyoneldir dediğimizde ne demek isteriz?

İrrasyonel rasyonel olmayan demektir. Rasyonel olmayan demek, onun, iki tamsayının oranı olarak yazılamayacağı anlamına gelmektedir.

Bir oran olarak yazılamaz demek, onun, bir bayağı kesir olarak ifade edilemeyeceği anlamına gelmektedir. Kök 2 sayısını bir hesap makinası yardımı ile hesaplarsak 1.41421356237309504880168872420969807856967 187537694807317667973799073247846210703885038753 4327641572 … gibi bir sonuç elde ederiz.

Dikkat ediniz ki, rakamlar arasında hiçbir tekrar bulunmamaktadır.

Şimdi aşağıdaki örneklere bakalım…

1/7=0.142857142857142857142857 … biçiminde bir sonuca sahiptir. Dikkatli bakarsanız 142857 rakam öbeği tekrarlamaktadır.

Şimdi de 1/109 kesrine bakalım:

1/109=0.00917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449554128440366972477064220183486 … biçiminde devam eder. Burada kesrin ilk 100 basamağını hesapladık ama hiçbir tekrar göremedik. Bu, kesrin irrasyonel olduğu anlamına mı gelir?

Hayır gelmez…

Eğer hesaplamamızı 330 basamağa kadar götürürsek sayıda 108 rakamlık bir devir bulunduğunu buluruz.

1/109=0.0091743119266055045871559633027522935779816513761467889908256880733944954128440366972477064220183486238532110091743119266055045871559633027522935779816513761467889908256880733944954128440366972477064220183486238532110091743119266055045871559633027522935779816513761467889908256880733944955412844036697247706422018348623853211009174

Bu noktaya kadar gördük ki, bir bayağı kesir, bazen çok uzun bazen de çok kısa olabilen rakam periyotlarından oluşmuş ondalık sayılara dönüştürülebiliyor. Oysa ki, bir irrasyonel sayıda böyle bir tekrar elde etmemiz mümkün değil.

Şimdi gelin √2 sayısının neden iki sayının oranı biçiminde gösterilemeyeceğini ispatlayalım.

Önce √2 ‘nin de rasyonel sayı olduğunu varsayalım. O zaman aralarında asal (sadeleşmeyen) öyle iki p ve q tam sayıları vardır ki p/q √2’ye eşit olmalıdır.

Denklemin her iki tarafının karesi alındığında p2/q2=2, yani diğer bir deyişle p2=2q2 olur.

Bu durumda p karesi çift olan bir sayıdır. Bir sayının karesi çiftse kendisi de çifttir, o zaman p kesin çift sayıdır. Demek ki p=2k yazabileceğimiz bir k tam sayısı bulabiliriz. Şimdi bunu denklemde yerine yazalım.

2q2=(2k)2=4k2oldu, sadeleştirme sonucunda q2=2kifadesi bulundu.

Bu durumda q2‘nin, dolayısıyla q’nun da çift olması gerekiyor. Ve işte burada işler karışıyor, sonuçta ikisi de çift sayı ise sadeleşebilmeliler oysa biz başlangıçta bu sayıların aralarında asla olduğunu yani sadeleşmediğini kabul etmiştik.

Belki de, Pisagor’un müritlerinden Hippasus yanındaki arkadaşlarına “düşünüyorum da, bu soruna çözüm bulamadım” deyince kendisini denizde bulur. Efsane ya da değil kesin bilemeyiz ama gerçeklik payı olası gibi geliyor kulağa…

Farklı bir yaklaşım ile aynı konuyu bu yazıda da inceleyebilirsiniz: Kök 2’nin İrrasyonelliğine Geometrik Bir Bakış

Kaynak: https://nrich.maths.org/2671

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

3 Yorum

  1. Çok güzel yazılar yazıyorsunuz, sizleri kutluyorum. Yukarıdaki sayı kök 2 değil kare kök 2 olduğunu hatırlatma cüretinde bulunabilir miyim?

  2. Bu kadar çorak iklimde matematiğin aydınlık dünyasından kesitler sunduğumuz için teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
    Saygılarımla.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu