Pisagor, Antik Çağ’da Yunan felsefesi ve matematiğinde doğal sayıları ön plana çıkarmıştı. Bu karizmatik adam kozmostaki her şeyin sayılardan oluştuğuna inanarak inancını bir din haline getirmişti. Takipçileri büyük bir güvenle onun tarikatına sarılmışlarsa da kısa zamanda karşılarına çıkan irrasyonel sayılar yüzünden Antik Çağ matematiği çıkmaza girdi.
Pisagor ve İrrasyonel Çıkmazı
Pisagor‘un “her şey sayıdır” demesi, çocukça bir iddia olarak algılanmamalıdır. Thales de “her şey sudan oluşur” demişti. Antik Çağ filozoflarının bu gibi iddialarının altında kendilerinden önceki filozofların çalışmalarının ve mitolojik inançların yattığını unutmamalıyız.
Örneğin Platon kendi icadı olan Beşinci Elemente Aether (Esir) ismini verirken mitolojideki uzay tanrısını düşünüyordu kuşkusuz. Pisagor, kendisinden önceki filozoflar gibi Dünya’nın “toprak, su, hava, ateş” adlı dört elementten oluştuğunu söylemek yerine evrenin temeli olarak “sayı” kavramını ileri sürmüştü. Bu iddia bilimsel düşünce yolunda atılan en önemli adımlardan biriydi.
Günümüzde de her şeyin temelinde matematik yattığına inanmaktayız. Şu da var ki Pisagor sayıları düşüncenin “soyut” yaratıları olarak değil, somut gerçekler olarak ele almıştı. Ona göre sayılar her şeyin şeklini belirleyen bir kalıp gibiydiler.
Örneğin gergin bir tel ya da ses veren metal bir çubuğun çıkardığı notaların ve harmoniklerin (titreşen bir telin verdiği zayıf notalar) basit kesirlerle ifade edilebileceğini bulmuştu. Bu düşünceye bir demircinin çekiç vuruşlarını dinleyerek ulaşmıştı. Sesler ile sayılar arasındaki ilişkiyi keşfetmek onda büyük bir şok yaratmış olmalıydı.
Pisagor ve Astronomi
Pisagor buluşunu Antik Çağ’ın ikinci büyük ilgi alanı olan Astronomi’ye de genelleştirdi. Ona göre Güneş Sistemi, her şey gibi, sayılarla çalışıyor olmalıydı. “10” sayısına kutsallık atfederek gökyüzünde on tane gökcismi bulunması gerektiğini söylemişti. Ancak onuncu gökcismi neredeydi?
Pisagor inancından o kadar emindi ki bunun dünyanın karşıtı olan bir gezegen olduğunu iddia etti ve Güneş’in zıt tarafında kaldığı için görünmediğini öne sürdü. Ayrıca göksel kürelere (kristal küreler ya da felekler) yapışık olan gezegenlerin tıpkı çelik teller gibi dönerken ses çıkarmaları gerektiğini söyledi.
Yani gökyüzünde dolanan gezegenler bir tür “ilahi/kozmik” müzik çalmalıydı. Bu müziği sıradan insanlar duyamaz, ancak ermişler duyabilirdi. Bu düşüncelerin yansımasını bugün bile bilimkurgu yapıtlarında görmekteyiz. (Örneğin Mary Doria Russell‘in “Serçe” adlı romanında, Proxima Centauri yıldızından gelen gizemli bir şarkı bilim adamlarının dikkatini çeker. Jodie Foster’in baş rollerinde oynadığı “Contact/Temas” filminde uzaylılardan alınan mesaj ritmik bir sestir.)
Pisagor’a göre Rasyonel Sayılar, sayma sayılarının bir türüydü. Eski Yunan Matematiği, rasyonel sayıları sisteme dahil etmek için “ortak ölçü” kavramını kullanmışlardı. (Birazdan açıklayacağız.) Bizler sayıları Küme kavramıyla ilişkilendirerek anlıyoruz.
Bize göre Rasyonel Sayılar Kümesi, Doğal Sayılar Kümesini kapsar. Ama görüyoruz ki Eski Yunanlılar esas olanın doğal sayılar olduğuna inanmıştı. Onlara göre Rasyonel Sayılar, Doğal Sayılardan türemişti. İşte bu düşünce Antik Çağ matematiğini çıkmaza sokmuştur.
Ortak Ölçü Nedir?
Bu soruyu yanıtlamak için Yunanlıların bir üstteki paragrafta açıkladığımız düşünce tarzını kavradığımızdan emin olmalıyız. Onlara göre her şey gibi rasyoneller de doğal sayılardan türemişti. Yunan matematikçiler, rasyonel sayıları, doğal sayıların oranları olarak ifade ediyorlardı.
Onlara göre bir kesrin pay ve paydasını ölçen bir üçüncü sayı mutlaka bulunabilirdi. Örnek verelim: 18/12 kesrinin pay ve paydasının “ortak ölçüsü” elbette ki 6 ve bölenleridir. (1, 2, 3 ve 6) Başka bir örnek: 3/5 kesrinin ortak ölçüsü 1’dir. Yani 18 ve 12’yi saymak için mesela 6’yı kullanabilirdiniz. (18’in içinde üç tane; 12’nin içinde iki tane 6 vardır.)
Bu soruyu yanıtlamak için Yunanlıların bir üstteki paragrafta açıkladığımız düşünce tarzını kavradığımızdan emin olmalıyız. Onlara göre her şey gibi rasyoneller de doğal sayılardan türemişti. Yunan matematikçiler, rasyonel sayıları, doğal sayıların oranları olarak ifade ediyorlardı. Onlara göre bir kesrin pay ve paydasını ölçen bir üçüncü sayı mutlaka bulunabilirdi. Örnek verelim: 18/12 kesrinin pay ve paydasının “ortak ölçüsü” elbette ki 6 ve bölenleridir. (1, 2, 3 ve 6) Başka bir örnek: 3/5 kesrinin ortak ölçüsü 1’dir. Yani 18 ve 12’yi saymak için mesela 6’yı kullanabilirdiniz. (18’in içinde üç tane; 12’nin içinde iki tane 6 vardır.)
Ancak kısa süre sonra karşılarına birbiriyle ortak ölçüsü olmayan kesirler çıkınca ne yapacaklarını şaşırdılar. Elbette böyle kesirler vardı. Örneğin karekök 2 sayısı, yani birim karenin köşegen uzunluğu, iki tamsayının oranı şeklinde ifade edilemiyordu.
Yunanlılar “ortak ölçüsü olmayan bir kesir” keşfetmişlerdi ve bunun gibi sayısız uzunluk vardı. Bu tıkanmayı aşamayan Pisagorcular, çareyi bu sayıyı kamuoyundan gizlemekte buldular. Ama tabi, gerçek kısa zamanda duyuldu ve Matematik çalışmaları tıkandı.
Eudoxus ve Geometri Yolu
Knidos’lu Eudoxus, Pisagor’un yolunda gitmeyerek sayı kavramı yerine onun geometrik karşılığı olan “uzunluk” kavramını kullandı. Böylece İrrasyonel Sayıların yarattığı sorunlardan kaçınabildi. Az önce gördüğümüz gibi Yunan Matematiği, İrrasyonel Sayıları kavramakta yetersiz kalıyordu. Yunanlılar buna “ortak ölçüsü olmayan sayılar” ismini vermişlerdi.
İkinin karekökünün kesir olarak yazılamayacağının Pisagorcular tarafından anlaşılması matematiği krize sokmuştu. Ancak onu birim karenin köşegeni olarak düşünmekte bir sakınca bulunmuyordu. Eudoxus da bu yolu tercih etti. Böylece artık irrasyonel sayılar da sorunsuz bir şekilde sisteme dahil edildi. Detaylar için: İrrasyonel Sayı Nedir? Karekök 2 Neden Pisagor Sabiti Olarak Bilinir?
Eudoxus’un asıl önemi, Antiphon‘un “Tüketim Yöntemi” adını verdiği bir ispatlama yolunu kullanarak yaptığı çalışmalardır. Tüketim Yöntemi, İntegral kavramının Antik Çağ’daki karşılığıdır denebilir. Eudoxus bu yöntemi ustaca kullanarak birçok sonucu ispatlamıştır. Bu sonuçların Öklid‘in Beşinci Kitabı’nın konusunu oluşturduğu genel olarak kabul edilir.
- Dairenin alanı, yarıçapının karesi ile aynı ölçüdedir (yani orantılıdır).
- Kürenin hacmi, yarıçapının küpü ile aynı ölçüdedir (orantılıdır.)
- Piramidin hacmi, tabanı üzerine kurulmuş aynı yükseklikteki bir prizmanın hacminin üçte biridir.
- Koninin hacmi, tabanı üzerine kurulmuş aynı yükseklikteki silindirin üçte biridir.
Eudoxus’un Tüketim Yöntemi
Arşimet‘e atfedilen π‘yi hesaplama yönteminin, aslında Eudoxus’a ait olduğunu söyleyenler vardır. Kimilerine göre de Eudoxus, Antik Çağın en büyük matematikçisidir. (Kimilerine göre de bu kişi Arşimet’tir.) Eudoxus’un önemini anlamak için Tüketim Yöntemi’nin günümüzün integral hesabına ne kadar benzerliğini görmek yeterlidir.
Tüketim yönteminde alanı bulunacak şekil, giderek daha küçük parçalara bölünerek, bir tür limit işlemi yapılır. Ancak bu limit işlemi elbette günümüzdekinden farklıdır ve oranların karşılaştırılmasına (tüketilmesine) dayanmaktadır. Antik Çağ’ın tüm filozof ve matematikçileri gibi Eudoxus da Astronomide çok önemli çalışmalar yapmıştır.
Batlamyus sistemini düzeltmek amacıyla eş merkezli küreler fikrini ortaya atmıştır. Aşağıdaki grafik, eş merkezli kürelerin yörüngeleri nasıl daha doğru bir şekilde açıklayabildiği konusunda bir fikir verebilir.
Datça‘ya giderseniz, bu büyük bilim insanının doğduğu ve öldüğü yer olan Knidos antik kentine uğramadan dönmeyin. Harabeler arasında dolaşırken, günümüzden iki bin yıl öncesinde insanların ne kadar derin matematiksel çalışmalar yaptığını kendinize hatırlatın. Ek okumalar için: Evrenin Tarihteki İlk Matematiksel Modelini Sunan Knidos’lu Eudoxus
Matematiksel
