Süreklilik hipotezinin ironik bir yönü vardır. Bu problem çözülemezdir, üstelik “kanıtlanabilir şekilde çözülemez.” Yani, matematikçilerin kullandığı ve meşru saydığı bilinen yöntemlerin hiçbiri bu hipotezi ne doğru ne de yanlış olarak kanıtlamaya yeterlidir.
1900 yılında David Hilbert, matematiğin açık sorunlarından oluşan yirmi üç maddelik bir liste yayımladı ve bu sorulardan on tanesini aynı yıl Paris’te düzenlenen Uluslararası Matematik Kongresi’nde sundu. Hilbert, doğru matematiksel sorular sorma konusunda son derece yetenekliydi; hazırladığı bu liste, sonraki yıllarda matematik dünyasında önemli gelişmelere yol açtı.
Soruların bir kısmı çözüldü, bir kısmı ise çözülememiş olarak kaldı. Her iki durumda da bu sorular etrafında derin matematiksel kavramlar geliştirildi.
Örneğin, ünlü Riemann hipotezi 1900 yılından beri (hatta daha önce) birçok matematikçinin çabalarına rağmen çözülemedi. Ancak bu soruya yönelik çalışmalar son derece değerli matematiksel sonuçlar üretti. Hilbert’in beşinci sorusu ise ilk haliyle doğru bir iddia içermiyordu. Fakat zaman içinde sorunun daha doğru biçimi formüle edilip çözüme kavuştu.
Bu örnekler, matematikte iyi bir soru sormanın da bir sanat olduğunu gösterir. Listedeki sorunlardan biri olan süreklilik hipotezi ise belki de en ilginç kaderi yaşamıştır.
Süreklilik Hipotezi Nedir?
İlk bakışta kavranması güç görünse de, sonsuzluk tek biçimde değil, çeşitli büyüklüklerde ortaya çıkar. En küçük sonsuz א0 (“aleph sıfır”)dır ve bu, doğal sayılar kümesinin büyüklüğüne eşittir. Ondan daha büyük bir sonraki א1 (“aleph bir”)dir, sonra א2, א3 ve bu şekilde devam eder.
Bu durumda, sayı doğrusu üzerindeki noktaların sayısı — yani “süreklilik” — sayılabilir doğal sayıların toplamından fazladır. Sürekliliğin ötesindeyse, giderek artan daha büyük sonsuzluklar bulunur. Süreklilik hipotezi, en küçük sonsuzluk olan doğal sayılar kümesi ile ikinci en küçük olduğu varsayılan süreklilik arasında başka bir sonsuzluk türü olmadığını ileri sürer.
Süreklilik Hipotezi İle İlgili Sorun Nedir?
Başta Cantor, süreklilik hipotezini kanıtladığını düşündü. En sonunda ise kesin bir sonuca ulaşamayacağını kabul etti. Bu hipotez zamanla matematiğin en önemli problemlerinden biri haline geldi. Öyle ki Hilbert, 1900’de hazırladığı ünlü problem listesinde onu ilk sıraya koydu. 1925’te bir kanıt sunduysa da bu çalışma hatalıydı.
Hilbert pes etmedi. Onun gözünde, bu tür soruları çözmek “insan varoluşunun şan ve şerefi” ile doğrudan bağlantılıydı. 1930’da Königsberg’de ünlü bir şekilde “Wir müssen wissen. Wir werden wissen” (Bilmek zorundayız. Bileceğiz.) dedi.
Ne var ki tarihin ironisiyle aynı toplantıda, fakat bir gün önce, genç Kurt Gödel ilk eksiklik teoremini duyurmuştu. Ne var ki aynı toplantıda, bir gün önce, Kurt Gödel ilk eksiklik teoremini duyurdu. Bu teorem ve ardından gelen ikinci eksiklik teoremi, Hilbert’in “her matematiksel sorunun çözülebileceği” inancına ağır bir darbe indirdi.
Gödel, 1947 yılında bu önerme için şöyle demiştir: “Ya doğrudur ya da yanlıştır ve bugün bilinen aksiyomlardan çıkarılamıyor oluşu, bu aksiyomların gerçeğin tam bir tanımını içermediği anlamına gelir.”
Bu yaklaşım, matematiğin mutlak bir sistem değil, insan eliyle kurulmuş sınırlı bir yapı olduğunu sorgulama gereği doğurur. Sonsuzluk gibi temel kavramların bile belirsiz kalabilmesi, matematiksel bilginin sınırlarını ve güvenirliğini tartışmaya açar.
Yine de Gödel, süreklilik hipotezini çözmenin mümkün olduğunu savundu. Kendi teoremlerinin bazı ifadelerin kanıtlanamaz olduğunu gösterdiğini kabul etti; ancak bu durumun süreklilik hipoteziyle ilgisi olmadığını düşündü. Burada görünürde bir çelişkiyle karşılaşıyoruz. Peki bu nasıl mümkün?
Kanıtlanabilir Çözülemezlik Ne Demektir?
Bazı matematiksel problemler yıllarca çözümsüz kalır. Ancak bu, bir gün çözüm bulunamayacağı anlamına gelmez. Örneğin Fermat’nın Son Teoremi, yaklaşık 350 yıl boyunca çözülemedi. Ama 1994’te Andrew Wiles kanıtı yaptı. Süreklilik hipotezi içinde aynı durum geçerli.
Bugün elimizdeki küme kuramı araçlarıyla bu soruyu çözmenin imkânsız olduğunu biliyoruz. Öte yandan, küme kuramının mevcut araçları son derece güçlü. Bu nedenle bu sorunu aşmak neredeyse felsefi bir soru haline gelir. Küme kuramının ötesine geçmek ve tamamen yeni bir yaklaşım önermek gereklidir. Süreklilik hipotezini çözmek için işte tam da bu türden bir yeni bakış açısına ihtiyaç var.
Gödel, süreklilik hipotezi üzerine 1930 yazında düşünmeye başladı. 1937’de ise hipotezin en azından tutarlı olduğunu gösterdi. Yani, mevcut matematiksel yöntemlerle süreklilik hipotezinin yanlış olduğunu kanıtlayamayız. Devamında Gödel, hipotezin doğru olduğu bir matematiksel model kurdu.
Gödel’in geliştirdiği model, bugün “inşa edilebilir kümeler evreni” olarak bilinir. Buradaki temel fikir, yalnızca kesin olarak gerekli yapıların bırakılması ve gereksiz olan her şeyin dışlanmasıydı. Ortaya çıkan bu yapı, hem matematiğin temel aksiyomlarını karşılıyor hem de süreklilik hipotezini içeriyordu. Bu sonuç, önemli bir dönüm noktasıydı. Bu yapı sayesinde süreklilik hipotezinin mevcut aksiyomlarla çelişmediği, yani tutarlı olduğu gösterilmiş oldu.
Süreklilik Hipotezine Paul Cohen‘in Katkısı
Gödel’in başarısından sonra matematikçiler, bu kez süreklilik hipotezinin geçerli olmadığı bir model inşa etmeye yöneldi. Gödel, hipotezin doğru olduğu bir evren kurmuştu; şimdi hedef bunun tam tersiydi. Eğer hipotezin hem doğru hem de yanlış olduğu iki ayrı model kurulabiliyorsa, bu durum mevcut aksiyomların bu soruya net bir yanıt veremeyeceğini gösterirdi.
Gödel’in modeli o dönemde bilinen tek güçlü yapıydı ve mümkün olan en “küçük” evrendi. Matematikçiler bu yapıyı bozmadan genişletmek, yani yeni gerçek sayılar eklemek zorundaydı. Bu, bir doğruya yeni bir nokta sıkıştırmak gibi son derece hassas bir işti. Yeni sayıların nerede ve nasıl ekleneceği, sürecin en büyük sorusuydu.
Bu sorunun yanıtlanması neredeyse 30 yıl daha aldı. Paul Cohen, 1960’larda süreklilik varsayımının yanlış olmasının da küme kuramının aksiyomlarıyla tutarlı olduğunu kanıtladı. Bu çığır açan çalışması nedeniyle 1966 yılında matematik dünyasının en prestijli ödüllerinden biri olan Fields Madalyası’nı elde etti.
Gödel’in süreklilik hipoteziyle ilgili son bir girişimi daha oldu. 1972’de “Sürekliliğin gerçek gücünün muhtemelen ℵ2 olduğu sonucuna götüren bazı düşünceler” başlıklı bir makale dolaşıma soktu. Bu çalışmada, süreklilik hipotezinin başarısız olduğunu göstermeye çalıştı. Ancak kanıt hatalıydı ve Gödel bunu hastalığını öne sürerek geri çekti.
Süreklilik Hipotezinin Geleceği Nedir?
Gödel ve Cohen’in sonuçlarını birleştirdiğimizde, süreklilik varsayımının doğru olduğunu veya yanlış olduğunu küme kuramının aksiyomlarından yola çıkarak kanıtlamanın mümkün olmadığını biliyoruz. Yani, süreklilik varsayımı küme kuramının aksiyomlarından bağımsızdır: bu aksiyomlar, süreklilik varsayımının doğru mu yoksa yanlış mı olduğunu belirlemek için yeterince güçlü değildir.
Hâlâ süren önemli bir felsefi tartışma var: Cantor’un süreklilik sorusunun cevabı ne? Süreklilik varsayımı gerçekten doğru mu, yoksa yanlış mı? Gödel ve Cohen’in çalışmaları, bu sorunun ZFC aksiyomlarıyla ne kanıtlanabileceğini ne de çürütülebileceğini ortaya koydu. Ancak bu, kesin bir yanıt bulunamayacağı anlamına mı gelir? Belki de cevap hâlâ bir yerlerde bizi bekliyor.
Bazı küme kuramcıları, bu sorunu çözebilecek yeni aksiyomlar bulunabileceğine inanıyor. Örneğin, Oxford Üniversitesi’nde mantık profesörü olan Joel Hamkins, birden çok, eşit derecede geçerli küme kuramsal evrenin var olduğuna inanıyor.
Gödel ve Cohen’in geliştirdiği ve sonrasında dünyanın dört bir yanındaki araştırmacılar tarafından ileri taşınan teknikler, küme kuramcılarına birbirinden çok farklı matematiksel evrenleri inceleme imkânı sundu. Hamkins’e göre bu evrenlerin tümü bir araya gelerek küme kuramsal çoklu evreni (set-theoretic multiverse) oluşturur.
Bu çoklu evren görüşüne göre, tek bir doğru küme kuramsal evren yoktur; birden fazla doğru evren vardır. Bazı evrenlerde süreklilik varsayımı doğrudur, bazı evrenlerde ise yanlıştır. Hamkins bu nedenle şu sonuca varır: Süreklilik sorusu aslında yanıtlanmıştır.
Sonuç Olarak
Küme kuramcıları, süreklilik varsayımının farklı küme kuramsal evrenlerde nasıl davrandığına dair son derece kapsamlı bir bilgi birikimi oluşturdu. Hangi koşullarda doğru ya da yanlış olduğunu, sürekliğin ne kadar büyük ya da küçük olabileceğini tam olarak anladılar. Hamkins’e göre, işte bu bilgi birikimi süreklilik sorusunun yanıtını oluşturur. Bu yanıt basit bir “evet” ya da “hayır” değildir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer. Yayınlanma tarihi: Kaynak Site: Bağlantı: How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer.
- Can the Continuum Hypothesis Be Solved? Yayınlanma tarihi: 17 Haziran 2012. Kaynak site: Can the Continuum Hypothesis Be Solved?
Matematiksel
