1/3 kesrini ondalık sayı olarak ifade etmek istediğimizde 0.33333333 biçiminde göstermemiz gerekir. Bu sayı sonsuza kadar tekrar ettiği için kullanımı kullanışlı değildir. Peki daha iyisini yapamaz mıyız? Evet yapabiliriz. Kesirlerin ve ondalık sayıların tüm avantajlarını aynı anda kullanan bir yazım biçimi daha vardır aslında. Bunlara sürekli kesirler denir.
Ondalık gösterimlerinde fazla öne çıkan bir özelliği bulunmayan sayılar, sürekli kesirler biçiminde yazıldığında şaşırtıcı bir biçimde simetriler ve örüntüler barındırır. Sürekli kesirler ayrıca bize irrasyonel sayılara yaklaşmanın en akılcı yolunu sağlar.
Sürekli kesirler, ilk olarak 6. yüzyılda Hintli matematikçiler tarafından kullanılır. Devamında 15. ve 16. yüzyıllarda Avrupa’da yeniden görülmeye başlanırlar. Sürekli kesirler, yalnızca kesirlerden oluşan kesirlerdir. Rasyonel veya irrasyonel her sayı sürekli kesir olarak yazılabilir. Yazının devamında okulda öğrendiklerimizden çok daha fazlasını bulacaksınız.
Sürekli Kesirler Nasıl Hesaplanır?
Yukarıdaki görselde sürekli kesirlerin iki farklı gösterim biçimini görüyorsunuz. Muhtemel ilk biçime daha alışkınsınız. Ancak ikincinin yazım açısından daha pratik olduğu ise bir gerçek. Peki herhangi bir kesri bu biçime nasıl çevirebiliriz? Konunun anlaşılmasını kolaylaştırmak adına bunu tanım değil örnek ile yapalım.
Diyelim ki 72 /19 kesrinin karşılığını bulmamız gerekiyor. İlk iş 72’nin içinde kaç tane 19 olduğunu ve geriye kalanı bulmak olacaktır. Basit bir bölme ile bunu 72= 3 x 19 +15 biçiminde yazabiliriz. Şimdi 19 ile 15 sayısı için aynı işlemi uygulamalıyız.
Sonucumuz 19= 1 x 15+4 biçimindedir. Amacımız kalanı sıfır yapmak bu nedenle devam ediyoruz. Şimdi 15 ile 4’e bakacağız. 15=3 x 4+3. Sırada 4 ile 3 var. Sonuç 4=1 x 3 +1 olacaktır. Son olarak 3 ile 1’e bakmalıyız. 3=3 x 1 + 0 olacaktır. 0 sayısını bulduğumuz için artık sürekli kesri yazabiliriz. Yukarıdaki işlemlerde renklendirdiğimiz sayıları sırasıyla yazarsanız aşağıdaki sürekli kesri elde ederseniz.
Bu arada matematik ile arası iyi olan okur, aslında biraz önce yaptığımız bölme işleminin Öklid algoritması olduğunu fark etmiş olabilir. Detayları bu yazıda bulacaksınız: 2000 Yıllık Bir Algoritma: Öklid Algoritması
Size yukarıda verdiğimiz örnek sınırlı sayıda basamağa sahip idi. Ancak sürekli kesirler adları gereği sonsuza kadar devam edebilir. Zaten bu özellikleri sayesinde de matematikçilerin favori oyuncaklarındandır. Çünkü irrasyonel sayılar ile hesaplamalar yapmada bazı avantajlar sağlar. Örneğin, 2’nin karekökü ondalık biçim yaklaşık 1.4142135623730951’dir.
Ama bunu sürekli bir kesir olarak yazarsanız [1; 2, 2, 2, 2, 2,…] sonucunu elde edersiniz. Bunun hesaplanma biçimi biraz daha karmaşık olduğu için ilgi duyanlara güzel bir kaynak video bırakıyoruz. Bir başka güzel örnek ise e sayısı ile ilgili. Bu sayıyı sürekli kesir biçiminde e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1,…] olarak gösterebiliyoruz.
Sürekli Kesirler İle İşlem Yapabilir miyiz?
Bu noktada okuduysanız aklınıza şu soru gelmiş olabilir. İyi, güzel ama bunlarla bildiğimiz işlemleri yapabilir miyiz? Ya da dada klasik soru şu olacaktır. Bunlar bir işimize yarar mı?
Cevabımız evet. Hatta bazı zamanlarda bu kesirler ile işlem yapmamız sanılandan çok daha kolay olur. Örneğin herhangi bir kesrin çarpmaya göre tersini almak istediğimiz zaman yapmamız gereken şey kesri ters çevirmektir. Devasa bir sürekli kesre sahip olduğumuz zaman bunu yapamayacağımızı düşünmek ise aslında bir hatadır.
Örneğin, 2.3456 ondalık sayısını yukarıda anlattığımız teknikle [2; 2, 3, 1, 3, 4, 5, 6, 4] biçiminde ifade edebilirsiniz. Bu kesrin çarpmaya göre tersini aldığını düşünelim. Yapmanız gereken tek şey aslında başa bir sıfır eklemektir. Bu durumda cevabımız [0; 2, 2, 3, 1, 3, 4, 5, 6, 4] biçiminde olacaktır. Eğer başta sıfır varsa da bu sefer onu kaldırarak tersini alabilirsiniz.
Sorunun ikinci kısmına geçelim. İlginç özellikleri olmasının ötesinde bu kesirler bir işe yarar mı? Özellikle bir bilgisayar için cevabımız evet. Bill Gosper bunu 1972 yılında kanıtladı. Kendisi sürekli kesirleri kullanarak günümüzde lazy evaluation olarak adlandırdığımız programlama dilini ortaya koydu. Gosper’in bu çalışması sonucunda, sürekli kesirleri bilgisayar programlarına çok uygun bir biçime dönüştü. Bunun sayesinde bilgisayarlarda istediğimiz hassasiyette işlem yapabiliyoruz.
Belki de artık sürekli kesirlere biraz daha fazla ilgi göstermenin zamanı gelmiştir. Yazının devamında göz atmak isterseniz: Kesirleri Sadeleştirmek İçin Yanlış Ancak Bazen işe Yarayan Bir Yöntem
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Mark C. Chu-Carroll; A Geek’s Guide to the Beauty of Numbers, Logic, and Computation; 2013 The Pragmatic Programmers
- Different ways of looking at numbers; Yayınlanma tarihi: 6 Ocak 2000; Bağlantı: https://plus.maths.org/
- What’s So Great about Continued Fractions? Yayınlanma tarihi: 17 Mart 2015; Bağlantı: https://blogs.scientificamerican.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
Ilgi ve merakla takip ediyorum. Emekleriniz için teşekkürler.
Keşke matematik eğitimi bu sayfadan yapılsa.
Bu arada 55 yaşındayım ve matematik ilgimi doyuran çalışmalarınız için tekrar teşekkür ediyorum.