Gerçekliği Tanımlamak İçin Sanal Sayılara İhtiyaç Duyulabilir

Sanal sayılar, negatif bir sayının karekökünü aldığınızda elde ettiğiniz sonuçtur ve uzun zamandır kuantum mekaniğinin en önemli denklemlerinde kullanılmaktadır. Sonuçta kuantum mekaniğinin temel denklemi olan Schrödinger dalga denklemi i sanal sayısını içerir. Sanal sayılar ve gerçek sayılar birbirine eklendiğinde de ikisi birlikte karmaşık sayıları oluşturur. Bu da fizikçilerin kuantum denklemlerini basit terimlerle yazmasına olanak tanır. Karmaşık sayılar faydalı araçlardır ancak kuantum mekaniğinde kullanılması uzun zamandır bazı fizikçileri rahatsız ediyordu. Yine de fizikçiler, sanal sayıların bir anlamda gerçek olduğunu ilk kez göstermiş olabilirler.

Belki de tarih tekerrürden ibarettir sözünü bir kere daha hatırlamak lazım. Sonuçta sanal sayılar ile tanıştığımız ilk zamanlarda aynı rahatsızlığı matematikçiler de hissetmişti. Aslında, kuantum mekaniğinin kurucuları bile denklemlerinde karmaşık sayılara sahip olmanın rahatsız edici olduğunu düşündüler. Kuantum dalga fonksiyonu (ψ) ile karmaşık sayıları kuantum teorisine sokan ilk kişi olan fizikçi Erwin Schrödinger, arkadaşı Hendrik Lorentz’e yazdığı bir mektupta, “Burada hoş olmayan ve aslında doğrudan itiraz edilmesi gereken şey, karmaşık sayıların kullanımı. Ψ kesinlikle temelde gerçek bir fonksiyondur.” diye de bu endişesini dile getirmişti.

Sanal Sayılar ile Nasıl Tanıştık?

Cebir, sayıları temsil etmek için x ve y gibi sembollerin kullanıldığı denklemlerin dilidir. Ancak “Hangi sayının karesi -1 yapar?” ya da cebirsel olarak ifade edersek x2=-1 sorusunu sorarsak bunun reel sayılarda bir karşılığı yoktur. Çünkü bu sorunun cevabının -1’in karekökü diğer deyişle x=√ -1 biçiminde olur. Negatif bir sayının karekökünü düşünen ilk kişi, 1545’te İtalyan matematikçi Girolamo Cardano oldu. Ancak bununla uğraşmanın yararsız olduğunu düşünerek elde ettiği sonuçları görmezden geldi. Birkaç on yıl sonra, bu sayılar Rafael Bombelli’nin dikkatini çekti. Ancak yanlış teknikler kullanarak kullanmaya çalıştığı için hesaplamalarının içinden çıkamadı.

sanal sayılar
Sanal (imaginary) sayılar adı, filozof ve matematikçi Rene Descartes tarafından 1637 yılında verildi. Devamında da Euler bu sayılara bir kimlik kazandırdı. Bu sayede de √-1 , “i” olarak gösterilmeye başlandı. Bu sayede, tam olarak ne işe yarayacaklarını bilmesek de, sanal sayılar bir varlığa kavuşmuş oldu.

Negatif sayıların karekökleri günümüzde “sanal sayılar”, sanal olmayan sayılar ise “gerçek” sayılar olarak bilinir. Gerçek sayılar denmesinin nedeni onları sayı doğrusunda görebilmemiz ve orada olduklarını bilmemizdir. Ancak sanal sayılar işin içine karıştığı zaman karşımıza yeni bir sayı sistemi çıkar. Bu sistemin adı karmaşık sayı sistemidir. Ve bu sayı sistemi karmaşık düzlemde gösterilir. Artık yeni sistemimizde 1, 2 gibi sayıların yanı sıra 1+2i, -3+i gibi sayılar da vardır.

Karmaşık düzlem mükemmel bir icattır. Bu sayede karmaşık sayıların nerede olduklarına ve nasıl davrandıklarına dair anlayışımız zenginleşmiştir. Ancak karmaşık sayılar sadece matematiksel araçlar olarak kalsaydı, muhtemel çok fazla kişinin ilgisini çekmezdi. Neyse ki öyle olmadı. Michael Faraday 1830’larda alternatif akımı keşfettiğinde karmaşık sayılar fiziksel bir gerçekliğe büründü. Sonrasında da bilimsel ilerlemeler neticesinde, matematiğin ve fiziğin başka alanlarında da karşımıza çıkmaya başladı. Sonrasında da parçacık fiziği, elektrik mühendisliği gibi birçok bilimsel alan karmaşık sayılara güvenir hale geldi. Şimdi yazımızın başına dönelim.

Sanal Sayılar İle Fizikçilerin Sıkıntısı Nedir?

Az evvel dediğimiz gibi, Schrödinger denklemlerinde karmaşık sayıları kullanmaktan hiç mutlu olmamıştı. Bu sorunu ortadan kaldırmak için de denklemini sadece gerçek sayılarla ifade etmenin alternatif yollarını buldu. Daha sonrasında diğer fizikçiler de kuantum teorisinin diğer kısımları için aynı şeyi yaptılar. Ancak karmaşık kuantum mekaniğini simüle etmek için gerçek sayıları kullanmak, hantal bir çalışma alanı oluşturdu. Tamamen gerçek bileşenlerden oluşan denklemler, deneysel anlamda bazı beklenen sonuçları vermeyince fizikçilerin aklına bir soru geldi. Sanal sayılar olmadan yapılan bu çalışmalar, kuantum teorisini gerçekliği tanımlama yeteneğinden yoksun bırakıyor olabilir miydi? Aslında Schrödinger’de aynı şeyi düşünmüştü. Nitekim bir yıl içinde, dalga fonksiyonlarını karmaşık sayılar içerecek biçimde yeniden yayınladı.

Kuantum Fiziği İçin Sanal Sayılar Zorunlu Olabilir

Yine de bu fikirden bazı fizikçiler hiçbir zaman emin olamadı. Örneğin 2008 ve 2009’da gerçekleştirilen iki çalışmada görünürde bir i olmadan, Bell testi olarak bilinen, ünlü bir kuantum fiziği deneyinin sonucunu tahmin edebildiler. Bu test, 1964’te fizikçi John Bell tarafından kuantum dolanıklığının kuantum teorisi için gerekli olduğunu kanıtlamak için önerilmişti. Bell testi, birbirinden uzak parçacık çiftlerinin tek bir dolanık durumda bilgi paylaşabildiğini gösterir. Bell test deneyinde, dolanık parçacıklar, iki fizikçiye ( A ve B diyelim) gönderilir. Bu kişiler parçacıkları ölçerler ve ölçümleri karşılaştırdıktan sonra, sonuçların ilişkili olup olmadığına bakarlar.

Nature ve Physical Review Letters dergilerinde 15 Aralık’ta yayınlanan iki çalışma, Schrödinger’in en başta yanıldığını kanıtladı. Bu çalışmalar bize, evrenin matematiği için sanal sayıların zorunlu olduğunu söyledi. Bunun için bir grup kuantum teorisyeni bir deney tasarladı. Deneylerinde karmaşık sayıların belli bir fiziksel anlamı olduğunu göstermeyi planladılar. Daha önceki çalışmaların, kuantum fiziğinin gerçek sayı versiyonunu kırmak için yeterince ileri gitmediğini ileri sürdüler. Bell testinin güncellenmiş versiyonunda, işin içine ikinci bir çift karıştı. Bu ikinci çiftte B’ye ve üçüncü bir kişiye diyelim ki C’ye gönderildi.

Evren, karmaşık sayılara dayalı standart bir kuantum mekaniği ile tanımlansaydı, A ve C’ye ulaşan fotonların dolanık olması gerekmezdi. Ama gerçek sayılara dayalı bir kuantum teorisinde öyle olmalıydı. Araştırmacılar, fotonların durumlarına bakarak, A ve C dedektörlerine ulaşan fotonların durumlarının dolanık olmadığını gördüler. Bu durum da yalnızca karmaşık sayıları kullanan bir kuantum teorisi ile açıklanabilirdi. İkinci çalışma da aslında ilk çalışmayı test etmek amacıyla yapılmıştı. Bulguları da ilk çalışmayı doğruladı. Ayrıca araştırmacılar kurdukları düzeneğin gelecekteki bir kuantum internetin üzerinde çalışacak ilkelerin ana hatlarını çizmek için yararlı olacağını düşünüyorlar.



Kaynaklar ve ileri okumalar için:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir Yorum

  1. Herkese nasip olmayan bir konum ve atmosferde siniz, ben 65 yaşında bir kişiyim imkansızlıklar ve yokluklar la hayatımı geçirdim, eğer dünyaya bir kez daha gelme olanağı olsaydı,hayatımın son gününe kadar matematik ve müzik. den başka hiç bir şeyle uğraşmazdım; bu bilim denizinde ispatlarla
    anılmanız temennisi ile saygılar sevgiler.

Başa dön tuşu